Тригонометрия

8 класс
Задача
Найти цилиндр с наименьшей площадью поверхности.
Решение

нефтехранилища в форме цилиндров

Рис.9
Оптимальная форма цилиндра при заданном объеме позволяет уменьшить расходы на материалы. Поэтому такая задача актуальна, например, при строительстве нефтехранилищ (рисунок 9).

Пусть H − высота цилиндра, а R − радиус его основания. Объем и полная площадь поверхности цилиндра вычисляются по формулам V=πR2H,S=2πR2+2πRH. В качестве независимой переменной выберем радиус основания R. Выразим H через R (при заданном объеме V): H=VπR2. Исследуем площадь поверхности S(R) на экстремум. S(R)=2πR2+2πRH=2πR2+2πRVπR2=2πR2+2VR. Вычисляем производную: S(R)=(2πR2+2VR)=4πR2VR2=4πR32VR2. Находим стационарные точки: S(R)=0,4πR32VR2=0,{4πR32V=0R20,R=3V2π. Данное значение R соответствует минимальной площади поверхности S(R), поскольку при переходе через эту точку производная меняет знак с минуса на плюс.

Вычислим теперь высоту найденного цилиндра: H=VπR2=Vπ(3V2π)2=223π23VπV23=223V13π13=34Vπ. Отношение высоты к радиусу основания составляет HR=34Vπ3V2π=34Vπ2πV=38=2. Другими словами, высота цилиндра с наименьшей площадью поверхности должна быть равна его диаметру, т.е. осевое сечение такого цилиндра представляет собой квадрат.
8 класс Математика Простая

Ещё по теме