Тригонометрия
8 класс
Задача
Тело имеет форму цилиндра, основания которого завершаются полусферами (рисунок \(12\)). Определить высоту цилиндра \(H\) и радиус полусфер \(R,\)
при которых площадь поверхности при заданном объеме \(V\) будет наименьшей.
Решение
Объем тела выражается формулой
\[
{V = \frac{4}{3}\pi {R^3} + \pi {R^2}H }
= {\pi {R^2}\left( {\frac{{4R}}{3} + H} \right).}
\]
Выразим отсюда высоту \(H:\)
\[H = \frac{V}{{\pi {R^3}}} - \frac{{4R}}{3}.\]
Рассмотрим площадь полной поверхности тела:
\[S = 4\pi {R^2} + 2\pi RH.\]
Подставим в эту формулу выражение для \(H:\)
\[
{S = S\left( R \right) }
= {4\pi {R^2} + 2\pi R\left( {\frac{V}{{\pi {R^3}}} - \frac{{4R}}{3}} \right) }
= {4\pi {R^2} + \frac{{2V}}{R} - \frac{{8\pi {R^2}}}{3} }
= {\frac{{4\pi {R^2}}}{3} + \frac{{2V}}{R}.}
\]
Вычислим производную функции \(S\left( R \right):\)
\[
{S'\left( R \right) }
= {{\left( {\frac{{4\pi {R^2}}}{3} + \frac{{2V}}{R}} \right)^\prime } }
= {\frac{{4\pi }}{3} \cdot 2R - \frac{{2V}}{{{R^2}}} }
= {\frac{{8\pi R}}{3} - \frac{{2V}}{{{R^2}}} }
= {\frac{{8\pi {R^3} - 6V}}{{3{R^2}}}.}
\]
Приравнивая производную нулю, получаем:
\[
{S'\left( R \right) = 0,}\;\;
{\Rightarrow \frac{{8\pi {R^3} - 6V}}{{3{R^2}}} = 0,}\;\;
{\Rightarrow {R^3} = \frac{{3V}}{{4\pi }},}\;\;
{\Rightarrow R = \sqrt[\large 3\normalsize]{{\frac{{3V}}{{4\pi }}}}.}
\]
Найденная точка, очевидно, является точкой минимума функции \(S\left( R \right),\) поскольку при переходе через нее производная
меняет свой знак с минуса на плюс. Вычислим соответствующее значение высоты цилиндра:
\[
{H = \frac{V}{{\pi {R^3}}} - \frac{{4R}}{3} }
= {\frac{V}{{\pi {{\left( {\sqrt[\large 3\normalsize]{{\frac{{3V}}{{4\pi }}}}} \right)}^3}}} - \frac{4}{3}\sqrt[\large 3\normalsize]{{\frac{{3V}}{{4\pi }}}} }
= {\frac{{V \cdot {4^{\large\frac{2}{3}\normalsize}} \cdot {\pi ^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}}{{\pi \cdot {3^{\large\frac{2}{3}\normalsize}} \cdot {V^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}} - \frac{{4 \cdot {3^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} \cdot {V^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}}}{{3 \cdot {4^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} \cdot {\pi ^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}}} }
= {\frac{{{V^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} \cdot {4^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}}{{{\pi ^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} \cdot {3^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}} - \frac{{{V^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} \cdot {4^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}}{{{\pi ^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} \cdot {3^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}} \equiv 0.}
\]
Как видно, наиболее оптимальной является просто шаровая поверхность без цилиндрической части!