Тригонометрические функции числового аргумента

Мы рассмотрели самые основные тригонометрические функции (не обольщайтесь помимо синуса, косинуса, тангенса и котангенса существует еще целое множество других функций, но о них позже), а пока рассмотрим некоторые основные свойства уже изученных функций.

Тригонометрические функции числового аргумента

Какое бы действительное число t ни взять, ему можно поставить в соответствие однозначно определенное число sin(t). Правда, правило соответствия довольно сложное и заключается в следующем.

Чтобы по числу t найти значение sin(t), нужно:

  1. расположить числовую окружность на координатной плоскости так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а начальная точка А окружности попала в точку (1; 0);
  2. на окружности найти точку, соответствующую числу t;
  3. найти ординату этой точки.
  4. эта ордината и есть искомое sin(t).

Фактически речь идет о функции s = sin(t), где t — любое действительное число. Мы умеем вычислять некоторые значения этой функции (например, sin(0) = 0, \( sin \frac {\pi}{6} = \frac{1}{2} \) и т.д.), знаем некоторые ее свойства.

Точно так же мы можем считать, что уже получили некоторые представления еще о трех функциях: s = cos(t) s = tg(t) s = ctg(t) Все эти функции называют тригонометрическими функциями числового аргумента t.

Связь тригонометрических функций

Как вы, надеюсь, догадываетесь все тригонометрические функции связаны между собой и даже не зная значение одной, ее можно найти через другое.

К примеру, самая главная формула, из всей тригонометрии — это основное тригонометрическое тождество:

\[ sin^{2} t + cos^{2} t = 1 \]

Как видите, зная значение синуса можно найти значение косинуса, и также наоборот. Также очень распространенные формулы, связывающие синус и косинус с тангенсом и котангенсом:

\[ \boxed {\tan\; t=\frac{\sin\; t}{\cos\; t}, \qquad t \neq \frac{\pi}{2}+ \pi k} \]

\[ \boxed {\cot\; t=\frac{\cos\; }{\sin\; }, \qquad t \neq \pi k} \]

Из двух последних формул можно вывести еще одно тригометрическое тождество, связывающее на этот раз тангенс и котангенс:

\[ \boxed {\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac{\pi k}{2}} \]

Теперь давайте посмотрим, как эти формулы действуют на практике.

ПРИМЕР 1. Упростить выражение: а) \( 1+ \tan^2 \; t \), б) \( 1+ \cot^2 \; t \)

а) В первую очередь распишем тангенс, сохраняя квадрат:

\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t} \]

Далее нам нужно избавиться от единицы, а это по основному тригонометрическому тождеству:

\[ 1 + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t}= \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t} \]

Теперь введем все под общий знаменатель, и получаем:

\[ \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac{\sin^2 \; t}{\cos^2 \; t} = \frac{\cos^2 \; t + \sin^2 \; t}{\cos^2 \; t} \]

Ну и наконец, как мы видим числитель можно по основному тригонометрическому тождеству сократить до единицы, в итоге получаем: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac{1}{\cos^2 \; t} \]

б) С котангенсом выполняем все те же самые действия, только в знаменателе будет уже не косинус, а синус и ответ получится таким:

\[ 1+ \cot^2 \; = \frac{1}{\sin^2 \; t} \]

Выполнив данное задание мы вывели еще две очень важные формулы, связывающие наши функции, которые тоже нужно знать, как свои пять пальцев:

\[ \boxed {1+ \tan^2 \; = \frac{1}{\cos^2 \; t}, \qquad t \neq \frac{\pi}{2}+ \pi k} \]

\[ \boxed {1+ \cot^2 \; = \frac{1}{\sin^2 \; t}, \qquad t \neq \pi k} \]

Все представленные в рамках формулы вы должны знать наизусть, иначе дальнейшее изучение тригонометрии без них просто невозможно. В дальнейшем будут еще формулы и их будет очень много и уверяю все их вы точно будете запоминать долго, а может и не запомните, но эти шесть штук должны знать ВСЕ!

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме:

Интересные статьи: