Формула площади трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований (a, b) на высоту (h)

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. Площадь трапеции S равна произведению полусуммы ее оснований (a, b) на высоту (h)

Площадь трапеции через основания и высоту

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований a и b на высоту h

 \[ S = \frac{ a + b }{2} \cdot h \]    

Площадь трапеции через высоту и среднюю линию

 \[ S = m \cdot h \]    

Площадь трапеции через четыре стороны

 \[ S = \frac{ a + b }{2} \cdot \sqrt{ c^{2} - \left( \frac{ (b-a)^{2} + c^{2} -d^{2}}{2(a-b)} \right) ^{2} } \]    

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними

Если \(d_{1}\), \(d_{2}\) – диагонали трапеции, а \( \angle \alpha \) – угол между ними , то площадь трапеции можно вычислить по формуле

 \[ S = \frac{1}{2} d_{1} \cdot d_{2} \cdot \sin (\alpha) \]    

Площадь трапеции через основания и два угла

 \[ S = \frac{1}{2} \left( b^{2} - a^{2} \right) \frac{ sin(\alpha) \cdot sin(\beta) }{sin(\alpha + \beta)} \]    

  • Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
  • Две другие стороны называются боковыми сторонами.
  • Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
  • Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.
  • Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой (или равнобедренной)
  • Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.
  • Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
  • Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
  • У равнобокой трапеции углы при основании равны.
  • У равнобокой трапеции диагонали равны.
  • Если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность.
  • Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.
  • В трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и продолжения боковых сторон находятся на одной прямой.

Источник

Пример 1

Задача

Основания равнобедренной (равнобокой) трапеции равны 8 и 20 сантиметров. Боковая сторона равна 10 см. Найдите площадь трапеции, подобной данной, которая имеет высоту 12 см.

Решение

Из вершины B трапеции ABCD опустим высоту BM на основание AD. Из вершины C на основание AD опустим высоту CN. Поскольку MBCN является прямоугольником, то

AD = BC + AM + ND

Треугольники, получившиеся в результате того, что мы опустили из меньшего основания равнобокой трапеции на большее две высоты - равны. Таким образом,

AD = BC + AM * 2
AM = (AD - BC) / 2
AM = ( 20 - 8 ) / 2 = 6 см

Таким образом, в треугольнике ABM, образованном высотой, опущенной из меньшего основания трапеции на большее нам известны катет и гипотенуза. Оставшийся катет, который одновременно является высотой трапеции, найдем по теореме Пифагора:

BM2 = AB2 - AM2
BM2  = 102 - 62
BM = 8 см

Поскольку высота трапеции ABCD равна 8 см, а высота подобной трапеции - 12 см, то коэффициент подобия будет равен

k = 12 / 8 = 1,5

Поскольку в подобных фигурах все геометрические размеры пропорциональны друг другу с коэффициентом подобия, найдем площадь подобной трапеции. Произведение полусуммы оснований подобной трапеции на высоту выразим через известные геометрические размеры исходной трапеции и коэффициент подобия:

Sпод = (AD * k + BC * k ) / 2 * ( BM * k )
Sпод = ( 20 * 1,5 + 8 * 1,5 ) / 2 * (8 * 1,5) = ( 30 + 12 ) / 2 * 12 = 252 см2 

Ответ

  252 см2 

Пример 2

Задача

Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой ее острого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 15 см и 33 см. Вычислить (в см2) площадь трапеции.

Решение

Пусть \( ABCD \) — трапеция, \( AC \) — диагональ трапеции и биссектриса острого угла \( \angle A \), т.е. \( \angle BAC=\angle CAD \). \( EF \) — средняя линия трапеции. \( EO=15 \) см, \( OF=33 \) см (\( AC \) пересекает \( EF \) в точке \( O \)). Опустим высоты на \( AD \) из \( B \) и \( C \) (\( BM\perp AD \), \( CK\perp AD \)).

\( S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot BM=EF\cdot BM \)

\( EF=EO+OF=15+33=48 \) см

Рассмотрим треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle ACD \) для которых \( EO \) и \( OF \) являются соответственно средними линиями. Значит \( BC=2\cdot EO=30 \) см, \( AD=2\cdot OF=66 \) см.

\( \angle CAD=\angle BCA \) как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых \( BC\parallel AD \) и секущей \( AC \), но по условию \( \angle CAD = \angle BAC \), следовательно \( \angle BCA = \angle BAC \) и треугольник \( \triangle ABC \) равнобедренный, т.е. \( AB=BC=30 \) см.

Рассмотрим \( \triangle ABM \): \( \angle M=90^{\circ} \), \( AB=30 \) см, \( AM=\frac{AD-BC}{2}=\frac{66-30}{2}=18 \) см. По теореме Пифагора найдем \( BM=\sqrt{AB^2-AM^2}=\sqrt{900-324}=\sqrt{576}=24 \) см.

Тогда площадь трапеции равна \( S_{ABCD}=48\cdot24=1152 \) см2.

Ответ

1152 см2.

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

50 000авторов
от 100 р.стоимость заказа
2 часамин. срок
Узнать стоимость

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме:

Интересные статьи: