Основные формулы тригонометрии

Основное тригонометрическое тождество, синус суммы и разности, косинус суммы и разности. Основные формулы тригонометрии.

Тригонометрические выражения – это выражения, в котором переменная содержится под знаком тригонометрических функций. Их всего четыре:

  • Синус \( \displaystyle sin\left( x \right) \)
  • Косинус \( \displaystyle cos\left( x \right) \)
  • Тангенс \( \displaystyle tg\left( x \right) \)
  • Котангенс \( \displaystyle ctg\left( x \right) \)

Существует два способа решения тригонометрических уравнений:

Первый способ - с использованием формул.

\( \displaystyle A \) \( \displaystyle a \) \( \displaystyle -1 \) \( \displaystyle 0 \) \( \displaystyle 1 \)
\( \displaystyle \sin x=A \) \( \displaystyle {{\left( -1 \right)}^{n}}\arcsin \alpha +\pi n \) \( \displaystyle -\dfrac{\pi }{2}+2\pi n \) \( \displaystyle \pi n \) \( \displaystyle \dfrac{\pi }{2}+2\pi n \)
\( \displaystyle \cos x=A \) \( \displaystyle \pm \arccos \alpha +2\pi n \) \( \displaystyle \pi +2\pi n \) \( \displaystyle \dfrac{\pi }{2}+\pi n \) \( \displaystyle 2\pi n \)
\( \displaystyle tgx=A \) \( \displaystyle arctg\alpha +\pi n \) \( \displaystyle -\dfrac{\pi }{4}+\pi n \) \( \displaystyle \pi n \) \( \displaystyle \dfrac{\pi }{4}+\pi n \)
\( \displaystyle ctgx=A \) \( \displaystyle arcctg\alpha +\pi n \) \( \displaystyle \dfrac{3\pi }{4}+\pi n \) \( \displaystyle \dfrac{\pi }{2}+\pi n \) \( \displaystyle \dfrac{\pi }{4}+\pi n \)

Второй способ - через тригонометрическую окружность.

Тригонометрическая окружность позволяет измерять углы, находить их синусы, косинусы и прочее.

Основные формулы Тригонометрии:

Основное тригонометрическое тождество (нужно его помнить, даже если тебя разбудили среди ночи и спросили!)

\[ \displaystyle si{{n}^{2}}a+co{{s}^{2}}a=1 \]


Выражение тангенса через синус и косинус (по сути альтернативное определение тангенса)

\[ \displaystyle tg\ \alpha =\dfrac{sin\ \alpha }{cos\ \alpha } \]


Выражение котангенса через синус и косинус или через тангенс (по сути альтернативное определение котангенса)

\[ \displaystyle ctg\ \alpha =\dfrac{cos\ \alpha }{sin\ \alpha }=\dfrac{1}{tg\ \alpha } \]


Синус суммы и разности:

\[ \displaystyle \sin \left( \alpha \pm \beta \right)=sin\alpha \cdot cos\beta \pm cos\alpha \cdot sin\beta \]


Косинус суммы и разности:

\[ \displaystyle \cos \left( \alpha \pm \beta \right)=cos\alpha \cdot cos\beta \mp sin\alpha \cdot sin\beta \]


Тангенс суммы и разности:

\[ \displaystyle tg\left( \alpha \pm \beta \right)=\dfrac{tg\alpha \pm tg\beta }{1\mp tg\alpha \cdot tg\beta } \]

Формулы понижения степени:

Данная группа формул позволяет перейти от любого тригонометрического выражения к рациональному.

\[ \displaystyle si{{n}^{2}}\alpha =\dfrac{1-cos2\alpha }{2} \]

\[ \displaystyle co{{s}^{2}}\alpha =\dfrac{1+cos2\alpha }{2} \]

\[ \displaystyle si{{n}^{3}}\alpha =\dfrac{3sin\alpha -sin3\alpha }{4} \]

\[ \displaystyle co{{s}^{3}}a=\dfrac{3cosa+cos3a}{4} \]

\[ \displaystyle t{{g}^{2}}\alpha =\dfrac{1-cos2\alpha }{1+cos2\alpha },\alpha \ne \dfrac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z \]

\[ \displaystyle si{{n}^{3}}\alpha =\dfrac{3sin\alpha -sin3\alpha }{4} \]

\[ \displaystyle co{{s}^{3}}a=\dfrac{3cosa+cos3a}{4} \]

