Тригонометрия

Рис.9 Оптимальная форма цилиндра при заданном объеме позволяет уменьшить расходы на материалы. Поэтому такая задача актуальна, например, при строительстве нефтехранилищ (рисунок $9$).

Пусть $H$ − высота цилиндра, а $R$ − радиус его основания. Объем и полная площадь поверхности цилиндра вычисляются по формулам $$V = \pi {R^2}H,\;\;\;S = 2\pi {R^2} + 2\pi RH.$$ В качестве независимой переменной выберем радиус основания $R.$ Выразим $H$ через $R$ (при заданном объеме $V$): $$H = \frac{V}{{\pi {R^2}}}.$$ Исследуем площадь поверхности $S\left( R \right)$ на экстремум. $${S\left( R \right) = 2\pi {R^2} + 2\pi RH } = {2\pi {R^2} + 2\pi R \cdot \frac{V}{{\pi {R^2}}} } = {2\pi {R^2} + \frac{{2V}}{R}.}$$ Вычисляем производную: $${S'\left( R \right) = {\left( {2\pi {R^2} + \frac{{2V}}{R}} \right)^\prime } } = {4\pi R - \frac{{2V}}{{{R^2}}} } = {\frac{{4\pi {R^3} - 2V}}{{{R^2}}}.}$$ Находим стационарные точки: $${S'\left( R \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \frac{{4\pi {R^3} - 2V}}{{{R^2}}} = 0,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {4\pi {R^3} - 2V = 0}\\ {{R^2} \ne 0} \end{array},} \right.}\;\; {\Rightarrow R = \sqrt[\large 3\normalsize]{{\frac{V}{{2\pi }}}}.}$$ Данное значение $R$ соответствует минимальной площади поверхности $S\left( R \right),$ поскольку при переходе через эту точку производная меняет знак с минуса на плюс.

Вычислим теперь высоту найденного цилиндра: $${H = \frac{V}{{\pi {R^2}}} } = {\frac{V}{{\pi {{\left( {\sqrt[\large 3\normalsize]{{\frac{V}{{2\pi }}}}} \right)}^2}}} } = {\frac{{{2^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}{\pi ^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}V}}{{\pi {V^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}} } = {\frac{{{2^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}{V^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}}}{{{\pi ^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}}} } = {\sqrt[\large 3\normalsize]{{\frac{{4V}}{\pi }}}.}$$ Отношение высоты к радиусу основания составляет $${\frac{H}{R} = \frac{{\sqrt[\large 3\normalsize]{{\frac{{4V}}{\pi }}}}}{{\sqrt[\large 3\normalsize]{{\frac{V}{{2\pi }}}}}} } = {\sqrt[\large 3\normalsize]{{\frac{{4V}}{\pi } \cdot \frac{{2\pi }}{V}}} } = {\sqrt[\large 3\normalsize]{8} = 2.}$$ Другими словами, высота цилиндра с наименьшей площадью поверхности должна быть равна его диаметру, т.е. осевое сечение такого цилиндра представляет собой квадрат.