Тригонометрия
8 класс
Задача
Найти цилиндр с наименьшей площадью поверхности.
Решение
Пусть H − высота цилиндра, а R − радиус его основания. Объем и полная площадь поверхности цилиндра вычисляются по формулам V=πR2H,S=2πR2+2πRH. В качестве независимой переменной выберем радиус основания R. Выразим H через R (при заданном объеме V): H=VπR2. Исследуем площадь поверхности S(R) на экстремум. S(R)=2πR2+2πRH=2πR2+2πR⋅VπR2=2πR2+2VR. Вычисляем производную: S′(R)=(2πR2+2VR)′=4πR−2VR2=4πR3−2VR2. Находим стационарные точки: S′(R)=0,⇒4πR3−2VR2=0,⇒{4πR3−2V=0R2≠0,⇒R=3√V2π. Данное значение R соответствует минимальной площади поверхности S(R), поскольку при переходе через эту точку производная меняет знак с минуса на плюс.
Вычислим теперь высоту найденного цилиндра: H=VπR2=Vπ(3√V2π)2=223π23VπV23=223V13π13=3√4Vπ. Отношение высоты к радиусу основания составляет HR=3√4Vπ3√V2π=3√4Vπ⋅2πV=3√8=2. Другими словами, высота цилиндра с наименьшей площадью поверхности должна быть равна его диаметру, т.е. осевое сечение такого цилиндра представляет собой квадрат.