Геометрические задачи на оптимизацию

Рис.1

Рассмотрим треугольники $OBC$ и $MBA.$ Эти треугольники подобны. Следовательно, справедливо соотношение

$$\dfrac{{OC}}{{MA}} = \dfrac{{OB}}{{MB}}\;\;\text{или}\;\;\dfrac{y}{b} = \dfrac{x}{{x - a}},$$

где координаты $x$ и $y$ удовлетворяют соотношениям $x > a,$ $y > b.$ Отсюда выразим $y$ через $x:$

$$y = \dfrac{{bx}}{{x - a}}.$$

Площадь треугольника будет описываться следующей функцией $S\left( x \right):$

$${S\left( x \right) = \dfrac{{xy}}{2} = \dfrac{x}{2} \cdot \dfrac{{bx}}{{x - a}} } = {\dfrac{{b{x^2}}}{{2\left( {x - a} \right)}}.}$$

Вычислим производную:

$${S'\left( x \right) = {\left( {\dfrac{{b{x^2}}}{{2\left( {x - a} \right)}}} \right)^\prime } } = {\dfrac{b}{2}{\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{x - a}}} \right)^\prime } } = {\dfrac{b}{2} \cdot \dfrac{{2x\left( {x - a} \right) - {x^2}}}{{{{\left( {x - a} \right)}^2}}} }$$ $$= {\dfrac{b}{2} \cdot \dfrac{{2{x^2} - 2ax - {x^2}}}{{{{\left( {x - a} \right)}^2}}} } = {\dfrac{{bx\left( {x - 2a} \right)}}{{{{\left( {x - a} \right)}^2}}}.}$$

Функция $S\left( x \right)$ имеет критические точки $x = 0,$ $x = a,$ $x = 2.$ Поскольку $x > a,$ то решением является точка $x = 2a.$ При переходе через нее производная меняет знак с минуса на плюс, т.е. $x = 2a$ − точка минимума функции $S\left( x \right).$

Вычислим другой катет треугольника:

$$\require{cancel} y = \dfrac{{bx}}{{x - a}} = \dfrac{{b \cdot 2a}}{{2a - a}} = \dfrac{{2\cancel{a}b}}{\cancel{a}} = 2b.$$

Таким образом, треугольник с наименьшей площадью имеет катеты, равные $2a$ и $2b.$

Рис.2

Площадь равнобедренной трапеции определяется формулой

$${S_T} = \dfrac{{a + b}}{2} \cdot h,$$

где $a, b$ − основания трапеции, $h$ − ее высота. Очевидно, что $h = 2R.$ Площадь круга равна ${S_K} = \pi {R^2}.$ Тогда площадь заштрихованной области составляет

$${S = {S_T} - {S_K} = \dfrac{{a + b}}{2} \cdot 2R - \pi {R^2} } = {\left( {a + b} \right)R - \pi {R^2}.}$$

Поскольку трапеция описана вокруг окружности, то сумма противоположных сторон у нее одинакова, т.е.

$${a + b = 2\ell\;\;\text{или}\;\;} {a + b = 2 \cdot \dfrac{{2R}}{{\sin \alpha }} } = {\dfrac{{4R}}{{\sin \alpha }}.}$$

Здесь через $\ell$ обозначена боковая сторона трапеции. Подставляя $\left( {a + b} \right)$ в предыдущее соотношение, получаем:

$${S = S\left( \alpha \right) = \dfrac{{4R}}{{\sin \alpha }} \cdot R - \pi {R^2} } = {{R^2}\left( {\dfrac{4}{{\sin \alpha }} - \pi } \right).}$$

Исследуем площадь $S\left( \alpha \right)$ на экстремальное значение. Вычислим производную $S'\left( \alpha \right):$

$${S'\left( \alpha \right) = {\left[ {{R^2}\left( {\dfrac{4}{{\sin \alpha }} - \pi } \right)} \right]^\prime } } = {4{R^2}\left( { - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}} \right) \cdot \cos \alpha } = { - \dfrac{{4{R^2}\cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}.}$$

Видно, что производная равна нулю при условии

$$\cos \alpha = 0,\;\; \Rightarrow \alpha = \dfrac{\pi }{2},$$

причем при переходе через эту точку (при возрастании $\alpha$) производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, $\alpha = \large\dfrac{\pi }{2}\normalsize$ − точка минимума функции $S\left( \alpha \right).$ В этом случае трапеция "вырождается" в квадрат. Минимальное значение площади фигуры определяется формулой

$${S_{\min }} = {R^2}\left( {4 - \pi } \right).$$

Рис.3

Очевидно, что одна сторона прямоугольника равна $2R.$ Другую сторону обозначим через $y.$ Периметр всего окна выражается формулой

$$P = \pi R + 2R + 2y.$$

Отсюда находим $y:$

$$y = \dfrac{1}{2}\left[ {P - \left( {\pi + 2} \right)R} \right].$$

Площадь окна составляет:

$${S = \dfrac{{\pi {R^2}}}{2} + 2Ry } = {\dfrac{{\pi {R^2}}}{2} + 2R \cdot \dfrac{1}{2}\left[ {P - \left( {\pi + 2} \right)R} \right] } = {\dfrac{{\pi {R^2}}}{2} + PR - \pi {R^2} - 2{R^2} } = {PR - \dfrac{{\pi {R^2}}}{2} - 2{R^2}.}$$

Полученное выражение представляет собой функцию $S\left( R \right).$ Исследуем ее на экстремум. Находим производную:

$${S'\left( R \right) = {\left( {PR - \dfrac{{\pi {R^2}}}{2} - 2{R^2}} \right)^\prime } } = {P - \pi R - 4R } = {P - \left( {\pi + 4} \right)R.}$$

Определяем стационарные точки:

$${S'\left( R \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow P - \left( {\pi + 4} \right)R = 0,}\;\; {\Rightarrow R = \dfrac{P}{{\pi + 4}}.}$$

Поскольку вторая производная отрицательна:

$${S''\left( R \right) = {\left[ {P - \left( {\pi + 4} \right)R} \right]^\prime } } = { - \left( {\pi + 4} \right) < 0,}$$
Само максимальное значение площади составляет

$${{S_{\max }} = PR - \dfrac{{\pi {R^2}}}{2} - 2{R^2} } = {P\left( {\dfrac{P}{{\pi + 4}}} \right) - \left( {\dfrac{\pi }{2} + 2} \right){\left( {\dfrac{P}{{\pi + 4}}} \right)^2} } = {\dfrac{{{P^2}}}{{\pi + 4}} - \dfrac{{\left( {\cancel{\pi + 4}} \right){P^2}}}{{2{{\left( {\pi + 4} \right)}^{\cancel{2}}}}} } = {\dfrac{{2{P^2} - {P^2}}}{{2\left( {\pi + 4} \right)}} } = {\dfrac{{{P^2}}}{{2\left( {\pi + 4} \right)}}.}$$

Пусть $M\left( {x,y} \right)$ − вершина прямоугольника, принадлежащая параболе (рисунок $4$). Длины сторон такого прямоугольника равны $2x$ и $y.$ Его площадь составляет $${S\left( x \right) = 2xy } = {2x\left( {c - {x^2}} \right) } = {2cx - 2{x^3}.}$$ Исследуем функцию $S\left( x \right)$ на экстремум. Производная записывается в виде $$S'\left( x \right) = {\left( {2cx - 2{x^3}} \right)^\prime } = 2c - 6{x^2}.$$ Приравнивая производную нулю, находим стационарные точки: $${S'\left( x \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow 2c - 6{x^2} = 0,}\;\; {\Rightarrow {x^2} = \frac{c}{3},}\;\; {\Rightarrow x = \pm \sqrt {\frac{c}{3}}.}$$ Очевидно, что оба корня соответствуют одному и тому же прямоугольнику. Убедимся, что точка $\sqrt {\large\frac{c}{3}\normalsize}$ является точкой максимума функции $S\left( x \right).$ Проверим это с помощью второй производной: $$S''\left( x \right) = {\left( {2c - 6{x^2}} \right)^\prime } = - 12x < 0.$$ Поскольку $S''\left( x \right) < 0,$ то $\sqrt {\large\frac{c}{3}\normalsize}$ является точкой максимума.

Вычислим наибольшую площадь вписанного прямоугольника: $${{S_{\max }} = 2\sqrt {\frac{c}{3}} \left[ {c - {{\left( {\sqrt {\frac{c}{3}} } \right)}^2}} \right] } = {2\sqrt {\frac{c}{3}} \cdot \frac{{2c}}{3} } = {4\sqrt {{{\left( {\frac{c}{3}} \right)}^3}}.}$$

Рис.5 Пусть положение бревна описывается углом $\alpha,$ как показано на рисунке $5.$ Максимально возможная длина бревна $L$ зависит от угла $\alpha:$ $${L = \left| {AO} \right| + \left| {OB} \right| } = {\frac{a}{{\sin \alpha }} + \frac{a}{{\cos\alpha }} } = {L\left( \alpha \right).}$$ Отметим два предельных положения: $${\alpha \to 0,}\;\; {\Rightarrow \sin \alpha \to 0,}\;\; {\Rightarrow \left| {AO} \right| \to \infty ;}$$ $${\alpha \to \frac{\pi }{2},}\;\; {\Rightarrow \cos \alpha \to 0,}\;\; {\Rightarrow \left| {OB} \right| \to \infty .}$$ Таким образом, угол $\alpha$ изменяется в интервале $0 < \alpha < \large\frac{\pi }{2}\normalsize.$

Находим производную функции $L\left( \alpha \right):$ $${L'\left( \alpha \right) = \left( { - \frac{a}{{{{\sin }^2}\alpha }}} \right) \cdot \cos \alpha - \frac{b}{{{{\cos }^2}\alpha }} \cdot \left( { - \sin \alpha } \right) } = {\frac{{b\sin \alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} - \frac{{a\cos \alpha }}{{{\sin^2}\alpha }} } = {\frac{{b\,{{\sin }^3}\alpha - a\,{{\cos }^3}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha \,{{\sin }^2}\alpha }} } = {\frac{{4\left( {b\,{{\sin }^3}\alpha - a\,{{\cos }^3}\alpha } \right)}}{{{{\sin }^2}\left( {2\alpha } \right)}}.}$$ Приравнивая ее нулю, получаем следующее решение: $${L'\left( \alpha \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \frac{{4\left( {b\,{{\sin }^3}\alpha - a\,{{\cos }^3}\alpha } \right)}}{{{{\sin }^2}\left( {2\alpha } \right)}} = 0,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {b\,{{\sin }^3}\alpha - a\,{{\cos }^3}\alpha = 0}\\ {{{\sin }^2}\left( {2\alpha } \right) \ne 0} \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow b\,{\tan ^3}\alpha - a = 0,}\;\; {\Rightarrow \tan \alpha = \sqrt[\large 3\normalsize]{{\frac{a}{b}}}.}$$ Можно убедиться, что при переходе через данное критическое значение $\alpha$ производная меняет знак с минуса на плюс, т.е. найденная точка является точкой минимума функции $L\left( \alpha \right).$ (Ясно, что длина бревна должна быть меньше указанного значения, чтобы осуществить поворот из одного канала в другой.)

Выразим синус и косинус угла $\alpha$ через его тангенс: $${1 + {\cot^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }},}\;\; {\Rightarrow \sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt {1 + {{\cot }^2}\alpha } }} } = {\frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{{\tan }^2}\alpha }}} }} } = {\frac{{\tan \alpha }}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}\alpha } }};}$$ $${1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{\cos^2}\alpha }},}\;\; {\Rightarrow \cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}\alpha } }}.}$$ Теперь можно записать окончательное выражение для максимально возможной длины бревна: $${{L_{\max }} = \frac{a}{{\sin \alpha }} + \frac{b}{{\cos\alpha }} } = {\frac{a}{{\frac{{\tan \alpha }}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}\alpha } }}}} + \frac{b}{{\frac{1}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}\alpha } }}}} } = {\sqrt {1 + {{\tan }^2}\alpha } \left( {\frac{a}{{\tan \alpha }} + b} \right) } = {\sqrt {1 + \sqrt[\large 3\normalsize]{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^2}}}} \left( {\frac{a}{{\sqrt[\large 3\normalsize]{{\frac{a}{b}}}}} + b} \right) } = {\sqrt {1 + \frac{{{a^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}}{{{b^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}}} \left( {{b^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}{a^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} + b} \right) } = {\frac{{\sqrt {{a^{\large\frac{2}{3}\normalsize}} + {b^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}} }}{{{b^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}}} \cdot {b^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}\left( {{a^{\large\frac{2}{3}\normalsize}} + {b^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}} \right) } = {{\left( {{a^{\large\frac{2}{3}\normalsize}} + {b^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}} \right)^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}.}$$ В частном случае, при равной ширине каналов (когда $a = b$), получаем: $${{L_{\max }} = \sqrt {{{\left( {2{a^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}} \right)}^3}} } = {\sqrt {8{a^2}} = a\sqrt 8 .}$$

Рис.6 Пусть точка $M\left( {x,y} \right)$ − вершина вписанного прямоугольника. Его площадь равна $$S = 2x \cdot 2y = 4xy.$$ Величину $y$ можно выразить из уравнения эллипса: $${\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,}\;\; {\Rightarrow \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}},}\;\; {\Rightarrow {y^2} = \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}}\left( {{a^2} - {x^2}} \right),}\;\; {\Rightarrow y = \pm \frac{b}{a}\sqrt {{a^2} - {x^2}} .}$$ В контексте данной задачи мы рассматриваем лишь положительные значения $x$ и $y.$ Следовательно, $${S = 4xy } = {\frac{{4bx}}{a}\sqrt {{a^2} - {x^2}} } = {S\left( x \right).}$$ Для нахождения экстремума функции $S\left( x \right)$ вычислим производную: $${S'\left( x \right) = {\left( {\frac{{4bx}}{a}\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right)^\prime } } = {\frac{{4b}}{a}\left[ {\sqrt {{a^2} - {x^2}} + x \cdot \frac{1}{{2\sqrt {{a^2} - {x^2}} }} \cdot \left( { - 2x} \right)} \right] } = {\frac{{4b}}{a}\left[ {\sqrt {{a^2} - {x^2}} - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}} \right] } = {\frac{{4b}}{a} \cdot \frac{{{a^2} - {x^2} - {x^2}}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }} } = {\frac{{4b\left( {{a^2} - 2{x^2}} \right)}}{{a\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}.}$$ Производная равна нулю при условии $${{a^2} - 2{x^2} = 0,}\;\; {\Rightarrow {x^2} = \frac{{{a^2}}}{2},}\;\; {\Rightarrow x = \frac{a}{{\sqrt 2 }}.}$$ При переходе через точку $x = \large\frac{a}{{\sqrt 2 }}\normalsize$ производная меняет знак с плюса на минус. Поэтому найденная точка является точкой максимума.

Величина $y,$ соответственно, равна $${y = \frac{b}{a}\sqrt {{a^2} - {x^2}} } = {\frac{b}{a}\sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} } = {\frac{b}{a}\sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} } = {\frac{b}{a}\sqrt {\frac{{{a^2}}}{2}} } = {\frac{b}{a} \cdot \frac{a}{{\sqrt 2 }} } = {\frac{b}{{\sqrt 2 }}.}$$ Итак, прямоугольник, вписанный в эллипс, будет иметь наибольшую площадь, когда его стороны равны $${2x = 2 \cdot \frac{a}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 \;\;\;\text{и}\;\;\;} {2y = 2 \cdot \frac{b}{{\sqrt 2 }} = b\sqrt 2 .}$$ Максимальная площадь прямоугольника составляет $${S_{\max }} = a\sqrt 2 \cdot b\sqrt 2 = 2ab.$$ Интересно отметить частный случай, когда эллипс имеет равные полуоси, т.е. вырождается в окружность: $$a = b = R.$$ В этом случае прямоугольник с наибольшей площадью представляет собой квадрат со стороной $R\sqrt 2 .$

