Соотношения между обратными тригонометрическими функциями
Действительные числа, аргументы функций: \( x \)
Обратные тригонометрические функции: \( \arcsin x \), \( \arccos x \), \( \arctan x \), \( \text {arccot }x \)
Обратные тригонометрические функции: \( \arcsin x \), \( \arccos x \), \( \arctan x \), \( \text {arccot }x \)
Арксинус отрицательного числа
\( \arcsin \left( { - x} \right) = - \arcsin x \)
Выражение арксинуса через арккосинус
\( \arcsin x = -\pi/2 - \arccos x \)
\( \arcsin x = \arccos \sqrt {1 - {x^2}} ,\;\;0 \le x \le 1 \)
\( \arcsin x = -\arccos \sqrt {1 - {x^2}} ,\;\;-1 \le x \le 0 \)
\( \arcsin x = \arctan \large\dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\normalsize,\;\;{x^2} \le 1 \)
\(\arcsin x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,\large\frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{x}\normalsize,\;\;0 < x \le 1\)
\( \arcsin x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,\large\dfrac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{x}\normalsize - \pi,\;\;-1 \le x \lt 0 \)
\( \arcsin x = \arccos \sqrt {1 - {x^2}} ,\;\;0 \le x \le 1 \)
\( \arcsin x = -\arccos \sqrt {1 - {x^2}} ,\;\;-1 \le x \le 0 \)
\( \arcsin x = \arctan \large\dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\normalsize,\;\;{x^2} \le 1 \)
\(\arcsin x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,\large\frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{x}\normalsize,\;\;0 < x \le 1\)
\( \arcsin x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,\large\dfrac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{x}\normalsize - \pi,\;\;-1 \le x \lt 0 \)
Арккосинус отрицательного числа
\( \arccos \left( { - x} \right) = \pi - \arccos x \)
Выражение арккосинуса через арксинус
\( \arccos x = \pi/2 - \arcsin x \)
\( \arccos x = \arcsin \sqrt {1 - {x^2}} ,\;\;0 \le x \le 1 \)
\( \arccos x = \pi - \arcsin \sqrt {1 - {x^2}} ,\;\;-1 \le x \le 0 \)
\(\arccos x = \arctan \large\frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{x}\normalsize,\;\;0 < x \le 1\)
\(\arccos x = \pi + \arctan \large\frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{x}\normalsize,\;\;-1 \le x < 0\)
\(\arccos x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,\large\frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\normalsize,\;\; - 1 < x < 1\)
\( \arccos x = \arcsin \sqrt {1 - {x^2}} ,\;\;0 \le x \le 1 \)
\( \arccos x = \pi - \arcsin \sqrt {1 - {x^2}} ,\;\;-1 \le x \le 0 \)
\(\arccos x = \arctan \large\frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{x}\normalsize,\;\;0 < x \le 1\)
\(\arccos x = \pi + \arctan \large\frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{x}\normalsize,\;\;-1 \le x < 0\)
\(\arccos x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,\large\frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\normalsize,\;\; - 1 < x < 1\)
Арктангенс отрицательного числа
\( \arctan \left( { - x} \right) = - \arctan x \)
Выражение арктангенса через арккотангенс
\( \arctan x = \pi/2 - \text {arccot }x \)
\( \arctan x = \arcsin \large\dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\normalsize \)
\( \arctan x = \arccos \large\dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\normalsize,\;\;x \ge 0 \)
\( \arctan x = -\arccos \large\dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\normalsize,\;\;x \le 0 \)
\(\arctan x = \large\frac{\pi }{2}\normalsize - \arctan \large\frac{1}{x}\normalsize,\;\;x > 0\)
\(\arctan x = -\large\frac{\pi }{2}\normalsize - \arctan \large\frac{1}{x}\normalsize,\;\;x < 0\)
\(\arctan x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,\large\frac{1}{x}\normalsize,\;\;x > 0\)
\(\arctan x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,\large\frac{1}{x}\normalsize - \pi,\;\;x < 0\)
\( \arctan x = \arcsin \large\dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\normalsize \)
\( \arctan x = \arccos \large\dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\normalsize,\;\;x \ge 0 \)
\( \arctan x = -\arccos \large\dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\normalsize,\;\;x \le 0 \)
\(\arctan x = \large\frac{\pi }{2}\normalsize - \arctan \large\frac{1}{x}\normalsize,\;\;x > 0\)
\(\arctan x = -\large\frac{\pi }{2}\normalsize - \arctan \large\frac{1}{x}\normalsize,\;\;x < 0\)
\(\arctan x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,\large\frac{1}{x}\normalsize,\;\;x > 0\)
\(\arctan x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,\large\frac{1}{x}\normalsize - \pi,\;\;x < 0\)
Арккотангенс отрицательного числа
\( {\mathop{\rm arccot}\nolimits} \left( { - x} \right) = \pi - {\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,x \)
Выражение арккотангенса через арктангенс
\( {\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,x = \pi/2 - \arctan x \)
\({\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,x = \arcsin \large\frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\normalsize,\;\;x > 0\)
\({\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,x = \pi - \arcsin \large\frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\normalsize,\;\;x < 0\)
\( {\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,x = \arccos \large\dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\normalsize \)
\({\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,x = \arctan \large\frac{1}{x}\normalsize,\;\;x > 0\)
\({\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,x = \pi + \arctan \large\frac{1}{x}\normalsize,\;\;x < 0\)
\({\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,x = \arcsin \large\frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\normalsize,\;\;x > 0\)
\({\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,x = \pi - \arcsin \large\frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\normalsize,\;\;x < 0\)
\( {\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,x = \arccos \large\dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\normalsize \)
\({\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,x = \arctan \large\frac{1}{x}\normalsize,\;\;x > 0\)
\({\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,x = \pi + \arctan \large\frac{1}{x}\normalsize,\;\;x < 0\)
