• Главная
• Справочник
• Тригонометрия
• Прямоугольный треугольник: синус, косинус, тангенс, котангенс угла

Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс угла поможет понять прямоугольный треугольник.

Как называются стороны прямоугольного треугольника? Всё верно, гипотенуза и катеты: гипотенуза - это сторона, которая лежит напротив прямого угла (в нашем примере это сторона $AC$); катеты — это две оставшиеся стороны $AB$ и $BC$ (те, что прилегают к прямому углу), причём, если рассматривать катеты относительно угла $BC$, то катет $AB$ – это прилежащий катет, а катет $BC$ - противолежащий. Итак, теперь ответим на вопрос: что такое синус, косинус, тангенс и котангенс угла?

Синус угла — это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе.

В нашем треугольнике:

$\sin \beta =\dfrac{BC}{AC}$

Косинус угла — это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе.

В нашем треугольнике:

$\cos \beta =\dfrac{AB}{AC}$

Тангенс угла — это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому).

В нашем треугольнике:

$tg\beta =\dfrac{BC}{AB}$

Котангенс угла — это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).

В нашем треугольнике:

$ctg\beta =\dfrac{AB}{BC}$

Эти определения необходимо запомнить! Чтобы было проще запомнить какой катет на что делить, необходимо чётко осознать, что в тангенсе и котангенсе сидят только катеты, а гипотенуза появляется только в синусе и косинусе. А дальше можно придумать цепочку ассоциаций. К примеру, вот такую:

Косинус→касаться→прикоснуться→прилежащий;

Котангенс→касаться→прикоснуться→прилежащий.

В первую очередь, необходимо запомнить, что синус, косинус, тангенс и котангенс как отношения сторон треугольника не зависят от длин этих сторон (при одном угле). Не веришь? Тогда убедись, посмотрев на рисунок:

Рассмотрим, к примеру, косинус угла $\beta$. По определению, из треугольника $ABC$: $\cos \beta =\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$, но ведь мы можем вычислить косинус угла $\beta$ и из треугольника $AHI$: $\cos \beta =\dfrac{AH}{AI}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$. Видишь, длины у сторон разные, а значение косинуса одного угла одно и то же. Таким образом, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса зависят исключительно от величины угла.

Если разобрался в определениях, то вперёд закреплять их!

Для треугольника $ABC$, изображённого ниже на рисунке, найдём $\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha$.

$\begin{array}{l}\sin \ \alpha =\dfrac{4}{5}=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac{3}{5}=0,6\\tg\ \alpha =\dfrac{4}{3}\\ctg\ \alpha =\dfrac{3}{4}=0,75\end{array}$

Ну что, уловил? Тогда пробуй сам: посчитай то же самое для угла $\beta$.

Ответы: $\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac{4}{3}$.

Единичная (тригонометрическая) окружность

Разбираясь в понятиях градуса и радиана, мы рассматривали окружность с радиусом, равным $1$. Такая окружность называется единичной. Она очень пригодится при изучении тригонометрии. Поэтому остановимся на ней немного подробней.

Как можно заметить, данная окружность построена в декартовой системе координат. Радиус окружности равен единице, при этом центр окружности лежит в начале координат, начальное положение радиус-вектора зафиксировано вдоль положительного направления оси $x$ (в нашем примере, это радиус $AB$).

Каждой точке окружности соответствуют два числа: координата по оси $x$ и координата по оси $y$. А что это за числа-координаты? И вообще, какое отношение они имеют к рассматриваемой теме? Для этого надо вспомнить про рассмотренный прямоугольный треугольник. На рисунке, приведённом выше, можно заметить целых два прямоугольных треугольника. Рассмотрим треугольник $ACG$. Он прямоугольный, так как $CG$ является перпендикуляром к оси $x$.

Чему равен $\cos \ \alpha$ из треугольника $ACG$? Всё верно $\cos \ \alpha =\dfrac{AG}{AC}$. Кроме того, нам ведь известно, что $AC$ – это радиус единичной окружности, а значит, $AC=1$. Подставим это значение в нашу формулу для косинуса. Вот что получается:

$\cos \ \alpha =\dfrac{AG}{AC}=\dfrac{AG}{1}=AG$.

А чему равен $\sin \ \alpha$ из треугольника $ACG$? Ну конечно, $\sin \alpha =\dfrac{CG}{AC}$! Подставим значение радиуса $AC$ в эту формулу и получим:

$\sin \alpha =\dfrac{CG}{AC}=\dfrac{CG}{1}=CG$

Так, а можешь сказать, какие координаты имеет точка $C$, принадлежащая окружности? Ну что, никак? А если сообразить, что $\cos \ \alpha$ и $\sin \alpha$ - это просто числа? Какой координате соответствует $\cos \alpha$? Ну, конечно, координате $x$! А какой координате соответствует $\sin \alpha$? Всё верно, координате $y$! Таким образом, точка $C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha )$.

А чему тогда равны $tg \alpha$ и $ctg \alpha$? Всё верно, воспользуемся соответствующими определениями тангенса и котангенса и получим, что $tg \alpha =\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\dfrac{y}{x}$, а $ctg \alpha =\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\dfrac{x}{y}$.

А что, если угол будет больше $90{}^\circ =\dfrac{\pi }{2}$? Вот, к примеру, как на этом рисунке:

Что же изменилось в данном примере? Давай разбираться. Для этого опять обратимся к прямоугольному треугольнику. Рассмотрим прямоугольный треугольник ${{A}_{1}}{{C}_{1}}G$: угол ${{C}_{1}}{{A}_{1}}G=180{}^\circ -\beta \$ (как прилежащий к углу $\beta$). Чему равно значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса для угла ${{C}_{1}}{{A}_{1}}G=180{}^\circ -\beta \$? Всё верно, придерживаемся соответствующих определений тригонометрических функций:

$\begin{array}{l}\sin \angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\dfrac{{{C}_{1}}G}{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}=\dfrac{{{C}_{1}}G}{1}={{C}_{1}}G=y;\\\cos \angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\dfrac{{{A}_{1}}G}{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}=\dfrac{{{A}_{1}}G}{1}={{A}_{1}}G=x;\\tg\angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\dfrac{{{C}_{1}}G}{{{A}_{1}}G}=\dfrac{y}{x};\\ctg\angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\dfrac{{{A}_{1}}G}{{{C}_{1}}G}=\dfrac{x}{y}\end{array}$

Ну вот, как видишь, значение синуса угла всё так же соответствует координате $y$; значение косинуса угла — координате $x$; а значения тангенса и котангенса соответствующим соотношениям. Таким образом, эти соотношения применимы к любым поворотам радиус-вектора.

Уже упоминалось, что начальное положение радиус-вектора — вдоль положительного направления оси $x$. До сих пор мы вращали этот вектор против часовой стрелки, а что будет, если повернуть его по часовой стрелке? Ничего экстраординарного, получится так же угол определённой величины, но только он будет отрицательным. Таким образом, при вращении радиус-вектора против часовой стрелки получаются положительные углы, а при вращении по часовой стрелке — отрицательные.

Итак, мы знаем, что целый оборот радиус-вектора по окружности составляет $360{}^\circ$ или $2\pi$. А можно повернуть радиус-вектор на $390{}^\circ$ или на $-1140{}^\circ$? Ну конечно, можно! В первом случае, $390{}^\circ =360{}^\circ +30{}^\circ$, таким образом, радиус-вектор совершит один полный оборот и остановится в положении $30{}^\circ$ или $\dfrac{\pi }{6}$.

Во втором случае, $-1140{}^\circ =-360{}^\circ \cdot 3-60{}^\circ$, то есть радиус-вектор совершит три полных оборота и остановится в положении $-60{}^\circ$ или $-\dfrac{\pi }{3}$.

Таким образом, из приведённых примеров можем сделать вывод, что углы, отличающиеся на $360{}^\circ \cdot m$ или $2\pi \cdot m$ (где $m$ – любое целое число), соответствуют одному и тому же положению радиус-вектора.

