Формула площади трапеции

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. Площадь трапеции S равна произведению полусуммы ее оснований (a, b) на высоту (h)

Площадь трапеции через основания и высоту

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований a и b на высоту h

S=a+b2⋅h S = \frac{ a + b }{2} \cdot h

Площадь трапеции через высоту и среднюю линию

S=m⋅h S = m \cdot h

Площадь трапеции через четыре стороны

S=a+b2⋅c2−((b−a)2+c2−d22(a−b))2 S = \frac{ a + b }{2} \cdot \sqrt{ c^{2} - \left( \frac{ (b-a)^{2} + c^{2} -d^{2}}{2(a-b)} \right) ^{2} }

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними

Если d1d_{1}, d2d_{2} — диагонали трапеции, а ∠α \angle \alpha  — угол между ними , то площадь трапеции можно вычислить по формуле

S=12d1⋅d2⋅sin⁡(α) S = \frac{1}{2} d_{1} \cdot d_{2} \cdot \sin (\alpha)

Площадь трапеции через основания и два угла

S=12(b2−a2)sin(α)⋅sin(β)sin(α+β) S = \frac{1}{2} \left( b^{2} - a^{2} \right) \frac{ sin(\alpha) \cdot sin(\beta) }{sin(\alpha + \beta)}

  • Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
  • Две другие стороны называются боковыми сторонами.
  • Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
  • Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.
  • Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой (или равнобедренной)
  • Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.
  • Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
  • Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
  • У равнобокой трапеции углы при основании равны.
  • У равнобокой трапеции диагонали равны.
  • Если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность.
  • Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.
  • В трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и продолжения боковых сторон находятся на одной прямой.
Площадь геометрической фигуры, или площадь фигуры - часть поверхности, ограниченная замкнутым контуром данной фигуры. Величина площади фигуры выражается числом заключающихся в него квадратных единиц.
Формулы площади Площадь Формулы Геометрия
Пример 1
Площадь • Формулы • Геометрия
Задача

Основания равнобедренной (равнобокой) трапеции равны 8 и 20 сантиметров. Боковая сторона равна 10 см. Найдите площадь трапеции, подобной данной, которая имеет высоту 12 см.

Решение

Из вершины B трапеции ABCD опустим высоту BM на основание AD. Из вершины C на основание AD опустим высоту CN. Поскольку MBCN является прямоугольником, то

AD = BC + AM + ND

Треугольники, получившиеся в результате того, что мы опустили из меньшего основания равнобокой трапеции на большее две высоты - равны. Таким образом,

AD = BC + AM * 2
AM = (AD - BC) / 2
AM = ( 20 - 8 ) / 2 = 6 см

Таким образом, в треугольнике ABM, образованном высотой, опущенной из меньшего основания трапеции на большее нам известны катет и гипотенуза. Оставшийся катет, который одновременно является высотой трапеции, найдем по теореме Пифагора:

BM2 = AB2 - AM2
BM2 = 102 - 62
BM = 8 см

Поскольку высота трапеции ABCD равна 8 см, а высота подобной трапеции - 12 см, то коэффициент подобия будет равен

k = 12 / 8 = 1,5

Поскольку в подобных фигурах все геометрические размеры пропорциональны друг другу с коэффициентом подобия, найдем площадь подобной трапеции. Произведение полусуммы оснований подобной трапеции на высоту выразим через известные геометрические размеры исходной трапеции и коэффициент подобия:

Sпод = (AD * k + BC * k ) / 2 * ( BM * k )
Sпод = ( 20 * 1,5 + 8 * 1,5 ) / 2 * (8 * 1,5) = ( 30 + 12 ) / 2 * 12 = 252 см2

Ответ

252 см2

Уровень8 класс ПредметМатематика СложностьПростая
Пример 2
Площадь • Формулы • Геометрия
Задача

Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой ее острого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 15 см и 33 см. Вычислить (в см2) площадь трапеции.

Решение

Пусть ABCD ABCD  — трапеция, AC AC  — диагональ трапеции и биссектриса острого угла ∠A \angle A , т.е. ∠BAC=∠CAD \angle BAC=\angle CAD . EF EF  — средняя линия трапеции. EO=15 EO=15 см, OF=33 OF=33 см (AC AC пересекает EF EF в точке O O ). Опустим высоты на AD AD из B B и C C (BM⊥AD BM\perp AD , CK⊥AD CK\perp AD ).

SABCD=AD+BC2⋅BM=EF⋅BM S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot BM=EF\cdot BM

EF=EO+OF=15+33=48 EF=EO+OF=15+33=48 см

Рассмотрим треугольники △ABC \triangle ABC и △ACD \triangle ACD для которых EO EO и OF OF являются соответственно средними линиями. Значит BC=2⋅EO=30 BC=2\cdot EO=30 см, AD=2⋅OF=66 AD=2\cdot OF=66 см.

∠CAD=∠BCA \angle CAD=\angle BCA как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC∥AD BC\parallel AD и секущей AC AC , но по условию ∠CAD=∠BAC \angle CAD = \angle BAC , следовательно ∠BCA=∠BAC \angle BCA = \angle BAC и треугольник △ABC \triangle ABC равнобедренный, т.е. AB=BC=30 AB=BC=30 см.

Рассмотрим △ABM \triangle ABM : ∠M=90∘ \angle M=90^{\circ} , AB=30 AB=30 см, AM=AD−BC2=66−302=18 AM=\frac{AD-BC}{2}=\frac{66-30}{2}=18 см. По теореме Пифагора найдем BM=AB2−AM2=900−324=576=24 BM=\sqrt{AB^2-AM^2}=\sqrt{900-324}=\sqrt{576}=24 см.

Тогда площадь трапеции равна SABCD=48⋅24=1152 S_{ABCD}=48\cdot24=1152 см2.

Ответ

1152 см2.

Уровень8 класс ПредметМатематика СложностьПростая
Читать по теме
Интересные статьи