Основные тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества
Четность, нечетность тригонометрических функций
Зависимость между синусом и косинусом
Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус
Зависимость между тангенсом и котангенсом
Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом
Формулы приведения

Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.

Основные тригонометрические тождества

Четность, нечетность тригонометрических функций

Зависимость между синусом и косинусом

Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.

При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.

Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус

Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой , а отношение — будет являться котангенсом.

Добавим, что только для таких углов , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества , .

Например: является справедливой для углов , которые отличны от , а — для угла , отличного от , — является целым числом.

Зависимость между тангенсом и котангенсом

Данное тождество справедливо только для таких углов , которые отличны от . Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.

Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что , а . Отсюда следует, что . Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.

Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом

— сумма квадрата тангенса угла и , отличных от .

— сумма , равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого , отличного от .

Формулы приведения

$\sin (α + 2 π z) = \sin α, \cos (α + 2 π z) = \cos α t g (α + 2 π z) = t g α, c t g (α + 2 π z) = c t g α \sin (- α + 2 π z) = - \sin α, \cos (- α + 2 π z) = \cos α t g (- α + 2 π z) = - t g α, c t g (- α + 2 π z) = - c t g α \sin (\frac{π}{2} + α + 2 π z) = \cos α, \cos (\frac{π}{2} + α + 2 π z) = - \sin α t g (\frac{π}{2} + α + 2 π z) = - c t g α, c t g (\frac{π}{2} + α + 2 π z) = - t g α \sin (\frac{π}{2} - α + 2 π z) = \cos α, \cos (\frac{π}{2} - α + 2 π z) = \sin α t g (\frac{π}{2} - α + 2 π z) = c t g α, c t g (\frac{π}{2} - α + 2 π z) = t g α \sin (π + α + 2 π z) = - \sin α, \cos (π + α + 2 π z) = - \cos α t g (π + α + 2 π z) = t g α, c t g (π + α + 2 π z) = c t g α \sin (π - α + 2 π z) = \sin α, \cos (π - α + 2 π z) = - \cos α t g (π - α + 2 π z) = - t g α, c t g (π - α + 2 π z) = - c t g α \sin (\frac{3 π}{2} + α + 2 π z) = - \cos α, \cos (\frac{3 π}{2} + α + 2 π z) = \sin α t g (\frac{3 π}{2} + α + 2 π z) = - c t g α, c t g (\frac{3 π}{2} + α + 2 π z) = - t g α \sin (\frac{3 π}{2} - α + 2 π z) = - \cos α, \cos (\frac{3 π}{2} - α + 2 π z) = - \sin α t g (\frac{3 π}{2} - α + 2 π z) = c t g α, c t g (\frac{3 π}{2} - α + 2 π z) = t g α$

Формулы понижения степени

$\sin^{2} α = \frac{1 - \cos 2 α}{2} \cos^{2} α = \frac{1 + \cos 2 α}{2} \sin^{3} α = \frac{3 \sin α - \sin 3 α}{4} \cos^{3} α = \frac{3 \cos α + \cos 3 α}{4} \sin^{4} α = \frac{3 - 4 \cos^{2} α + \cos 4 α}{8} \cos^{4} α = \frac{3 + 4 \cos^{2} α + \cos 4 α}{8}$

Тригонометрия Математика Тригонометрия Формулы Теория

Пример 1

Математика • Тригонометрия • Формулы • Теория

Найдите и , если и ;

Функции и связывает формула . Подставив в эту формулу , получим:

Это уравнение имеет 2 решения:

По условию . Во второй четверти синус положителен, поэтому .

Для того, чтобы найти , воспользуемся формулой . Соответствующие величины нам известны.

Уровень8 класс ПредметМатематика СложностьПростая

Пример 2

Математика • Тригонометрия • Формулы • Теория

Найдите и , если и .

Подставив в формулу данное по условию число , получаем . Это уравнение имеет два решения .

По условию . Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому .

Для того, чтобы найти , воспользуемся формулой . Соответствующие величины нам известны.

Уровень8 класс ПредметМатематика СложностьПростая

Читать по теме

Что такое угол. Понятие угла: радиан, градус
Углом в один градус называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, равную 1/360 части окружности. Углом в 1 радиан называют центральный угол в окружности, опирающийся на круговую дугу, длина которой равна радиусу окружности.
Тригонометрия Расчёт Углы Математика Тригонометрия Формулы Теория
Прямоугольный треугольник: синус, косинус, тангенс, котангенс угла
Синус угла — это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе. Косинус угла — это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе. Тангенс угла — это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому). Котангенс угла — это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).
Тригонометрия Математика Тригонометрия Формулы Теория
Основные формулы тригонометрии
Основное тригонометрическое тождество, синус суммы и разности, косинус суммы и разности. Основные формулы тригонометрии.
Тригонометрия Математика Тригонометрия Формулы Теория
Синус (sin x) и косинус (cos x) — свойства, графики, формулы
Тригонометрия Математика Тригонометрия Формулы Теория
Значения тригонометрических функций
Значения тригонометрических функций для основных углов: 0, 30, 45, 60, 90, 120, 180, 270 и 360 градусов
Тригонометрия Математика Тригонометрия Формулы Теория
Меры углов
Для измерения углов используются градусы или радианы.
Тригонометрия Математика Тригонометрия Формулы Теория
Соотношения между тригонометрическими функциями
Знак тригонометрической функции в левой части должен совпадать со знаком правой части.
Тригонометрия Математика Тригонометрия Формулы Теория
Периодичность тригонометрических функций
Тригонометрические функции sin(x) и cos(x) являются периодическими, с наименьшим периодом равным 2*π. Тригонометрические функции tg(x) и ctg(x) являются периодическими, с наименьшим периодом равным π.
Тригонометрия Математика Тригонометрия Формулы Теория

Интересные статьи

Сколько весит ребенок?
Согласно нормам Всемирной Организацией Здравоохранения (ВОЗ)
Масса и вес Масса Теория Единицы измерения
Синус (sin x) и косинус (cos x) — свойства, графики, формулы
Тригонометрия Математика Тригонометрия Формулы Теория
Назначение и структура операционных систем
Операционные системы Информатика
Как собрать кубик Рубика 3х3. Самая легкая схема для начинающих
Инструкции
Таблица степеней
Таблицы по алгебре Математика Таблицы
Таблица: Как написать дату рождения (Год, Месяц, День) римскими цифрами?
Таблицы Таблицы
Солько весит ведро?
Ведро́ — сосуд для хранения жидких и сыпучих материалов и транспортировки их на небольшие расстояния.
Масса и вес Масса Теория Единицы измерения
Таблица перевода сухопутных миль в километры (mi в км)
1 сухопутная миля (США и Британия) = 1,60934 км
Размеры и расстояния Теория Расстояния