• Главная
• Справочник
• Тригонометрия
• Синус (sin x) и косинус (cos x) – свойства, графики, формулы

Геометрическое определение синуса и косинуса

Тригонометрическое определение

Косинус угла - это абсцисса точки. Синус угла - это ордината точки.

На рис. 2 угол взят острым, и легко понять, что данное определение совпадает с общим геометрическим определением. В самом деле, мы видим прямоугольный треугольник с единичной гипотенузой O и острым углом. Прилежащий катет этого треугольника есть cos (сравните с рис. 1) и одновременно абсцисса точки ; противолежащий катет есть sin (как на рис. 1) и одновременно ордината точки.

Но теперь мы уже не стеснены первой четвертью и получаем возможность распространить данное определение на любой угол . На рис. 3 показано, что такое синус и косинус угла во второй, третьей и четвёртой четвертях.

Рис. 3. Синус и косинус во II, III и IV четвертях

Табличные значения синуса и косинуса

Нулевой угол \( \LARGE 0^{\circ } \)

Абсцисса точки 0 равна 1, ордината точки 0 равна 0. Следовательно,

cos 0 = 1   sin 0 = 0

Рис 4. Нулевой угол

Угол \( \LARGE \frac{\pi}{6} = 30^{\circ } \)

Мы видим прямоугольный треугольник с единичной гипотенузой и острым углом 30°. Как известно, катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы¹; иными словами, вертикальный катет равен 1/2 и, стало быть,

\[ \sin \frac{\pi}{6} =\frac{1}{2} \]

Горизонтальный катет находим по теореме Пифагора (или, что то же самое, находим косинус по основному тригонометрическому тождеству):

\[ \cos \frac{\pi}{6} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2} \right)^{2} } =\frac{\sqrt{3} }{2} \]

¹ Почему так получается? Разрежьте равносторонний треугольник со стороной 2 вдоль его высоты! Он распадётся на два прямоугольных треугольника с гипотенузой 2, острым углом 30° и меньшим катетом 1.

Рис 5. Угол π / 6

Угол \( \LARGE \frac{\pi}{4} = 45^{\circ } \)

В данном случае прямоугольный треугольник является равнобедренным; синус и косинус угла 45° равны друг другу. Обозначим их пока через x. Имеем:

\[ x^{2} + x^{2} = 1 \]

откуда \( x=\frac{\sqrt{2} }{2} \). Следовательно,

\[ \cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} =\frac{\sqrt{2} }{2} \]

Рис 5. Угол π / 4

Свойства синуса и косинуса

Принятые обозначения

\( \sin^2 x \equiv (\sin x)^2; \)\( \quad \sin^3 x \equiv (\sin x)^3; \)\( \quad \sin^n x \equiv (\sin x)^n \)\( \sin^{-1} x \equiv \arcsin x \)\( (\sin x )^{-1} \equiv \dfrac1{\sin x} \equiv \cosec x \).

\( \cos^2 x \equiv (\cos x)^2; \)\( \quad \cos^3 x \equiv (\cos x)^3; \)\( \quad \cos^n x \equiv (\cos x)^n \)\( \cos^{-1} x \equiv \arccos x \)\( (\cos x )^{-1} \equiv \dfrac1{\cos x} \equiv \sec x \).

Периодичность

Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2π.

\( \sin(x + 2\pi) = \sin x; \quad \)\( \cos(x + 2\pi) = \cos x \)

Четность

Функция синус – нечетная. Функция косинус – четная.

\( \sin( -x ) = - \sin x; \quad \)\( \cos( -x ) = \cos x \)

Области определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание

Основные свойства синуса и косинуса представлены в таблице (n - целое).

Основные формулы, содержащие синус и косинус

Сумма квадратов

\( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)

Формулы синуса и косинуса суммы и разности

\( \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \)
\( \sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y \)
\( \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \)
\( \cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \)

Формулы произведения синусов и косинусов

\( \sin x \cos y = \)\( \dfrac12 {\Large [} \sin( x - y ) + \sin( x + y ) {\Large ]} \)
\( \sin x \sin y = \)\( \dfrac12 {\Large [} \cos( x - y ) - \cos( x + y ) {\Large ]} \)
\( \cos x \cos y = \)\( \dfrac12 {\Large [} \cos( x - y ) + \cos( x + y ) {\Large ]} \)

Формулы суммы и разности

\( \sin x + \sin y = 2 \, \sin \dfrac{x+y}2 \, \cos \dfrac{x-y}2 \)
\( \sin x - \sin y = 2 \, \sin \dfrac{x-y}2 \, \cos \dfrac{x+y}2 \)
\( \cos x + \cos y = 2 \, \cos \dfrac{x+y}2 \, \cos \dfrac{x-y}2 \)
\( \cos x - \cos y = 2 \, \sin \dfrac{x+y}2 \, \sin \dfrac{y-x}2 \)

Выражение синуса через косинус

Далее мы полагаем, что \( n \) – целое число.