Ниже на рисунке изображён угол $\beta =-60{}^\circ$. Это же изображение соответствует углу $-420{}^\circ ,-780{}^\circ ,\ 300{}^\circ ,660{}^\circ$ и т.д. Этот список можно продолжить до бесконечности. Все эти углы можно записать общей формулой $\beta +360{}^\circ \cdot m$ или $\beta +2\pi \cdot m$ (где $m$ – любое целое число)

$\begin{array}{l}-420{}^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780{}^\circ =-60+360\cdot (-2);\\300{}^\circ =-60+360\cdot 1;\\660{}^\circ =-60+360\cdot 2.\end{array}$

Теперь, зная определения основных тригонометрических функций и используя единичную окружность, попробуй ответить, чему равны значения:

$\begin{array}{l}\sin \ 90{}^\circ =?\\\cos \ 90{}^\circ =?\\\text{tg}\ 90{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 90{}^\circ =?\\\sin \ 180{}^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180{}^\circ =\cos \ \pi =?\\\text{tg}\ 180{}^\circ =\text{tg}\ \pi =?\\\text{ctg}\ 180{}^\circ =\text{ctg}\ \pi =?\\\sin \ 270{}^\circ =?\\\cos \ 270{}^\circ =?\\\text{tg}\ 270{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 270{}^\circ =?\\\sin \ 360{}^\circ =?\\\cos \ 360{}^\circ =?\\\text{tg}\ 360{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 360{}^\circ =?\\\sin \ 450{}^\circ =?\\\cos \ 450{}^\circ =?\\\text{tg}\ 450{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 450{}^\circ =?\end{array}$

Вот тебе в помощь единичная окружность:

Возникли трудности? Тогда давай разбираться. Итак, мы знаем, что:

$\begin{array}{l}\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac{y}{x};\\ctg\alpha =\dfrac{x}{y}.\end{array}$

Отсюда, мы определяем координаты точек, соответствующих определённым мерам угла. Ну что же, начнём по порядку: углу в $90{}^\circ =\dfrac{\pi }{2}$ соответствует точка с координатами $\left( 0;1 \right)$, следовательно:

$\sin 90{}^\circ =y=1$;

$\cos 90{}^\circ =x=0$;

$\text{tg}\ 90{}^\circ =\dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{0}\Rightarrow \text{tg}\ 90{}^\circ$ - не существует;

$\text{ctg}\ 90{}^\circ =\dfrac{x}{y}=\dfrac{0}{1}=0$.

Дальше, придерживаясь той же логики, выясняем, что углам в $180{}^\circ ,\ 270{}^\circ ,\ 360{}^\circ ,\ 450{}^\circ (=360{}^\circ +90{}^\circ )\$ соответствуют точки с координатами $\left( -1;0 \right),\text{ }\left( 0;-1 \right),\text{ }\left( 1;0 \right),\text{ }\left( 0;1 \right)$, соответственно. Зная это, легко определить значения тригонометрических функций в соответствующих точках. Сначала попробуй сам, а потом сверяйся с ответами.

Ответы:

$\displaystyle \sin \ 180{}^\circ =\sin \ \pi =0$

$\displaystyle \cos \ 180{}^\circ =\cos \ \pi =-1$

$\text{tg}\ 180{}^\circ =\text{tg}\ \pi =\dfrac{0}{-1}=0$

$\text{ctg}\ 180{}^\circ =\text{ctg}\ \pi =\dfrac{-1}{0}\Rightarrow \text{ctg}\ \pi$ - не существует

$\sin \ 270{}^\circ =-1$

$\cos \ 270{}^\circ =0$

$\text{tg}\ 270{}^\circ =\dfrac{-1}{0}\Rightarrow \text{tg}\ 270{}^\circ$ - не существует

$\text{ctg}\ 270{}^\circ =\dfrac{0}{-1}=0$

$\sin \ 360{}^\circ =0$

$\cos \ 360{}^\circ =1$

$\text{tg}\ 360{}^\circ =\dfrac{0}{1}=0$

$\text{ctg}\ 360{}^\circ =\dfrac{1}{0}\Rightarrow \text{ctg}\ 2\pi$ - не существует

$\sin \ 450{}^\circ =\sin \ \left( 360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\sin \ 90{}^\circ =1$

$\cos \ 450{}^\circ =\cos \ \left( 360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\cos \ 90{}^\circ =0$

$\text{tg}\ 450{}^\circ =\text{tg}\ \left( 360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\text{tg}\ 90{}^\circ =\dfrac{1}{0}\Rightarrow \text{tg}\ 450{}^\circ$ - не существует

$\text{ctg}\ 450{}^\circ =\text{ctg}\left( 360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\text{ctg}\ 90{}^\circ =\dfrac{0}{1}=0$.

