Геометрические задачи на оптимизацию

Рис.1

Рассмотрим треугольники и Эти треугольники подобны. Следовательно, справедливо соотношение

где координаты и удовлетворяют соотношениям Отсюда выразим через

Площадь треугольника будет описываться следующей функцией

Вычислим производную:

Функция имеет критические точки Поскольку то решением является точка При переходе через нее производная меняет знак с минуса на плюс, т.е. − точка минимума функции

Вычислим другой катет треугольника:

Таким образом, треугольник с наименьшей площадью имеет катеты, равные и

Рис.2

Площадь равнобедренной трапеции определяется формулой

где − основания трапеции, − ее высота. Очевидно, что Площадь круга равна Тогда площадь заштрихованной области составляет

Поскольку трапеция описана вокруг окружности, то сумма противоположных сторон у нее одинакова, т.е.

Здесь через обозначена боковая сторона трапеции. Подставляя в предыдущее соотношение, получаем:

Исследуем площадь на экстремальное значение. Вычислим производную

Видно, что производная равна нулю при условии

причем при переходе через эту точку (при возрастании ) производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, − точка минимума функции В этом случае трапеция "вырождается" в квадрат. Минимальное значение площади фигуры определяется формулой

Рис.3

Очевидно, что одна сторона прямоугольника равна Другую сторону обозначим через Периметр всего окна выражается формулой

Отсюда находим

Площадь окна составляет:

Полученное выражение представляет собой функцию Исследуем ее на экстремум. Находим производную:

Определяем стационарные точки:

Поскольку вторая производная отрицательна:

Само максимальное значение площади составляет

Пусть − вершина прямоугольника, принадлежащая параболе (рисунок ). Длины сторон такого прямоугольника равны и Его площадь составляет Исследуем функцию на экстремум. Производная записывается в виде Приравнивая производную нулю, находим стационарные точки: Очевидно, что оба корня соответствуют одному и тому же прямоугольнику. Убедимся, что точка является точкой максимума функции Проверим это с помощью второй производной: Поскольку то является точкой максимума.

Вычислим наибольшую площадь вписанного прямоугольника:

Рис.5 Пусть положение бревна описывается углом как показано на рисунке Максимально возможная длина бревна зависит от угла Отметим два предельных положения: Таким образом, угол изменяется в интервале

Находим производную функции Приравнивая ее нулю, получаем следующее решение: Можно убедиться, что при переходе через данное критическое значение производная меняет знак с минуса на плюс, т.е. найденная точка является точкой минимума функции (Ясно, что длина бревна должна быть меньше указанного значения, чтобы осуществить поворот из одного канала в другой.)

Выразим синус и косинус угла через его тангенс: Теперь можно записать окончательное выражение для максимально возможной длины бревна: В частном случае, при равной ширине каналов (когда ), получаем:

Рис.6 Пусть точка − вершина вписанного прямоугольника. Его площадь равна Величину можно выразить из уравнения эллипса: В контексте данной задачи мы рассматриваем лишь положительные значения и Следовательно, Для нахождения экстремума функции вычислим производную: Производная равна нулю при условии При переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус. Поэтому найденная точка является точкой максимума.

Величина соответственно, равна Итак, прямоугольник, вписанный в эллипс, будет иметь наибольшую площадь, когда его стороны равны Максимальная площадь прямоугольника составляет Интересно отметить частный случай, когда эллипс имеет равные полуоси, т.е. вырождается в окружность: В этом случае прямоугольник с наибольшей площадью представляет собой квадрат со стороной

Рис.7a

Рис.7b Выведем соотношение для угла обзора Из рисунка следует, что где Используя соотношение для тангенса разности , получаем: Отсюда находим выражение для функции Вычисляем производную: Производная равна нулю при условии причем в этой точке функция имеет максимум, так как знак производной изменяется с плюса на минус при переходе через данное значение.

Таким образом, оптимальное расстояние от стены для наилучшего обзора картины определяется формулой Например, если и то оптимальное расстояние составляет

Рис.8 Пусть треугольник определяется двумя сторонами и углом между ними. Построим параллелограмм в соответствии с условиями задачи. Обозначим стороны параллелограмма и Площадь данного параллелограмма определяется формулой Выразим через и стороны треугольника Из подобия треугольников и следует, что Тогда В результате площадь записывается как функция Находим производную: Отсюда видно, что экстремум функции существует в следующей точке: При переходе через эту точку производная меняет свой знак с плюса на минус, т.е. эта точка является точкой максимума. Другая сторона параллелограмма при этом равна Итак, вписанный в треугольник параллелограмм со сторонами имеет наибольшую площадь при условии где − стороны треугольника. Интересно, что результат не зависит от угла между сторонами треугольника.