Рис.7a

Рис.7b Выведем соотношение для угла обзора $\varphi = \angle BPA.$ Из рисунка $7b$ следует, что $\varphi = \alpha - \beta ,$ где $${\tan \beta = \frac{h}{x},}\;\;\; {\tan \alpha = \frac{{a + h}}{x}.}$$ Используя соотношение для тангенса разности , получаем: $${\tan \varphi = \tan \left( {\alpha - \beta } \right) } = {\frac{{\tan \alpha - \tan \beta }}{{1 + \tan \alpha \tan \beta }} } = {\frac{{\frac{{a + h}}{x} - \frac{h}{x}}}{{1 + \frac{{a + h}}{x} \cdot \frac{h}{x}}} } = {\frac{{\frac{{a + \cancel{h} - \cancel{h}}}{x}}}{{\frac{{{x^2} + \left( {a + h} \right)h}}{{{x^2}}}}} } = {\frac{{ax}}{{{x^2} + ah + {h^2}}}.}$$ Отсюда находим выражение для функции $\varphi \left( x \right):$ $${\varphi = \varphi \left( x \right) } = {\arctan \frac{{ax}}{{{x^2} + ah + {h^2}}}.}$$ Вычисляем производную: $${\varphi '\left( x \right) = {\left( {\arctan \frac{{ax}}{{{x^2} + ah + {h^2}}}} \right)^\prime } } = {\frac{1}{{1 + {{\left( {\frac{{ax}}{{{x^2} + ah + {h^2}}}} \right)}^2}}} \cdot {\left( {\frac{{ax}}{{{x^2} + ah + {h^2}}}} \right)^\prime } } = {\frac{{{{\left( {{x^2} + ah + {h^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x^2} + ah + {h^2}} \right)}^2} + {{\left( {ax} \right)}^2}}} } {\cdot \frac{{a\left( {{x^2} + ah + {h^2}} \right) - ax \cdot 2x}}{{{{\left( {{x^2} + ah + {h^2}} \right)}^2} + {{\left( {ax} \right)}^2}}} } = {\frac{{a{x^2} + {a^2}h + a{h^2} - 2a{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + ah + {h^2}} \right)}^2} + {a^2}{x^2}}} } = {\frac{{{a^2}h + a{h^2} - a{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + ah + {h^2}} \right)}^2} + {a^2}{x^2}}} } = {\frac{{a\left( {ah + {h^2} - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + ah + {h^2}} \right)}^2} + {a^2}{x^2}}}.}$$ Производная равна нулю при условии $${\varphi '\left( x \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \frac{{a\left( {ah + {h^2} - {x^2}} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + ah + {h^2}} \right)}^2} + {a^2}{x^2}}} = 0,}\;\; {\Rightarrow ah + {h^2} - {x^2} = 0,}\;\; {\Rightarrow {x^2} = ah + {h^2},}\;\; {\Rightarrow x = \sqrt {h\left( {a + h} \right)} .}$$ причем в этой точке функция $\varphi \left( x \right)$ имеет максимум, так как знак производной изменяется с плюса на минус при переходе через данное значение.

Таким образом, оптимальное расстояние от стены для наилучшего обзора картины определяется формулой $$x = \sqrt {h\left( {a + h} \right)} .$$ Например, если $a = 3\,\text{м}$ и $h = 2\,\text{м},$ то оптимальное расстояние составляет $${x = \sqrt {h\left( {a + h} \right)} = \sqrt {2\left( {3 + 2} \right)} } = {\sqrt {10} \approx 3,16\,\text{м}.}$$

Рис.8 Пусть треугольник определяется двумя сторонами $a = BC,$ $b = AC$ и углом $\alpha = \angle BCA$ между ними. Построим параллелограмм $CMKN$ в соответствии с условиями задачи. Обозначим стороны параллелограмма $x = MK$ и $y = KN.$ Площадь данного параллелограмма определяется формулой $$S - xy\sin \alpha .$$ Выразим $y$ через $x$ и стороны треугольника $a, b.$ Из подобия треугольников $BMK$ и $BCA$ следует, что $$\frac{{a - y}}{a} = \frac{x}{b}.$$ Тогда $${\left( {a - y} \right)b = ax,}\;\; {\Rightarrow ab - by = ax,}\;\; {\Rightarrow by = ab - ax,}\;\; {\Rightarrow y = \frac{{ab - ax}}{b} = a - \frac{a}{b}x.}$$ В результате площадь $S$ записывается как функция $S\left( x \right):$ $${S = S\left( x \right) } = {x\left( {a - \frac{a}{b}x} \right)\sin \alpha } = {ax\sin \alpha - \frac{a}{b}{x^2}\sin \alpha.}$$ Находим производную: $${S'\left( x \right) = {\left( {ax\sin \alpha - \frac{a}{b}{x^2}\sin \alpha } \right)^\prime } } = {a\sin \alpha - \frac{{2ax}}{b}\sin \alpha } = {a\sin \alpha \left( {1 - \frac{{2x}}{b}} \right).}$$ Отсюда видно, что экстремум функции $S\left( x \right)$ существует в следующей точке: $${S'\left( x \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow 1 - \frac{{2x}}{b} = 0,}\;\; {\Rightarrow 2x = b,}\;\; {\Rightarrow x = \frac{b}{2}.}$$ При переходе через эту точку производная меняет свой знак с плюса на минус, т.е. эта точка является точкой максимума. Другая сторона параллелограмма при этом равна $${y = a - \frac{a}{b}x = a - \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{2} } ={ a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}.}$$ Итак, вписанный в треугольник параллелограмм со сторонами $x, y$ имеет наибольшую площадь при условии $$x = \frac{b}{2},\;\;y = \frac{a}{2},$$ где $a, b$ − стороны треугольника. Интересно, что результат не зависит от угла $\alpha$ между сторонами треугольника.

Рис.9 Оптимальная форма цилиндра при заданном объеме позволяет уменьшить расходы на материалы. Поэтому такая задача актуальна, например, при строительстве нефтехранилищ (рисунок $9$).

Пусть $H$ − высота цилиндра, а $R$ − радиус его основания. Объем и полная площадь поверхности цилиндра вычисляются по формулам $$V = \pi {R^2}H,\;\;\;S = 2\pi {R^2} + 2\pi RH.$$ В качестве независимой переменной выберем радиус основания $R.$ Выразим $H$ через $R$ (при заданном объеме $V$): $$H = \frac{V}{{\pi {R^2}}}.$$ Исследуем площадь поверхности $S\left( R \right)$ на экстремум. $${S\left( R \right) = 2\pi {R^2} + 2\pi RH } = {2\pi {R^2} + 2\pi R \cdot \frac{V}{{\pi {R^2}}} } = {2\pi {R^2} + \frac{{2V}}{R}.}$$ Вычисляем производную: $${S'\left( R \right) = {\left( {2\pi {R^2} + \frac{{2V}}{R}} \right)^\prime } } = {4\pi R - \frac{{2V}}{{{R^2}}} } = {\frac{{4\pi {R^3} - 2V}}{{{R^2}}}.}$$ Находим стационарные точки: $${S'\left( R \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \frac{{4\pi {R^3} - 2V}}{{{R^2}}} = 0,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {4\pi {R^3} - 2V = 0}\\ {{R^2} \ne 0} \end{array},} \right.}\;\; {\Rightarrow R = \sqrt[\large 3\normalsize]{{\frac{V}{{2\pi }}}}.}$$ Данное значение $R$ соответствует минимальной площади поверхности $S\left( R \right),$ поскольку при переходе через эту точку производная меняет знак с минуса на плюс.

Вычислим теперь высоту найденного цилиндра: $${H = \frac{V}{{\pi {R^2}}} } = {\frac{V}{{\pi {{\left( {\sqrt[\large 3\normalsize]{{\frac{V}{{2\pi }}}}} \right)}^2}}} } = {\frac{{{2^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}{\pi ^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}V}}{{\pi {V^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}} } = {\frac{{{2^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}{V^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}}}{{{\pi ^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}}} } = {\sqrt[\large 3\normalsize]{{\frac{{4V}}{\pi }}}.}$$ Отношение высоты к радиусу основания составляет $${\frac{H}{R} = \frac{{\sqrt[\large 3\normalsize]{{\frac{{4V}}{\pi }}}}}{{\sqrt[\large 3\normalsize]{{\frac{V}{{2\pi }}}}}} } = {\sqrt[\large 3\normalsize]{{\frac{{4V}}{\pi } \cdot \frac{{2\pi }}{V}}} } = {\sqrt[\large 3\normalsize]{8} = 2.}$$ Другими словами, высота цилиндра с наименьшей площадью поверхности должна быть равна его диаметру, т.е. осевое сечение такого цилиндра представляет собой квадрат.

Обозначим радиус основания вписанного цилиндра через $x,$ а его высоту − через $y$ (рисунок $10b$). Из подобия треугольников $SKD$ и $SOB$ следует, что $${\frac{{KD}}{{OB}} = \frac{{SK}}{{SO}}}\;\;\; {\text{или}\;\;\;\frac{x}{R} = \frac{{H - y}}{H}.}$$ Записанное уравнение устанавливает связь между переменными $x$ и $y.$ Выразим $y$ через $x:$ $${\frac{x}{R} = \frac{{H - y}}{H},}\;\; {\Rightarrow HX = \left( {H - y} \right)R,}\;\; {\Rightarrow Hx = HR - Ry,}\;\; {\Rightarrow y = \frac{{HR - Hx}}{R} = H\left( {1 - \frac{x}{R}} \right).}$$ Объем вписанного цилиндра выражается формулой $$V = \pi {x^2}y.$$ Тогда $${V\left( x \right) = \pi {x^2}H\left( {1 - \frac{x}{R}} \right) } = {\pi H\left( {{x^2} - \frac{{{x^3}}}{R}} \right).}$$ Найдем наибольшее значение функции $V\left( x \right):$ $${V'\left( x \right) = {\left[ {\pi H\left( {{x^2} - \frac{{{x^3}}}{R}} \right)} \right]^\prime } } = {\pi H\left( {2x - \frac{{3{x^2}}}{R}} \right);}$$ $${V'\left( x \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \pi H\left( {2x - \frac{{3{x^2}}}{R}} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow 2x - \frac{{3{x^2}}}{R} = 0,}\;\; {\Rightarrow x\left( {2 - \frac{{3x}}{R}} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow {x_1} = 0,\;{x_2} = \frac{{2R}}{3}.}$$ Решение ${x_1} = 0$ соответствует цилиндру с нулевым объемом и не имеет физического смысла. При переходе через точку ${x_2} = \large\frac{{2R}}{3}\normalsize$ производная меняет знак с плюса на минус. Поэтому, $x = \large\frac{{2R}}{3}\normalsize$ является точкой максимума функции $V\left( x \right).$ Для данного основания высота цилиндра будет составлять $${y = H\left( {1 - \frac{x}{R}} \right) } = {H\left( {1 - \frac{{2\cancel{R}}}{{3\cancel{R}}}} \right) = \frac{H}{3}.}$$ Следовательно, наибольший объем вписанного в конус цилиндра равен $${{V_{\max }} = \pi {x^2}y } = {\pi {\left( {\frac{{2R}}{3}} \right)^2} \cdot \frac{H}{3} } = {\frac{4}{{27}}\pi {R^2}H.}$$ Это составляет $\large\frac{4}{9}\normalsize$ от объема конуса.

Рис.11 Рассмотрим осевое сечение вписанного в шар конуса (рисунок $11$). Введем следующие обозначения: $H$ − высота конуса, $r$ − радиус основания конуса, $\alpha$ − угол между радиусом и основанием конуса. Радиус основания и высота конуса связаны с радиусом шара следующими соотношениями: $$r = R\cos \alpha ,\;\;\;H = R\sin \alpha + R.$$ В таком случае объем конуса можно представить в виде $${V = \frac{1}{3}\pi {r^2}H } = {\frac{1}{3}\pi {\left( {R\cos \alpha } \right)^2}\left( {R\sin \alpha + R} \right) } = {\frac{1}{3}\pi {R^3}{\cos ^2}\alpha \left( {\sin \alpha + 1} \right).}$$ где угол $\alpha$ изменяется в интервале $0 < \alpha < \large\frac{\pi }{2}\normalsize.$ Дифференцируем объем $V$ по переменной $\alpha:$ $${V'\left( \alpha \right) } = {{\left[ {\frac{1}{3}\pi {R^3}{{\cos }^2}\alpha \left( {\sin \alpha + 1} \right)} \right]^\prime } } = {\frac{1}{3}\pi {R^3}{\left[ {{{\cos }^2}\alpha \left( {\sin \alpha + 1} \right)} \right]^\prime } } = {\frac{1}{3}\pi {R^3}\left[ {2\cos \alpha \cdot \left( { - \sin \alpha } \right) \cdot \left( {\sin \alpha + 1} \right) + {{\cos }^2}\alpha \cdot \cos \alpha } \right] } = {\frac{1}{3}\pi {R^3}\cos \alpha \left[ {{{\cos }^2}\alpha - 2{{\sin }^2}\alpha - 2\sin \alpha } \right];}$$ $${V'\left( \alpha \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \frac{1}{3}\pi {R^3}\cos \alpha \left[ {{{\cos }^2}\alpha - 2{{\sin }^2}\alpha - 2\sin \alpha } \right] = 0.}$$

1. $\cos \alpha = 0,\;\; \Rightarrow \alpha = \large\frac{\pi }{2}\normalsize;$

2. ${{\cos ^2}\alpha - 2{\sin ^2}\alpha - 2\sin \alpha = 0,}\;\; {\Rightarrow 1 - 3{\sin ^2}\alpha - 2\sin \alpha = 0,}\;\; {\Rightarrow 3{\sin ^2}\alpha + 2\sin \alpha - 1 = 0,}\;\; {\Rightarrow \sin \alpha = t,}\;\; {\Rightarrow 3{t^2} + 2t - 1 = 0,}\;\; {\Rightarrow D = 4 - 4 \cdot 3 \cdot \left( { - 1} \right) = 16,}\;\; {\Rightarrow {t_{1,2}} = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {16} }}{6};}\;\;$ $${t_1} = - 1,\;\; \Rightarrow \sin\alpha = - 1,\;\; \Rightarrow \;\;\alpha = \frac{{3\pi }}{2},$$ $${t_2} = \frac{1}{3},\;\; \Rightarrow \sin \alpha = \frac{1}{3}.$$

Как видно, решением является $\sin \alpha = \large\frac{1}{3}\normalsize.$ Можно убедиться, что при возрастании угла $\alpha$ и переходе через данную точку производная меняет свой знак с плюса на минус, т.е. здесь достигается максимальное значение объема конуса.

Вычислим косинус угла $\alpha:$ $${\cos\alpha = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} } = {\sqrt {1 - \frac{1}{9}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.}$$ Тогда радиус основания и высота конуса наибольшего объема имеют такие значения: $$r = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}R,\;\;\;H = R \cdot \frac{1}{3} + R = \frac{4}{3}R.$$ Объем такого конуса равен $${V = \frac{1}{3}\pi {r^2}H } = {\frac{\pi }{3} \cdot {\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)^2} \cdot \frac{4}{3}R } = {\frac{\pi }{3} \cdot \frac{8}{9}{R^2} \cdot \frac{4}{3}R } = {\frac{{32}}{{81}}\pi {R^3}.}$$ что составляет $\large\frac{{8}}{{27}}\normalsize$ от объема шара.

Объем тела выражается формулой $${V = \frac{4}{3}\pi {R^3} + \pi {R^2}H } = {\pi {R^2}\left( {\frac{{4R}}{3} + H} \right).}$$ Выразим отсюда высоту $H:$ $$H = \frac{V}{{\pi {R^3}}} - \frac{{4R}}{3}.$$ Рассмотрим площадь полной поверхности тела: $$S = 4\pi {R^2} + 2\pi RH.$$ Подставим в эту формулу выражение для $H:$ $${S = S\left( R \right) } = {4\pi {R^2} + 2\pi R\left( {\frac{V}{{\pi {R^3}}} - \frac{{4R}}{3}} \right) } = {4\pi {R^2} + \frac{{2V}}{R} - \frac{{8\pi {R^2}}}{3} } = {\frac{{4\pi {R^2}}}{3} + \frac{{2V}}{R}.}$$ Вычислим производную функции $S\left( R \right):$ $${S'\left( R \right) } = {{\left( {\frac{{4\pi {R^2}}}{3} + \frac{{2V}}{R}} \right)^\prime } } = {\frac{{4\pi }}{3} \cdot 2R - \frac{{2V}}{{{R^2}}} } = {\frac{{8\pi R}}{3} - \frac{{2V}}{{{R^2}}} } = {\frac{{8\pi {R^3} - 6V}}{{3{R^2}}}.}$$ Приравнивая производную нулю, получаем: $${S'\left( R \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \frac{{8\pi {R^3} - 6V}}{{3{R^2}}} = 0,}\;\; {\Rightarrow {R^3} = \frac{{3V}}{{4\pi }},}\;\; {\Rightarrow R = \sqrt[\large 3\normalsize]{{\frac{{3V}}{{4\pi }}}}.}$$ Найденная точка, очевидно, является точкой минимума функции $S\left( R \right),$ поскольку при переходе через нее производная меняет свой знак с минуса на плюс. Вычислим соответствующее значение высоты цилиндра: $${H = \frac{V}{{\pi {R^3}}} - \frac{{4R}}{3} } = {\frac{V}{{\pi {{\left( {\sqrt[\large 3\normalsize]{{\frac{{3V}}{{4\pi }}}}} \right)}^3}}} - \frac{4}{3}\sqrt[\large 3\normalsize]{{\frac{{3V}}{{4\pi }}}} } = {\frac{{V \cdot {4^{\large\frac{2}{3}\normalsize}} \cdot {\pi ^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}}{{\pi \cdot {3^{\large\frac{2}{3}\normalsize}} \cdot {V^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}} - \frac{{4 \cdot {3^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} \cdot {V^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}}}{{3 \cdot {4^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} \cdot {\pi ^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}}} } = {\frac{{{V^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} \cdot {4^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}}{{{\pi ^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} \cdot {3^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}} - \frac{{{V^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} \cdot {4^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}}{{{\pi ^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} \cdot {3^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}} \equiv 0.}$$ Как видно, наиболее оптимальной является просто шаровая поверхность без цилиндрической части!

Рис.13 Объем цилиндра равен $$V = \pi {R^2}H.$$ Радиус основания цилиндра $R$ связан с радиусом шара $a$ следующим соотношением (рисунок $13$): $${{a^2} = {R^2} + {\left( {\frac{H}{2}} \right)^2} } = {{R^2} + \frac{{{H^2}}}{4}.}$$ Следовательно, $${R^2} = {a^2} - \frac{{{H^2}}}{4}.$$ Подставляя это в формулу для объема цилиндра, получаем: $${V = \pi {R^2}H = \pi \left( {{a^2} - \frac{{{H^2}}}{4}} \right)H } = {\pi {a^2}H - \frac{{\pi {H^3}}}{4}.}$$ Данное выражение представляет собой функцию $V\left( H \right),$ которое мы будем исследовать далее на экстремум. Производная $V'\left( H \right)$ имеет вид: $${V'\left( H \right) = {\left( {\pi {a^2}H - \frac{{\pi {H^3}}}{4}} \right)^\prime } } = {\pi {a^2} - \frac{{3\pi {H^2}}}{4} } = {\frac{\pi }{4}\left( {4{a^2} - 3{H^2}} \right).}$$ Корни производной равны: $${V'\left( H \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow 4{a^2} - 3{H^2} = 0,}\;\; {\Rightarrow {H^2} = \frac{{4{a^2}}}{3},}\;\; {\Rightarrow H = \pm \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}.}$$ Разумеется, нас устраивает лишь положительное значение $H = \large\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\normalsize.$ При переходе через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, т.е. здесь существует максимум функции $V\left( H \right).$ При такой высоте $H$ радиус основания цилиндра равен $${{R^2} = {a^2} - \frac{{{H^2}}}{4} } = {{a^2} - \frac{1}{4}{\left( {\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} } = {{a^2} - \frac{{4{a^2}}}{{12}} } = {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{3} } = {\frac{{2{a^2}}}{3},}\;\; {\Rightarrow R = a\sqrt {\frac{2}{3}} .}$$ Итак, вписанный в шар цилиндр имеет наибольший объем при условии $$H = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }},\;\;\;R = a\sqrt {\frac{2}{3}} ,$$ где $a$ − радиус шара. Максимальное значение объема составляет $${V = \pi {R^2}H } = {\pi {\left( {a\sqrt {\frac{2}{3}} } \right)^2} \cdot \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }} } = {\frac{{2\pi {a^2}}}{3} \cdot \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }} } = {\frac{{4\pi {a^3}}}{{3\sqrt 3 }},}$$ т.е. меньше объема шара в $\sqrt 3$ раз.

Рис.14 Будем считать, что оси бревна и балки совпадают. Усеченный конус и вписанный в него параллелепипед схематически показаны в разрезе на рисунке $14.$ Объем параллелепипеда определяется формулой $$V = {x^2}y,$$ где $x$ − сторона квадрата в основании параллелепипеда, а $y$ − его высота.

Рассматривая подобные треугольники $CBR$ и $CKM,$ можно записать следующую пропорцию: $${\frac{{MK}}{{AB}} = \frac{{MC}}{{AC}},}\;\; {\Rightarrow \frac{y}{H} = \frac{{R - \frac{x}{2}}}{{R - r}}.}$$ Отсюда находим высоту $y:$ $$y = \frac{{H\left( {R - \frac{x}{2}} \right)}}{{R - r}}.$$ Запишем объем $V$ как функцию $x:$ $${V = V\left( x \right) } = {{x^2}y = \frac{{{x^2}H\left( {R - \frac{x}{2}} \right)}}{{R - r}} } = {\frac{H}{{R - r}}\left( {R{x^2} - \frac{{{x^3}}}{2}} \right).}$$ Производная имеет вид: $${V'\left( x \right) } = {{\left[ {\frac{H}{{R - r}}\left( {R{x^2} - \frac{{{x^3}}}{2}} \right)} \right]^\prime } } = {\frac{H}{{R - r}}\left( {2Rx - \frac{{3{x^2}}}{2}} \right) } = {\frac{{Hx}}{{R - r}}\left( {2R - \frac{{3x}}{2}} \right).}$$ Находим стационарную точку: $${V'\left( x \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \frac{{Hx}}{{R - r}}\left( {2R - \frac{{3x}}{2}} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow 2R - \frac{{3x}}{2} = 0,}\;\; {\Rightarrow x = \frac{{4R}}{3}.}$$ Слева от данной точки производная положительна, а справа − отрицательна. Следовательно, найденная точка является точкой максимума функции $V\left( x \right).$ В таком случае высота параллелепипеда составляет $${y = \frac{{H\left( {R - \frac{x}{2}} \right)}}{{R - r}} } = {\frac{{H\left( {R - \frac{{4R}}{6}} \right)}}{{R - r}} } = {\frac{{HR\left( {1 - \frac{2}{3}} \right)}}{{R - r}} } = {\frac{{HR}}{{3\left( {R - r} \right)}}.}$$ Итак параллелепипед, вписанный в усеченный конус, имеет наибольший объем, если его стороны равны $$x = \frac{{4R}}{3},\;\;\;y = \frac{{HR}}{{3\left( {R - r} \right)}}.$$