\( \sin x = \cos\left( \dfrac{\pi}2 - x \right) = \)\( \cos\left( x - \dfrac{\pi}2 \right) = - \cos\left( x + \dfrac{\pi}2 \right) \)\( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \)\( \sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} \) \( \{ 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi + 2 \pi n \} \)\( \sin x = - \sqrt{1 - \cos^2 x} \) \( \{ -\pi + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 2 \pi n \} \).

Выражение косинуса через синус

\( \cos x = \sin\left( \dfrac{\pi}2 - x \right) = \)\( - \sin\left( x - \dfrac{\pi}2 \right) = \sin\left( x + \dfrac{\pi}2 \right) \)\( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \)\( \cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} \) \( \{ -\pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi/2 + 2 \pi n \} \)\( \cos x = - \sqrt{1 - \sin^2 x} \) \( \{ \pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 3\pi/2 + 2 \pi n \} \).

Выражение через тангенс

\( \sin^2 x = \dfrac{\tg^2 x}{1+\tg^2 x} \)\( \cos^2 x = \dfrac1{1+\tg^2 x} \).

При \( - \dfrac{\pi}2 + 2 \pi n < x < \dfrac{\pi}2 + 2 \pi n \)\( \sin x = \dfrac{\tg x}{ \sqrt{1+\tg^2 x} } \)\( \cos x = \dfrac1{ \sqrt{1+\tg^2 x} } \).

При \( \dfrac{\pi}2 + 2 \pi n < x < \dfrac{3\pi}2 + 2 \pi n \) :
\( \sin x = - \dfrac{\tg x}{ \sqrt{1+\tg^2 x} } \)\( \cos x = - \dfrac1{ \sqrt{1+\tg^2 x} } \).

Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов

В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента.
[ img style="max-width:500px;max-height:1080px;" src="tablitsa.png" alt="Таблица синусов и косинусов" title="Таблица синусов и косинусов" ]

Выражения через комплексные переменные

\( i^2 = -1 \)
\( \sin z = \dfrac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} \)\( \cos z = \dfrac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} \)

Формула Эйлера

\( e^{iz} = \cos z + i \sin z \)

Выражения через гиперболические функции

\( \sin iz = i \sh z \)\( \cos iz = \ch z \)
\( \sh iz = i \sin z \)\( \ch iz = \cos z \)

Производные

\( ( \sin x )' = \cos x \)\( ( \cos x )' = - \sin x \). Вывод формул > > >

Производные n-го порядка:
\( \left( \sin x \right)^{(n)} = \sin\left( x + n\dfrac{\pi}2 \right) \)\( \left( \cos x \right)^{(n)} = \cos\left( x + n\dfrac{\pi}2 \right) \).

Интегралы

\( \int \sin x \, dx = - \cos x + C \)\( \int \cos x \, dx = \sin x + C \)
См. также раздел Таблица неопределенных интегралов >>>

Разложения в ряды

\( \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{ (-1)^n x^{2n+1} }{ (2n+1)! } = \)\( x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + ... \) \( \{- \infty < x < \infty \} \)
\( \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{ (-1)^n x^{2n} }{ (2n)! } = \)\( 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + ... \) \( \{ - \infty < x < \infty \} \)

Секанс, косеканс

\( \sec x = \dfrac1{ \cos x } ; \) \( \cosec x = \dfrac1{ \sin x } \)

Обратные функции

Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус, соответственно.

Арксинус, arcsin

\( y = \arcsin x \) \( \left\{ -1 \leqslant x \leqslant 1; \; - \dfrac{\pi}2 \leqslant y \leqslant \dfrac{\pi}2 \right\} \)
\( \sin( \arcsin x ) = x \) \( \{ -1 \leqslant x \leqslant 1 \} \)
\( \arcsin( \sin x ) = x \) \( \left\{ - \dfrac{\pi}2 \leqslant x \leqslant \dfrac{\pi}2 \right\} \)

Арккосинус, arccos

\( y = \arccos x \) \( \left\{ -1 \leqslant x \leqslant 1; \; 0 \leqslant y \leqslant \pi \right\} \)
\( \cos( \arccos x ) = x \) \( \{ -1 \leqslant x \leqslant 1 \} \)
\( \arccos( \cos x ) = x \) \( \{ 0 \leqslant x \leqslant \pi \} \)

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.