Из данных формул можно в частности вывести формулы тройного угла:

\[ \displaystyle sin3\alpha =3sin\alpha -4si{{n}^{3}}\alpha \]

\[ \displaystyle cos3a=4co{{s}^{3}}a-3cosa \]

\[ \displaystyle tg3\alpha =\dfrac{3tg\alpha -t{{g}^{3}}\alpha }{1-3t{{g}^{2}}\alpha } \]

\[ \displaystyle ctg3\alpha =\dfrac{3ctg\alpha -ct{{g}^{3}}\alpha }{1-3ct{{g}^{2}}\alpha } \]

Формулы преобразования суммы функций

Данная группа формул позволяет преобразовать произведение в сумму и сумму в произведение.

\[ \displaystyle sin\alpha \pm sin\beta =2sin\dfrac{\alpha \pm \beta }{2}cos\dfrac{\alpha \mp \beta }{2} \]

\[ \displaystyle cos\alpha +cos\beta =2cos\dfrac{\alpha +\beta }{2}cos\dfrac{\alpha -\beta }{2} \]

\[ \displaystyle cos\alpha -cos\beta =-2sin\dfrac{\alpha +\beta }{2}sin\dfrac{\alpha -\beta }{2} \]

\[ \displaystyle tg\alpha \pm tg\beta =\dfrac{\text{sin}\left( \alpha \pm \beta \right)}{cos\alpha cos\beta } \]

\[ \displaystyle ctg\alpha \pm ctg\beta =\dfrac{\text{sin}\left( \beta \pm \alpha \right)}{sin\alpha sin\beta } \]

Формулы преобразования произведений функций

\[ \displaystyle sin\alpha sin\beta =\dfrac{\cos \left( \alpha -\beta \right)-\text{cos}\left( \alpha +\beta \right)}{2} \]

\[ \displaystyle sin\alpha cos\beta =\dfrac{\sin \left( \alpha +\beta \right)+\text{sin}\left( \alpha -\beta \right)}{2} \]

\[ \displaystyle cos\alpha cos\beta =\dfrac{\cos \left( \alpha -\beta \right)+\text{cos}\left( \alpha +\beta \right)}{2} \]

Источник

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

50 000авторов
от 100 р.стоимость заказа
2 часамин. срок
Узнать стоимость

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме:

Интересные статьи:

  • Сколько грамм в чайной ложечке, столовой ложке и стакане?
    1 чайная ложка, 5 мл жидкости это приблизительно 5 грамм
  • Суммой двух векторов a и b называется третий вектор c, проведенный из начала a к концу b, если начало вектора b совпадает с концом вектора a. Разностью двух векторов a и b называется вектор c при условии: c = a − b, если c + b =a.
  • Сколько должен весить человек?
    Чтобы узнать вес человека, достаточно знать его рост в сантиметрах, из этой цифры вычесть 100, а к полученному числу либо прибавить 10, если речь идет о мужчине, либо отнять 10, если вычисляется вес женщины.
  • Основным тригонометрическим тождеством в русскоязычных учебниках математики называют соотношение sin 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ α = 1
  • Площадь ромба равна произведению длины его стороны на высоту (a, h), или половине произведения его диагоналей.
  • Между любыми материальными точками существует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению их масс и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними, действующая по линии, соединяющей эти точки
  • Что такое лошадиная сила
    Лошадиная сила — единица мощности. Она примерно равна значению в 75 кгс/м/с., что соответствует усилию, которое необходимо затратить для подъёма груза в 75 кг. на высоту одно метра за одну секунду.
  • Сколько в ампере ватт, как перевести амперы в ватты и киловатты
    Мощность – это скорость расходования энергии, выраженная в отношении энергии ко времени: 1 Вт = 1 Дж/1 с. Один ватт равен отношению одного джоуля (единице измерения работы) к одной секунде.