Главная Справочник Тригонометрия Основные формулы тригонометрии
Тригонометрические выражения — это выражения, в котором переменная содержится под знаком тригонометрических функций. Их всего четыре:
Синус s i n ( x ) \displaystyle sin\left( x \right) s i n ( x ) Косинус c o s ( x ) \displaystyle cos\left( x \right) c o s ( x ) Тангенс t g ( x ) \displaystyle tg\left( x \right) t g ( x ) Котангенс c t g ( x ) \displaystyle ctg\left( x \right) c t g ( x )
Существует два способа решения тригонометрических уравнений:
Первый способ - с использованием формул.
A \displaystyle A A a \displaystyle a a − 1 \displaystyle -1 − 1 0 \displaystyle 0 0 1 \displaystyle 1 1 sin x = A \displaystyle \sin x=A sin x = A ( − 1 ) n arcsin α + π n \displaystyle {{\left( -1 \right)}^{n}}\arcsin \alpha +\pi n ( − 1 ) n arcsin α + π n − π 2 + 2 π n \displaystyle -\dfrac{\pi }{2}+2\pi n − 2 π + 2 π n π n \displaystyle \pi n π n π 2 + 2 π n \displaystyle \dfrac{\pi }{2}+2\pi n 2 π + 2 π n cos x = A \displaystyle \cos x=A cos x = A ± arccos α + 2 π n \displaystyle \pm \arccos \alpha +2\pi n ± arccos α + 2 π n π + 2 π n \displaystyle \pi +2\pi n π + 2 π n π 2 + π n \displaystyle \dfrac{\pi }{2}+\pi n 2 π + π n 2 π n \displaystyle 2\pi n 2 π n t g x = A \displaystyle tgx=A t g x = A a r c t g α + π n \displaystyle arctg\alpha +\pi n a r c t g α + π n − π 4 + π n \displaystyle -\dfrac{\pi }{4}+\pi n − 4 π + π n π n \displaystyle \pi n π n π 4 + π n \displaystyle \dfrac{\pi }{4}+\pi n 4 π + π n c t g x = A \displaystyle ctgx=A c t g x = A a r c c t g α + π n \displaystyle arcctg\alpha +\pi n a r c c t g α + π n 3 π 4 + π n \displaystyle \dfrac{3\pi }{4}+\pi n 4 3 π + π n π 2 + π n \displaystyle \dfrac{\pi }{2}+\pi n 2 π + π n π 4 + π n \displaystyle \dfrac{\pi }{4}+\pi n 4 π + π n
Второй способ - через тригонометрическую окружность.
Тригонометрическая окружность позволяет измерять углы, находить их синусы, косинусы и прочее.
Основные формулы Тригонометрии:
Основное тригонометрическое тождество (нужно его помнить, даже если тебя разбудили среди ночи и спросили!)
s i n 2 a + c o s 2 a = 1 \displaystyle si{{n}^{2}}a+co{{s}^{2}}a=1 s i n 2 a + c o s 2 a = 1
Выражение тангенса через синус и косинус (по сути альтернативное определение тангенса)
t g α = s i n α c o s α \displaystyle tg\ \alpha =\dfrac{sin\ \alpha }{cos\ \alpha } t g α = c o s α s i n α
Выражение котангенса через синус и косинус или через тангенс (по сути альтернативное определение котангенса)
c t g α = c o s α s i n α = 1 t g α \displaystyle ctg\ \alpha =\dfrac{cos\ \alpha }{sin\ \alpha }=\dfrac{1}{tg\ \alpha } c t g α = s i n α c o s α = t g α 1
sin ( α ± β ) = s i n α ⋅ c o s β ± c o s α ⋅ s i n β \displaystyle \sin \left( \alpha \pm \beta \right)=sin\alpha \cdot cos\beta \pm cos\alpha \cdot sin\beta sin ( α ± β ) = s i n α ⋅ c o s β ± c o s α ⋅ s i n β
Косинус суммы и разности:
cos ( α ± β ) = c o s α ⋅ c o s β ∓ s i n α ⋅ s i n β \displaystyle \cos \left( \alpha \pm \beta \right)=cos\alpha \cdot cos\beta \mp sin\alpha \cdot sin\beta cos ( α ± β ) = c o s α ⋅ c o s β ∓ s i n α ⋅ s i n β
Тангенс суммы и разности:
t g ( α ± β ) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α ⋅ t g β \displaystyle tg\left( \alpha \pm \beta \right)=\dfrac{tg\alpha \pm tg\beta }{1\mp tg\alpha \cdot tg\beta } t g ( α ± β ) = 1 ∓ t g α ⋅ t g β t g α ± t g β
Формулы понижения степени:
Данная группа формул позволяет перейти от любого тригонометрического выражения к рациональному.
