Тригонометрия

Рис.7a

Рис.7b Выведем соотношение для угла обзора $\varphi = \angle BPA.$ Из рисунка $7b$ следует, что $\varphi = \alpha - \beta ,$ где $${\tan \beta = \frac{h}{x},}\;\;\; {\tan \alpha = \frac{{a + h}}{x}.}$$ Используя соотношение для тангенса разности , получаем: $${\tan \varphi = \tan \left( {\alpha - \beta } \right) } = {\frac{{\tan \alpha - \tan \beta }}{{1 + \tan \alpha \tan \beta }} } = {\frac{{\frac{{a + h}}{x} - \frac{h}{x}}}{{1 + \frac{{a + h}}{x} \cdot \frac{h}{x}}} } = {\frac{{\frac{{a + \cancel{h} - \cancel{h}}}{x}}}{{\frac{{{x^2} + \left( {a + h} \right)h}}{{{x^2}}}}} } = {\frac{{ax}}{{{x^2} + ah + {h^2}}}.}$$ Отсюда находим выражение для функции $\varphi \left( x \right):$ $${\varphi = \varphi \left( x \right) } = {\arctan \frac{{ax}}{{{x^2} + ah + {h^2}}}.}$$ Вычисляем производную: $${\varphi '\left( x \right) = {\left( {\arctan \frac{{ax}}{{{x^2} + ah + {h^2}}}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{1 + {{\left( {\frac{{ax}}{{{x^2} + ah + {h^2}}}} \right)}^2}}} \cdot {\left( {\frac{{ax}}{{{x^2} + ah + {h^2}}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {{x^2} + ah + {h^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x^2} + ah + {h^2}} \right)}^2} + {{\left( {ax} \right)}^2}}} } {\cdot \frac{{a\left( {{x^2} + ah + {h^2}} \right) - ax \cdot 2x}}{{{{\left( {{x^2} + ah + {h^2}} \right)}^2} + {{\left( {ax} \right)}^2}}} } = {\frac{{a{x^2} + {a^2}h + a{h^2} - 2a{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + ah + {h^2}} \right)}^2} + {a^2}{x^2}}} } = {\frac{{{a^2}h + a{h^2} - a{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + ah + {h^2}} \right)}^2} + {a^2}{x^2}}} } = {\frac{{a\left( {ah + {h^2} - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + ah + {h^2}} \right)}^2} + {a^2}{x^2}}}.}$$ Производная равна нулю при условии $${\varphi '\left( x \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \frac{{a\left( {ah + {h^2} - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + ah + {h^2}} \right)}^2} + {a^2}{x^2}}} = 0,}\;\; {\Rightarrow ah + {h^2} - {x^2} = 0,}\;\; {\Rightarrow {x^2} = ah + {h^2},}\;\; {\Rightarrow x = \sqrt {h\left( {a + h} \right)} .}$$ причем в этой точке функция $\varphi \left( x \right)$ имеет максимум, так как знак производной изменяется с плюса на минус при переходе через данное значение.

Таким образом, оптимальное расстояние от стены для наилучшего обзора картины определяется формулой $$x = \sqrt {h\left( {a + h} \right)} .$$ Например, если $a = 3\,\text{м}$ и $h = 2\,\text{м},$ то оптимальное расстояние составляет $${x = \sqrt {h\left( {a + h} \right)} = \sqrt {2\left( {3 + 2} \right)} } = {\sqrt {10} \approx 3,16\,\text{м}.}$$