Тангенс и котангенс. Формулы и определение
Помимо синуса и косинуса в тригонометрии имеется еще огромное количество функций, в частности, тангенс и котангенс, о котором мы поговорим на данном уроке.
Определение тангенса:
Тангенс tg(x) — это отношение синуса sin(x) к косинусу cos(x)
Формула тангенса:
\[ \LARGE tg\ x = \dfrac{\sin\ x}{\cos\ x} \]
Определение котангенса:
Котангенс ctg(x) — это отношение косинуса cos(x) к синусу sin(x).
Формула котангенса:
\[ \LARGE ctg\ x = \dfrac{\cos\ x}{\sin\ x} \]
Определения для прямоугольного треугольника:
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Определения для числа:
Тангенсом числа t называют отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t, то есть, tg(t)=y/x.
Котангенсом числа t называют отношение абсциссы к ординате точки единичной окружности, соответствующей числу t, то есть, ctg(t)=x/y.
Так как делить на ноль нельзя, то значения в знаменателе не может быть равным нулю, т.е.
\( tg\ x = \dfrac{sin\ x}{cos\ x} \), где \( x \neq \dfrac{\pi}{2}+\pi k \)
\( ctg\ x = \dfrac{cos\ x}{sin\ x} \), где \( x \neq \pi k \)
Таблица знаков тангенса и котангенса по четвертям (составить ее можно, опираясь на таблицу синусов и косинусов, применяя правило деление чисел с отрицательными знаками):
| I | II | III | IV | |
| tg x | + | – | + | – |
| ctg x | + | – | + | – |
Как видите, значения тангенса и котангенса очень просто найти, зная значения синуса и косинуса, тем не менее также существует таблица и для данных функций, которая существенно упрощает жизнь. Здесь я представлю самые распространенные значения. А для всех остальных значений существуют специальные таблицы Брадиса.
| \( \frac{\pi}{6} \) | \( \frac{\pi}{4} \) | \( \frac{\pi}{3} \) | \( \frac{\pi}{2} \) | 0 | |
| tg x | \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) | 1 | \( \sqrt{3} \) | – | 0 |
| ctg x | \( \sqrt{3} \) | 1 | \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) | 0 | – |
Завершая разговор про данные тригонометрические функции нельзя не сказать про еще две важные формулы:
Для любого допустимого значения х справедливы равенства:
\[ tg\ (-x) = -tg\ x \]
\[ ctg\ (-x) = -ctg\ x \]
Для любого допустимого значения х также справедливы следующие равенства:
\[ tg\ (x+\pi)= tg\ \pi \]
\[ ctg\ (x+\pi)= ctg\ \pi \]
Ну вот теперь вроде все, более подробно и углубленно изучать мы будем все функции в процессе дальнейшего обучения.