s i n 2 α = 1 − c o s 2 α 2 \displaystyle si{{n}^{2}}\alpha =\dfrac{1-cos2\alpha }{2} s i n 2 α = 2 1 − c o s 2 α
c o s 2 α = 1 + c o s 2 α 2 \displaystyle co{{s}^{2}}\alpha =\dfrac{1+cos2\alpha }{2} c o s 2 α = 2 1 + c o s 2 α
s i n 3 α = 3 s i n α − s i n 3 α 4 \displaystyle si{{n}^{3}}\alpha =\dfrac{3sin\alpha -sin3\alpha }{4} s i n 3 α = 4 3 s i n α − s i n 3 α
c o s 3 a = 3 c o s a + c o s 3 a 4 \displaystyle co{{s}^{3}}a=\dfrac{3cosa+cos3a}{4} c o s 3 a = 4 3 c o s a + c o s 3 a
t g 2 α = 1 − c o s 2 α 1 + c o s 2 α , α ≠ π 2 + π n , n ∈ Z \displaystyle t{{g}^{2}}\alpha =\dfrac{1-cos2\alpha }{1+cos2\alpha },\alpha \ne \dfrac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z t g 2 α = 1 + c o s 2 α 1 − c o s 2 α , α ≠ 2 π + π n , n ∈ Z
s i n 3 α = 3 s i n α − s i n 3 α 4 \displaystyle si{{n}^{3}}\alpha =\dfrac{3sin\alpha -sin3\alpha }{4} s i n 3 α = 4 3 s i n α − s i n 3 α
c o s 3 a = 3 c o s a + c o s 3 a 4 \displaystyle co{{s}^{3}}a=\dfrac{3cosa+cos3a}{4} c o s 3 a = 4 3 c o s a + c o s 3 a
Из данных формул можно в частности вывести формулы тройного угла:
s i n 3 α = 3 s i n α − 4 s i n 3 α \displaystyle sin3\alpha =3sin\alpha -4si{{n}^{3}}\alpha s i n 3 α = 3 s i n α − 4 s i n 3 α
c o s 3 a = 4 c o s 3 a − 3 c o s a \displaystyle cos3a=4co{{s}^{3}}a-3cosa c o s 3 a = 4 c o s 3 a − 3 c o s a
t g 3 α = 3 t g α − t g 3 α 1 − 3 t g 2 α \displaystyle tg3\alpha =\dfrac{3tg\alpha -t{{g}^{3}}\alpha }{1-3t{{g}^{2}}\alpha } t g 3 α = 1 − 3 t g 2 α 3 t g α − t g 3 α
c t g 3 α = 3 c t g α − c t g 3 α 1 − 3 c t g 2 α \displaystyle ctg3\alpha =\dfrac{3ctg\alpha -ct{{g}^{3}}\alpha }{1-3ct{{g}^{2}}\alpha } c t g 3 α = 1 − 3 c t g 2 α 3 c t g α − c t g 3 α
Формулы преобразования суммы функций
Данная группа формул позволяет преобразовать произведение в сумму и сумму в произведение.
s i n α ± s i n β = 2 s i n α ± β 2 c o s α ∓ β 2 \displaystyle sin\alpha \pm sin\beta =2sin\dfrac{\alpha \pm \beta }{2}cos\dfrac{\alpha \mp \beta }{2} s i n α ± s i n β = 2 s i n 2 α ± β c o s 2 α ∓ β
c o s α + c o s β = 2 c o s α + β 2 c o s α − β 2 \displaystyle cos\alpha +cos\beta =2cos\dfrac{\alpha +\beta }{2}cos\dfrac{\alpha -\beta }{2} c o s α + c o s β = 2 c o s 2 α + β c o s 2 α − β
c o s α − c o s β = − 2 s i n α + β 2 s i n α − β 2 \displaystyle cos\alpha -cos\beta =-2sin\dfrac{\alpha +\beta }{2}sin\dfrac{\alpha -\beta }{2} c o s α − c o s β = − 2 s i n 2 α + β s i n 2 α − β
t g α ± t g β = sin ( α ± β ) c o s α c o s β \displaystyle tg\alpha \pm tg\beta =\dfrac{\text{sin}\left( \alpha \pm \beta \right)}{cos\alpha cos\beta } t g α ± t g β = c o s α c o s β sin ( α ± β )
c t g α ± c t g β = sin ( β ± α ) s i n α s i n β \displaystyle ctg\alpha \pm ctg\beta =\dfrac{\text{sin}\left( \beta \pm \alpha \right)}{sin\alpha sin\beta } c t g α ± c t g β = s i n α s i n β sin ( β ± α )
Формулы преобразования произведений функций
s i n α s i n β = cos ( α − β ) − cos ( α + β ) 2 \displaystyle sin\alpha sin\beta =\dfrac{\cos \left( \alpha -\beta \right)-\text{cos}\left( \alpha +\beta \right)}{2} s i n α s i n β = 2 cos ( α − β ) − cos ( α + β )
s i n α c o s β = sin ( α + β ) + sin ( α − β ) 2 \displaystyle sin\alpha cos\beta =\dfrac{\sin \left( \alpha +\beta \right)+\text{sin}\left( \alpha -\beta \right)}{2} s i n α c o s β = 2 sin ( α + β ) + sin ( α − β )
c o s α c o s β = cos ( α − β ) + cos ( α + β ) 2 \displaystyle cos\alpha cos\beta =\dfrac{\cos \left( \alpha -\beta \right)+\text{cos}\left( \alpha +\beta \right)}{2} c o s α c o s β = 2 cos ( α − β ) + cos ( α + β )
В вашем браузере отключен Javascript.
