Тригонометрия

Рис.9 Оптимальная форма цилиндра при заданном объеме позволяет уменьшить расходы на материалы. Поэтому такая задача актуальна, например, при строительстве нефтехранилищ (рисунок \(9\)).

Пусть \(H\) − высота цилиндра, а \(R\) − радиус его основания. Объем и полная площадь поверхности цилиндра вычисляются по формулам \[V = \pi {R^2}H,\;\;\;S = 2\pi {R^2} + 2\pi RH.\] В качестве независимой переменной выберем радиус основания \(R.\) Выразим \(H\) через \(R\) (при заданном объеме \(V\)): \[H = \frac{V}{{\pi {R^2}}}.\] Исследуем площадь поверхности \(S\left( R \right)\) на экстремум. \[ {S\left( R \right) = 2\pi {R^2} + 2\pi RH } = {2\pi {R^2} + 2\pi R \cdot \frac{V}{{\pi {R^2}}} } = {2\pi {R^2} + \frac{{2V}}{R}.} \] Вычисляем производную: \[ {S'\left( R \right) = {\left( {2\pi {R^2} + \frac{{2V}}{R}} \right)^\prime } } = {4\pi R - \frac{{2V}}{{{R^2}}} } = {\frac{{4\pi {R^3} - 2V}}{{{R^2}}}.} \] Находим стационарные точки: \[ {S'\left( R \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \frac{{4\pi {R^3} - 2V}}{{{R^2}}} = 0,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {4\pi {R^3} - 2V = 0}\\ {{R^2} \ne 0} \end{array},} \right.}\;\; {\Rightarrow R = \sqrt[\large 3\normalsize]{{\frac{V}{{2\pi }}}}.} \] Данное значение \(R\) соответствует минимальной площади поверхности \(S\left( R \right),\) поскольку при переходе через эту точку производная меняет знак с минуса на плюс.

Вычислим теперь высоту найденного цилиндра: \[ {H = \frac{V}{{\pi {R^2}}} } = {\frac{V}{{\pi {{\left( {\sqrt[\large 3\normalsize]{{\frac{V}{{2\pi }}}}} \right)}^2}}} } = {\frac{{{2^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}{\pi ^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}V}}{{\pi {V^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}} } = {\frac{{{2^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}{V^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}}}{{{\pi ^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}}} } = {\sqrt[\large 3\normalsize]{{\frac{{4V}}{\pi }}}.} \] Отношение высоты к радиусу основания составляет \[ {\frac{H}{R} = \frac{{\sqrt[\large 3\normalsize]{{\frac{{4V}}{\pi }}}}}{{\sqrt[\large 3\normalsize]{{\frac{V}{{2\pi }}}}}} } = {\sqrt[\large 3\normalsize]{{\frac{{4V}}{\pi } \cdot \frac{{2\pi }}{V}}} } = {\sqrt[\large 3\normalsize]{8} = 2.} \] Другими словами, высота цилиндра с наименьшей площадью поверхности должна быть равна его диаметру, т.е. осевое сечение такого цилиндра представляет собой квадрат.