Тригонометрия

8 класс
Задача
В шар радиусом \(a\) вписан цилиндр. Найти радиус основания \(R\) и высоту \(H\) цилиндра, имеющего наибольший объем.
Решение

цилиндр наибольшего объема, вписанный в шар

Рис.13
Объем цилиндра равен \[V = \pi {R^2}H.\] Радиус основания цилиндра \(R\) связан с радиусом шара \(a\) следующим соотношением (рисунок \(13\)): \[ {{a^2} = {R^2} + {\left( {\frac{H}{2}} \right)^2} } = {{R^2} + \frac{{{H^2}}}{4}.} \] Следовательно, \[{R^2} = {a^2} - \frac{{{H^2}}}{4}.\] Подставляя это в формулу для объема цилиндра, получаем: \[ {V = \pi {R^2}H = \pi \left( {{a^2} - \frac{{{H^2}}}{4}} \right)H } = {\pi {a^2}H - \frac{{\pi {H^3}}}{4}.} \] Данное выражение представляет собой функцию \(V\left( H \right),\) которое мы будем исследовать далее на экстремум. Производная \(V'\left( H \right)\) имеет вид: \[ {V'\left( H \right) = {\left( {\pi {a^2}H - \frac{{\pi {H^3}}}{4}} \right)^\prime } } = {\pi {a^2} - \frac{{3\pi {H^2}}}{4} } = {\frac{\pi }{4}\left( {4{a^2} - 3{H^2}} \right).} \] Корни производной равны: \[ {V'\left( H \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow 4{a^2} - 3{H^2} = 0,}\;\; {\Rightarrow {H^2} = \frac{{4{a^2}}}{3},}\;\; {\Rightarrow H = \pm \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}.} \] Разумеется, нас устраивает лишь положительное значение \(H = \large\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\normalsize.\) При переходе через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, т.е. здесь существует максимум функции \(V\left( H \right).\) При такой высоте \(H\) радиус основания цилиндра равен \[ {{R^2} = {a^2} - \frac{{{H^2}}}{4} } = {{a^2} - \frac{1}{4}{\left( {\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} } = {{a^2} - \frac{{4{a^2}}}{{12}} } = {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{3} } = {\frac{{2{a^2}}}{3},}\;\; {\Rightarrow R = a\sqrt {\frac{2}{3}} .} \] Итак, вписанный в шар цилиндр имеет наибольший объем при условии \[H = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }},\;\;\;R = a\sqrt {\frac{2}{3}} ,\] где \(a\) − радиус шара. Максимальное значение объема составляет \[ {V = \pi {R^2}H } = {\pi {\left( {a\sqrt {\frac{2}{3}} } \right)^2} \cdot \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }} } = {\frac{{2\pi {a^2}}}{3} \cdot \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }} } = {\frac{{4\pi {a^3}}}{{3\sqrt 3 }},} \] т.е. меньше объема шара в \(\sqrt 3\) раз.
8 класс Математика Простая

Ещё по теме