Тригонометрия
Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой ее острого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 15 см и 33 см. Вычислить (в см2) площадь трапеции.
Пусть \( ABCD \) — трапеция, \( AC \) — диагональ трапеции и биссектриса острого угла \( \angle A \), т.е. \( \angle BAC=\angle CAD \). \( EF \) — средняя линия трапеции. \( EO=15 \) см, \( OF=33 \) см (\( AC \) пересекает \( EF \) в точке \( O \)). Опустим высоты на \( AD \) из \( B \) и \( C \) (\( BM\perp AD \), \( CK\perp AD \)).
\( S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot BM=EF\cdot BM \)
\( EF=EO+OF=15+33=48 \) см
Рассмотрим треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle ACD \) для которых \( EO \) и \( OF \) являются соответственно средними линиями. Значит \( BC=2\cdot EO=30 \) см, \( AD=2\cdot OF=66 \) см.
\( \angle CAD=\angle BCA \) как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых \( BC\parallel AD \) и секущей \( AC \), но по условию \( \angle CAD = \angle BAC \), следовательно \( \angle BCA = \angle BAC \) и треугольник \( \triangle ABC \) равнобедренный, т.е. \( AB=BC=30 \) см.
Рассмотрим \( \triangle ABM \): \( \angle M=90^{\circ} \), \( AB=30 \) см, \( AM=\frac{AD-BC}{2}=\frac{66-30}{2}=18 \) см. По теореме Пифагора найдем \( BM=\sqrt{AB^2-AM^2}=\sqrt{900-324}=\sqrt{576}=24 \) см.
Тогда площадь трапеции равна \( S_{ABCD}=48\cdot24=1152 \) см2.
1152 см2.