Основные тригонометрические тождества

Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.

Основные тригонометрические тождества

\[ \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 \]

\[ tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \enspace ctg \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \]

\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1 \]

\[ \dfrac{1}{cos^{2}\alpha} = tg^{2} \alpha\]

\[ \dfrac{1}{sin^{2}\alpha} = ctg^{2} \alpha\]

Четность, нечетность тригонометрических функций

\[ \sin \left ( - \alpha \right ) = - \sin \left ( \alpha \right ) \]

\[ \cos \left ( - \alpha \right ) = \cos \left ( \alpha \right ) \]

\[ tg \left ( - \alpha \right ) = - tg \left ( \alpha \right ) \]

\[ ctg \left ( - \alpha \right ) = ctg \left ( \alpha \right ) \]

Зависимость между синусом и косинусом

\[ \sin^{2} \alpha+\cos^{2} \alpha=1 \]

Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.

При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.

Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус

\[ tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\enspace ctg \alpha=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \]

Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой \( \dfrac{y}{x}=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), а отношение \( \dfrac{x}{y}=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \) — будет являться котангенсом.

Добавим, что только для таких углов \( \alpha \), при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества \( tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), \( ctg \alpha=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \).

Например: \( tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) является справедливой для углов \( \alpha \), которые отличны от \( \dfrac{\pi}{2}+\pi z \), а \( ctg \alpha=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \) — для угла \( \alpha \), отличного от \( \pi z \), \( z \) — является целым числом.

Зависимость между тангенсом и котангенсом

\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha=1 \]

Данное тождество справедливо только для таких углов \( \alpha \), которые отличны от \( \dfrac{\pi}{2} z \). Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.

Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что \( tg \alpha = \dfrac{y}{x} \), а \( ctg \alpha=\dfrac{x}{y} \). Отсюда следует, что \( tg \alpha \cdot ctg \alpha = \dfrac{y}{x} \cdot \dfrac{x}{y}=1 \). Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.

Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом

\( tg^{2} \alpha + 1=\dfrac{1}{\cos^{2} \alpha} \) — сумма квадрата тангенса угла \( \alpha \) и \( \alpha \), отличных от \( \dfrac{\pi}{2}+ \pi z \).

\( 1+ctg^{2} \alpha=\dfrac{1}{\sin^{2}\alpha} \) — сумма \( \alpha \), равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого \( \alpha \), отличного от \( \pi z \).

Формулы приведения

sinα+2πz=sinα, cosα+2πz=cosαtgα+2πz=tgα, ctgα+2πz=ctgαsin-α+2πz=-sinα, cos-α+2πz=cosαtg-α+2πz=-tgα, ctg-α+2πz=-ctgαsinπ2+α+2πz=cosα, cosπ2+α+2πz=-sinαtgπ2+α+2πz=-ctgα, ctgπ2+α+2πz=-tgαsinπ2-α+2πz=cosα, cosπ2-α+2πz=sinαtgπ2-α+2πz=ctgα, ctgπ2-α+2πz=tgαsinπ+α+2πz=-sinα, cosπ+α+2πz=-cosαtgπ+α+2πz=tgα, ctgπ+α+2πz=ctgαsinπ-α+2πz=sinα, cosπ-α+2πz=-cosαtgπ-α+2πz=-tgα, ctgπ-α+2πz=-ctgαsin3π2+α+2πz=-cosα, cos3π2+α+2πz=sinαtg3π2+α+2πz=-ctgα, ctg3π2+α+2πz=-tgαsin3π2-α+2πz=-cosα, cos3π2-α+2πz=-sinαtg3π2-α+2πz=ctgα, ctg3π2-α+2πz=tgα

Формулы понижения степени

sin2α=1-cos2α2cos2α=1+cos2α2sin3α=3sinα-sin3α4cos3α=3cosα+cos3α4sin4α=3-4cos2α+cos4α8cos4α=3+4cos2α+cos4α8

Найдите \( \sin \alpha \) и \( tg \alpha \), если \( \cos \alpha=-\dfrac12 \) и \( \dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi \);

Функции \( \sin \alpha \) и \( \cos \alpha \) связывает формула \( \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 \). Подставив в эту формулу \( \cos \alpha = -\dfrac12 \), получим:

\( \sin^{2}\alpha + \left (-\dfrac12 \right )^2 = 1 \)

Это уравнение имеет 2 решения:

\( \sin \alpha = \pm \sqrt{1-\dfrac14} = \pm \dfrac{\sqrt 3}{2} \)

По условию \( \dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). Во второй четверти синус положителен, поэтому \( \sin \alpha = \dfrac{\sqrt 3}{2} \).

Для того, чтобы найти \( tg \alpha \), воспользуемся формулой \( tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \). Соответствующие величины нам известны.

\( tg \alpha = \dfrac{\sqrt 3}{2} : \dfrac12 = \sqrt 3 \)

Уровень8 класс ПредметМатематика СложностьПростая

Найдите \( \cos \alpha \) и \( ctg \alpha \), если \( \sin \alpha=\dfrac{\sqrt3}{2} \) и \( \dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi \).

Подставив в формулу \( \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 \) данное по условию число \( \sin \alpha=\dfrac{\sqrt3}{2} \), получаем \( \left (\dfrac{\sqrt3}{2}\right )^{2} + \cos^{2} \alpha = 1 \). Это уравнение имеет два решения \( \cos \alpha = \pm \sqrt{1-\dfrac{3}{4}}=\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}} \).

По условию \( \dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому \( \cos \alpha = -\sqrt{\dfrac{1}{4}}=-\dfrac{1}{2} \).

Для того, чтобы найти \( ctg \alpha \), воспользуемся формулой \( ctg \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \). Соответствующие величины нам известны.

\( ctg \alpha = -\dfrac12 : \dfrac{\sqrt3}{2} = -\dfrac{1}{\sqrt 3} \).

Уровень8 класс ПредметМатематика СложностьПростая
Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме
Интересные статьи