Задачи с решениями

Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки $A\left( 1;0 \right)$ на $\dfrac{7\pi }{3}$.

Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки $A\left( 1;0 \right)$ на $750{}^\circ$.

Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки $A\left( 1;0 \right)$ на $-225{}^\circ$.

Точка $A({{x}_{0}};{{y}_{0}})=A(5;7)$ - центр окружности. Радиус окружности равен $2$. Необходимо найти координаты точки $P$, полученной поворотом начального радиус-вектора на $-30{}^\circ$.

$A({{x}_{0}};{{y}_{0}})=A(-7;6)$ - центр окружности. Радиус окружности равен $3$. Необходимо найти координаты точки $P$, полученной поворотом начального радиус-вектора на $P$.

Найдите $\sin \alpha$ и $tg \alpha$, если $\cos \alpha=-\dfrac12$ и $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$;

Найдите $\cos \alpha$ и $ctg \alpha$, если $\sin \alpha=\dfrac{\sqrt3}{2}$ и $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

Пусть даны векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$. Построить вектор $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$.

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Доказать, что $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{AC_1}$

Пусть $\overrightarrow{a}=\left\{3,\ 4,2\right\}$, $\overrightarrow{b}=\{2,\ -1,0\}$. Найти $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ и $3\overrightarrow{a}$.

Дан ромб с диагоналями $d1=5$ см и $d2=4$. Найти площадь ромба.

Дан ромб, диагонали которого равны $d1=4$ см, $d2=6$ см. Острый угол равен $α = 30°$. Найдите площадь фигуры через сторону и угол.

Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой ее острого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 15 см и 33 см. Вычислить (в см²) площадь трапеции.

Площадь ромба равна $10.8$ см², а площадь круга, вписанного в этот ромб — $2.25\pi$ см².

1. Определите длину радиуса круга, вписанного в ромб (в см).

2. Вычислить длину стороны ромба (в см).

Равнобедренная трапеция описана вокруг окружности радиуса $R$ (рисунок $2$). При каком угле при основании $\alpha$ площадь заштрихованной области будет наименьшей?

Окно имеет форму прямоугольника, ограниченного сверху полукругом (рисунок $3$). Периметр окна равен $P.$ Определить радиус полукруга $R,$ при котором площадь окна является наибольшей.

В область, ограниченную параболой $y = c - {x^2}$ и осью $Ox,$ вписан прямоугольник, стороны которого параллельны координатным осям и одна сторона лежит на оси $Ox.$ Определить наибольшую площадь прямоугольника.