Таким образом, мы можем составить следующую табличку:

Нет необходимости помнить все эти значения. Достаточно помнить соответствие координат точек на единичной окружности и значений тригонометрических функций:

$\left. \begin{array}{l}\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac{y}{x};\\ctg \alpha =\dfrac{x}{y}.\end{array} \right\}\ \text{Надо запомнить или уметь выводить!!!}$

А вот значения тригонометрических функций углов в $30{}^\circ =\dfrac{\pi }{6},\ 45{}^\circ =\dfrac{\pi }{4}$ и $30{}^\circ =\dfrac{\pi }{6},\ 45{}^\circ =\dfrac{\pi }{4}$, приведённых ниже в таблице, необходимо запомнить:

Не надо пугаться, сейчас покажем один из примеров довольно простого запоминания соответствующих значений:

Для пользования этим методом жизненно необходимо запомнить значения синуса для всех трёх мер угла ($30{}^\circ =\dfrac{\pi }{6},\ 45{}^\circ =\dfrac{\pi }{4},\ 60{}^\circ =\dfrac{\pi }{3}$), а также значение тангенса угла в $30{}^\circ$. Зная эти $4$ значения, довольно просто восстановить всю таблицу целиком -значения косинуса переносятся в соответствии со стрелочками, то есть:

$\begin{array}{l}\sin 30{}^\circ =\cos \ 60{}^\circ =\dfrac{1}{2}\ \ \\\sin 45{}^\circ =\cos \ 45{}^\circ =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\sin 60{}^\circ =\cos \ 30{}^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ \end{array}$

$\text{tg}\ 30{}^\circ \ =\dfrac{1}{\sqrt{3}}$, зная это можно восстановить значения для $\text{tg}\ 45{}^\circ , \text{tg}\ 60{}^\circ$. Числитель «$1$» будет соответствовать $\text{tg}\ 45{}^\circ \$, а знаменатель «$\sqrt{\text{3}}$» соответствует $\text{tg}\ 60{}^\circ \$. Значения котангенса переносятся в соответствии со стрелочками, указанными на рисунке. Если это уяснить и запомнить схему со стрелочками, то будет достаточно помнить всего $4$ значения из таблицы.

Координаты точки на окружности

А можно ли найти точку (её координаты) на окружности, зная координаты центра окружности, её радиус и угол поворота? Ну, конечно, можно! Давай выведем общую формулу для нахождения координат точки. Вот, к примеру, перед нами такая окружность:

Нам дано, что точка $K({{x}_{0}};{{y}_{0}})=K(3;2)$ - центр окружности. Радиус окружности равен $1,5$. Необходимо найти координаты точки $P$, полученной поворотом точки $O$ на $\delta$ градусов.

Как видно из рисунка, координате $x$ точки $P$ соответствует длина отрезка $TP=UQ=UK+KQ$. Длина отрезка $UK$ соответствует координате $x$ центра окружности, то есть равна $3$. Длину отрезка $KQ$ можно выразить, используя определение косинуса:

$\cos \ \delta =\dfrac{KQ}{KP}=\dfrac{KQ}{r}\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta$.

Тогда имеем, что для точки $P$ координата $x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta$.

По той же логике находим значение координаты y для точки $P$. Таким образом,

$y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta$.

Итак, в общем виде координаты точек определяются по формулам:

$\begin{array}{l}x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta \\y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta \end{array}$, где

${{x}_{0}},{{y}_{0}}$ - координаты центра окружности,

$r$ - радиус окружности,

$\delta$ - угол поворота радиуса вектора.

Как можно заметить, для рассматриваемой нами единичной окружности эти формулы значительно сокращаются, так как координаты центра равны нулю, а радиус равен единице:

$\begin{array}{l}x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end{array}$