Математика

Рис.3

Очевидно, что одна сторона прямоугольника равна $2R.$ Другую сторону обозначим через $y.$ Периметр всего окна выражается формулой

$$P = \pi R + 2R + 2y.$$

Отсюда находим $y:$

$$y = \dfrac{1}{2}\left[ {P - \left( {\pi + 2} \right)R} \right].$$

Площадь окна составляет:

$${S = \dfrac{{\pi {R^2}}}{2} + 2Ry } = {\dfrac{{\pi {R^2}}}{2} + 2R \cdot \dfrac{1}{2}\left[ {P - \left( {\pi + 2} \right)R} \right] } = {\dfrac{{\pi {R^2}}}{2} + PR - \pi {R^2} - 2{R^2} } = {PR - \dfrac{{\pi {R^2}}}{2} - 2{R^2}.}$$

Полученное выражение представляет собой функцию $S\left( R \right).$ Исследуем ее на экстремум. Находим производную:

$${S'\left( R \right) = {\left( {PR - \dfrac{{\pi {R^2}}}{2} - 2{R^2}} \right)^\prime } } = {P - \pi R - 4R } = {P - \left( {\pi + 4} \right)R.}$$

Определяем стационарные точки:

$${S'\left( R \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow P - \left( {\pi + 4} \right)R = 0,}\;\; {\Rightarrow R = \dfrac{P}{{\pi + 4}}.}$$

Поскольку вторая производная отрицательна:

$${S''\left( R \right) = {\left[ {P - \left( {\pi + 4} \right)R} \right]^\prime } } = { - \left( {\pi + 4} \right) < 0,}$$
Само максимальное значение площади составляет

$${{S_{\max }} = PR - \dfrac{{\pi {R^2}}}{2} - 2{R^2} } = {P\left( {\dfrac{P}{{\pi + 4}}} \right) - \left( {\dfrac{\pi }{2} + 2} \right){\left( {\dfrac{P}{{\pi + 4}}} \right)^2} } = {\dfrac{{{P^2}}}{{\pi + 4}} - \dfrac{{\left( {\cancel{\pi + 4}} \right){P^2}}}{{2{{\left( {\pi + 4} \right)}^{\cancel{2}}}}} } = {\dfrac{{2{P^2} - {P^2}}}{{2\left( {\pi + 4} \right)}} } = {\dfrac{{{P^2}}}{{2\left( {\pi + 4} \right)}}.}$$