Основные тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества
Четность, нечетность тригонометрических функций
Зависимость между синусом и косинусом
Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус
Зависимость между тангенсом и котангенсом
Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом
Формулы приведения

Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.

Основные тригонометрические тождества

$\sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1$

$tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \enspace ctg \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$

$tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1$

$\dfrac{1}{cos^{2}\alpha} = tg^{2} \alpha$

$\dfrac{1}{sin^{2}\alpha} = ctg^{2} \alpha$

Четность, нечетность тригонометрических функций

$\sin \left ( - \alpha \right ) = - \sin \left ( \alpha \right )$

$\cos \left ( - \alpha \right ) = \cos \left ( \alpha \right )$

$tg \left ( - \alpha \right ) = - tg \left ( \alpha \right )$

$ctg \left ( - \alpha \right ) = ctg \left ( \alpha \right )$

Зависимость между синусом и косинусом

$\sin^{2} \alpha+\cos^{2} \alpha=1$

Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.

При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.

Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус

$tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\enspace ctg \alpha=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$

Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой $\dfrac{y}{x}=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ , а отношение $\dfrac{x}{y}=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ — будет являться котангенсом.

Добавим, что только для таких углов $\alpha$ , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества $tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ , $ctg \alpha=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ .

Например: $tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ является справедливой для углов $\alpha$ , которые отличны от $\dfrac{\pi}{2}+\pi z$ , а $ctg \alpha=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ — для угла $\alpha$ , отличного от $\pi z$ , $z$ — является целым числом.

Зависимость между тангенсом и котангенсом

$tg \alpha \cdot ctg \alpha=1$

Данное тождество справедливо только для таких углов $\alpha$ , которые отличны от $\dfrac{\pi}{2} z$ . Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.

Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что $tg \alpha = \dfrac{y}{x}$ , а $ctg \alpha=\dfrac{x}{y}$ . Отсюда следует, что $tg \alpha \cdot ctg \alpha = \dfrac{y}{x} \cdot \dfrac{x}{y}=1$ . Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.

Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом

$tg^{2} \alpha + 1=\dfrac{1}{\cos^{2} \alpha}$ — сумма квадрата тангенса угла $\alpha$ и $\alpha$ , отличных от $\dfrac{\pi}{2}+ \pi z$ .

$1+ctg^{2} \alpha=\dfrac{1}{\sin^{2}\alpha}$ — сумма $\alpha$ , равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого $\alpha$ , отличного от $\pi z$ .

Формулы приведения

$\sin (α + 2 π z) = \sin α, \cos (α + 2 π z) = \cos α t g (α + 2 π z) = t g α, c t g (α + 2 π z) = c t g α \sin (- α + 2 π z) = - \sin α, \cos (- α + 2 π z) = \cos α t g (- α + 2 π z) = - t g α, c t g (- α + 2 π z) = - c t g α \sin (\frac{π}{2} + α + 2 π z) = \cos α, \cos (\frac{π}{2} + α + 2 π z) = - \sin α t g (\frac{π}{2} + α + 2 π z) = - c t g α, c t g (\frac{π}{2} + α + 2 π z) = - t g α \sin (\frac{π}{2} - α + 2 π z) = \cos α, \cos (\frac{π}{2} - α + 2 π z) = \sin α t g (\frac{π}{2} - α + 2 π z) = c t g α, c t g (\frac{π}{2} - α + 2 π z) = t g α \sin (π + α + 2 π z) = - \sin α, \cos (π + α + 2 π z) = - \cos α t g (π + α + 2 π z) = t g α, c t g (π + α + 2 π z) = c t g α \sin (π - α + 2 π z) = \sin α, \cos (π - α + 2 π z) = - \cos α t g (π - α + 2 π z) = - t g α, c t g (π - α + 2 π z) = - c t g α \sin (\frac{3 π}{2} + α + 2 π z) = - \cos α, \cos (\frac{3 π}{2} + α + 2 π z) = \sin α t g (\frac{3 π}{2} + α + 2 π z) = - c t g α, c t g (\frac{3 π}{2} + α + 2 π z) = - t g α \sin (\frac{3 π}{2} - α + 2 π z) = - \cos α, \cos (\frac{3 π}{2} - α + 2 π z) = - \sin α t g (\frac{3 π}{2} - α + 2 π z) = c t g α, c t g (\frac{3 π}{2} - α + 2 π z) = t g α$

Формулы понижения степени

$\sin^{2} α = \frac{1 - \cos 2 α}{2} \cos^{2} α = \frac{1 + \cos 2 α}{2} \sin^{3} α = \frac{3 \sin α - \sin 3 α}{4} \cos^{3} α = \frac{3 \cos α + \cos 3 α}{4} \sin^{4} α = \frac{3 - 4 \cos^{2} α + \cos 4 α}{8} \cos^{4} α = \frac{3 + 4 \cos^{2} α + \cos 4 α}{8}$