Обозначим образующую конуса через $m$ (рисунок $15a$). Площадь боковой поверхности конуса выражается формулой $${S_{\text{бок}}} = \pi Rm.$$ Далее площадь боковой поверхности будет обозначать просто буквой $S.$ Учитывая, что объем конуса равен $$V = \frac{1}{3}\pi {R^2}H,$$ выразим высоту $H$ через $R$ и $V:$ $$H = \frac{{3V}}{{\pi {R^2}}}.$$ По теореме Пифагора находим: $${m = \sqrt {{H^2} + {R^2}} } = {\sqrt {{{\left( {\frac{{3V}}{{\pi {R^2}}}} \right)}^2} + {R^2}} .}$$ Тогда площадь боковой поверхности записывается как функция радиуса основания $R:$ $${S = \pi Rm } = {\pi R\sqrt {{{\left( {\frac{{3V}}{{\pi {R^2}}}} \right)}^2} + {R^2}} } = {\pi R\sqrt {\frac{{9{V^2}}}{{{\pi ^2}{R^4}}} + {R^2}} } = {\pi R\sqrt {\frac{{9{V^2} + {\pi ^2}{R^6}}}{{{\pi ^2}{R^4}}}} } = {\frac{{\cancel{\pi} \cancel{R}}}{{\cancel{\pi} {R^{\cancel{2}}}}}\sqrt {9{V^2} + {\pi ^2}{R^6}} } = {\frac{{\sqrt {9{V^2} + {\pi ^2}{R^6}} }}{R}.}$$ Вычисляем производную: $${S'\left( R \right) } = {{\left( {\frac{{\sqrt {9{V^2} + {\pi ^2}{R^6}} }}{R}} \right)^\prime } } = {\frac{{\frac{{6{\pi ^2}{R^5}}}{{2\sqrt {9{V^2} + {\pi ^2}{R^6}} }} \cdot R - \sqrt {9{V^2} + {\pi ^2}{R^6}} \cdot 1}}{{{R^2}}} } = {\frac{{6{\pi ^2}{R^6} - 2\left( {9{V^2} + {\pi ^2}{R^6}} \right)}}{{2{R^2}\sqrt {9{V^2} + {\pi ^2}{R^6}} }} } = {\frac{{4{\pi ^2}{R^6} - 18{V^2}}}{{2{R^2}\sqrt {9{V^2} + {\pi ^2}{R^6}} }} } = {\frac{{2{\pi ^2}{R^6} - 9{V^2}}}{{{R^2}\sqrt {9{V^2} + {\pi ^2}{R^6}} }}.}$$ Производная равна нулю при условии $$2{\pi ^2}{R^6} - 9{V^2} = 0,\;\; \Rightarrow {R^6} = \frac{{9{V^2}}}{{2{\pi ^2}}},\;\; \Rightarrow R = \sqrt[\large 6\normalsize]{{\frac{{9{V^2}}}{{2{\pi ^2}}}}}.$$ Видно, что при увеличении $R$ и переходе через найденную стационарную точку производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, здесь функция $S\left( R \right)$ имеет минимум.

Определим высоту конуса: $${H = \frac{{3V}}{{\pi {R^2}}} } = {\frac{{3V}}{{\pi \sqrt[\large 3\normalsize]{{\frac{{9{V^2}}}{{2{\pi ^2}}}}}}} } = {\frac{{3V}}{{\pi \cdot \frac{{{3^{\frac{2}{3}}} \cdot {V^{\frac{2}{3}}}}}{{{2^{\frac{1}{3}}} \cdot {\pi ^{\frac{2}{3}}}}}}} } = {\frac{{{3^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} \cdot {V^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} \cdot {2^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}}}{{{\pi ^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}}} } = {\sqrt[\large 3\normalsize]{{\frac{{6V}}{\pi }}}.}$$ Чтобы лучше представить форму оптимального конуса, вычислим отношение $\large\frac{H}{R}\normalsize:$ $${\frac{H}{R} = \frac{{\sqrt[\large 3\normalsize]{{\frac{{6V}}{\pi }}}}}{{\sqrt[\large 6\normalsize]{{\frac{{9{V^2}}}{{2{\pi ^2}}}}}}} } = {\frac{{{3^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} \cdot {2^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} \cdot {V^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}}}{{{\pi ^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}}}:\frac{{{3^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} \cdot {V^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}}}{{{2^{\large\frac{1}{6}\normalsize}} \cdot {\pi ^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}}} } = {\frac{{\cancel{3^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} \cdot {2^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} \cdot \cancel{V^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} \cdot \cancel{\pi ^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} \cdot {2^{\large\frac{1}{6}\normalsize}}}}{{\cancel{\pi ^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} \cdot \cancel{3^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} \cdot \cancel{V^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}}} } = {{2^{\large\frac{1}{2}\normalsize}} = \sqrt 2 .}$$ Таким образом, высота конуса с наименьшей площадью боковой поверхности должна быть примерно в $1,4$ раза больше радиуса основания.

Интересно, каково отношение высоты к радиусу основания такого мегасооружения конусообразной формы как Хан Шатыр (рисунок $15b$)? Если площадь боковой поверхности являлась одним из критических факторов при проектировании, то, вероятно, его форма должна быть близка к полученному решению.