Рис.9 Оптимальная форма цилиндра при заданном объеме позволяет уменьшить расходы на материалы. Поэтому такая задача актуальна, например, при строительстве нефтехранилищ (рисунок ).

Пусть − высота цилиндра, а − радиус его основания. Объем и полная площадь поверхности цилиндра вычисляются по формулам В качестве независимой переменной выберем радиус основания Выразим через (при заданном объеме ): Исследуем площадь поверхности на экстремум. Вычисляем производную: Находим стационарные точки: Данное значение соответствует минимальной площади поверхности поскольку при переходе через эту точку производная меняет знак с минуса на плюс.

Вычислим теперь высоту найденного цилиндра: Отношение высоты к радиусу основания составляет Другими словами, высота цилиндра с наименьшей площадью поверхности должна быть равна его диаметру, т.е. осевое сечение такого цилиндра представляет собой квадрат.

Обозначим радиус основания вписанного цилиндра через а его высоту − через (рисунок ). Из подобия треугольников и следует, что Записанное уравнение устанавливает связь между переменными и Выразим через Объем вписанного цилиндра выражается формулой Тогда Найдем наибольшее значение функции Решение соответствует цилиндру с нулевым объемом и не имеет физического смысла. При переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус. Поэтому, является точкой максимума функции Для данного основания высота цилиндра будет составлять Следовательно, наибольший объем вписанного в конус цилиндра равен Это составляет от объема конуса.

Рис.11 Рассмотрим осевое сечение вписанного в шар конуса (рисунок ). Введем следующие обозначения: − высота конуса, − радиус основания конуса, − угол между радиусом и основанием конуса. Радиус основания и высота конуса связаны с радиусом шара следующими соотношениями: В таком случае объем конуса можно представить в виде где угол изменяется в интервале Дифференцируем объем по переменной

Как видно, решением является Можно убедиться, что при возрастании угла и переходе через данную точку производная меняет свой знак с плюса на минус, т.е. здесь достигается максимальное значение объема конуса.

Вычислим косинус угла Тогда радиус основания и высота конуса наибольшего объема имеют такие значения: Объем такого конуса равен что составляет от объема шара.

Объем тела выражается формулой Выразим отсюда высоту Рассмотрим площадь полной поверхности тела: Подставим в эту формулу выражение для Вычислим производную функции Приравнивая производную нулю, получаем: Найденная точка, очевидно, является точкой минимума функции поскольку при переходе через нее производная меняет свой знак с минуса на плюс. Вычислим соответствующее значение высоты цилиндра: Как видно, наиболее оптимальной является просто шаровая поверхность без цилиндрической части!

Рис.13 Объем цилиндра равен Радиус основания цилиндра связан с радиусом шара следующим соотношением (рисунок ): Следовательно, Подставляя это в формулу для объема цилиндра, получаем: Данное выражение представляет собой функцию которое мы будем исследовать далее на экстремум. Производная имеет вид: Корни производной равны: Разумеется, нас устраивает лишь положительное значение При переходе через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, т.е. здесь существует максимум функции При такой высоте радиус основания цилиндра равен Итак, вписанный в шар цилиндр имеет наибольший объем при условии где − радиус шара. Максимальное значение объема составляет т.е. меньше объема шара в раз.

Рис.14 Будем считать, что оси бревна и балки совпадают. Усеченный конус и вписанный в него параллелепипед схематически показаны в разрезе на рисунке Объем параллелепипеда определяется формулой где − сторона квадрата в основании параллелепипеда, а − его высота.

Рассматривая подобные треугольники и можно записать следующую пропорцию: Отсюда находим высоту Запишем объем как функцию Производная имеет вид: Находим стационарную точку: Слева от данной точки производная положительна, а справа − отрицательна. Следовательно, найденная точка является точкой максимума функции В таком случае высота параллелепипеда составляет Итак параллелепипед, вписанный в усеченный конус, имеет наибольший объем, если его стороны равны

Обозначим образующую конуса через (рисунок ). Площадь боковой поверхности конуса выражается формулой Далее площадь боковой поверхности будет обозначать просто буквой Учитывая, что объем конуса равен выразим высоту через и По теореме Пифагора находим: Тогда площадь боковой поверхности записывается как функция радиуса основания Вычисляем производную: Производная равна нулю при условии Видно, что при увеличении и переходе через найденную стационарную точку производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, здесь функция имеет минимум.

Определим высоту конуса: Чтобы лучше представить форму оптимального конуса, вычислим отношение Таким образом, высота конуса с наименьшей площадью боковой поверхности должна быть примерно в раза больше радиуса основания.

Интересно, каково отношение высоты к радиусу основания такого мегасооружения конусообразной формы как Хан Шатыр (рисунок )? Если площадь боковой поверхности являлась одним из критических факторов при проектировании, то, вероятно, его форма должна быть близка к полученному решению.