Тригонометрия Математика Тригонометрия Формулы Теория

Пример 1

Математика • Тригонометрия • Формулы • Теория

Найдите $\sin \alpha$ и $tg \alpha$ , если $\cos \alpha=-\dfrac12$ и $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ ;

Функции $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ связывает формула $\sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1$ . Подставив в эту формулу $\cos \alpha = -\dfrac12$ , получим:

$\sin^{2}\alpha + \left (-\dfrac12 \right )^2 = 1$

Это уравнение имеет 2 решения:

$\sin \alpha = \pm \sqrt{1-\dfrac14} = \pm \dfrac{\sqrt 3}{2}$

По условию $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ . Во второй четверти синус положителен, поэтому $\sin \alpha = \dfrac{\sqrt 3}{2}$ .

Для того, чтобы найти $tg \alpha$ , воспользуемся формулой $tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ . Соответствующие величины нам известны.

$tg \alpha = \dfrac{\sqrt 3}{2} : \dfrac12 = \sqrt 3$

Уровень8 класс ПредметМатематика СложностьПростая

Пример 2

Математика • Тригонометрия • Формулы • Теория

Найдите $\cos \alpha$ и $ctg \alpha$ , если $\sin \alpha=\dfrac{\sqrt3}{2}$ и $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ .

Подставив в формулу $\sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1$ данное по условию число $\sin \alpha=\dfrac{\sqrt3}{2}$ , получаем $\left (\dfrac{\sqrt3}{2}\right )^{2} + \cos^{2} \alpha = 1$ . Это уравнение имеет два решения $\cos \alpha = \pm \sqrt{1-\dfrac{3}{4}}=\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}}$ .

По условию $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ . Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому $\cos \alpha = -\sqrt{\dfrac{1}{4}}=-\dfrac{1}{2}$ .

Для того, чтобы найти $ctg \alpha$ , воспользуемся формулой $ctg \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ . Соответствующие величины нам известны.

$ctg \alpha = -\dfrac12 : \dfrac{\sqrt3}{2} = -\dfrac{1}{\sqrt 3}$ .

Уровень8 класс ПредметМатематика СложностьПростая

Читать по теме

Что такое угол. Понятие угла: радиан, градус
Углом в один градус называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, равную 1/360 части окружности. Углом в 1 радиан называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности.
Тригонометрия Расчёт Углы Математика Тригонометрия Формулы Теория
Прямоугольный треугольник: синус, косинус, тангенс, котангенс угла
Синус угла — это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе. Косинус угла — это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе. Тангенс угла — это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому). Котангенс угла — это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).
Тригонометрия Математика Тригонометрия Формулы Теория
Основные формулы тригонометрии
Основное тригонометрическое тождество, синус суммы и разности, косинус суммы и разности. Основные формулы тригонометрии.
Тригонометрия Математика Тригонометрия Формулы Теория
Синус (sin x) и косинус (cos x) — свойства, графики, формулы
Тригонометрия Математика Тригонометрия Формулы Теория
Значения тригонометрических функций
Значения тригонометрических функций для основных углов: 0, 30, 45, 60, 90, 120, 180, 270 и 360 градусов
Тригонометрия Математика Тригонометрия Формулы Теория
Меры углов
Для измерения углов используются градусы или радианы.
Тригонометрия Математика Тригонометрия Формулы Теория
Соотношения между тригонометрическими функциями
Знак тригонометрической функции в левой части должен совпадать со знаком правой части.
Тригонометрия Математика Тригонометрия Формулы Теория
Периодичность тригонометрических функций
Тригонометрические функции sin(x) и cos(x) являются периодическими, с наименьшим периодом равным 2*π. Тригонометрические функции tg(x) и ctg(x) являются периодическими, с наименьшим периодом равным π.
Тригонометрия Математика Тригонометрия Формулы Теория

Интересные статьи

Сколько весит ребенок?
Согласно нормам Всемирной Организацией Здравоохранения (ВОЗ)
Масса и вес Масса Теория Единицы измерения
Синус (sin x) и косинус (cos x) — свойства, графики, формулы
Тригонометрия Математика Тригонометрия Формулы Теория
Назначение и структура операционных систем
Операционные системы Информатика
Как собрать кубик Рубика 3х3. Самая легкая схема для начинающих
Инструкции
Таблица степеней
Таблицы по алгебре Математика Таблицы
Таблица: Как написать дату рождения (Год, Месяц, День) римскими цифрами?
Таблицы Таблицы
Солько весит ведро?
Ведро́ — сосуд для хранения жидких и сыпучих материалов и транспортировки их на небольшие расстояния.
Масса и вес Масса Теория Единицы измерения
Таблица перевода сухопутных миль в километры (mi в км)
1 сухопутная миля (США и Британия) = 1,60934 км
Размеры и расстояния Теория Расстояния