Косинус двойного угла

В тригонометрии многие формулы легче вывести, чем вызубрить. Косинус двойного угла — замечательная формула! Она позволяет получить формулы понижения степени и формулы половинного угла.

Итак, нам нужны косинус двойного угла и тригонометрическая единица:

    \[\cos 2\alpha = {\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha \]

    \[{\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha = 1\]

Они даже похожи: в формуле косинуса двойного угла — разность квадратов косинуса и синуса, а в тригонометрической единице — их сумма. Если из тригонометрической единицы выразить косинус:

    \[{\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha \]

и подставить его в косинус двойного угла, то получим:

    \[\cos 2\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha \]

Это — еще одна формула косинуса двойного угла:

    \[\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha \]

Эта формула — ключ к получению формулы понижения степени:

    \[2{\sin ^2}\alpha = 1 - \cos 2\alpha , \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \dfrac{{1 - \cos 2\alpha }}{2}\]

Итак, формула понижения степени синуса:

    \[{\sin ^2}\alpha = \dfrac{{1 - \cos 2\alpha }}{2}\]

Если в ней угол альфа заменить на половинный угол альфа пополам, а двойной угол два альфа — на угол альфа, то получим формулу половинного угла для синуса:

    \[{\sin ^2}\dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{1 - \cos \alpha }}{2}\]

Теперь из тригонометрической единицы выразим синус:

    \[{\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha \]

Подставим это выражение в формулу косинуса двойного угла:

    \[\cos 2\alpha = {\cos ^2}\alpha - (1 - {\cos ^2}\alpha ) = {\cos ^2}\alpha - 1 + {\cos ^2}\alpha = \]

    \[ = 2{\cos ^2}\alpha - 1\]

Получили еще одну формулу косинуса двойного угла:  

    \[\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1\]

Эта формула — ключ к нахождению формулы понижения степени косинуса и половинного угла для косинуса.

    \[2{\cos ^2}\alpha = 1 + \cos 2\alpha , \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \dfrac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}\]

Таким образом, формула понижения степени косинуса:

    \[{\cos ^2}\alpha = \dfrac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}\]

Если в ней заменить α на α/2, а 2α — на α, то получим формулу половинного аргумента для косинуса:

    \[{\cos ^2}\dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{1 + \cos \alpha }}{2}\]

Так как тангенс — отношение синуса к косинусу то формула  для тангенса:

    \[t{g^2}\dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{1 - \cos \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}\]

Котангенс — отношение косинуса к синусу. Поэтому формула для котангенса:

    \[ct{g^2}\dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{1 + \cos \alpha }}{{1 - \cos \alpha }}\]

Конечно, в процессе упрощения тригонометрических выражений формулы половинного угла или понижения степени нет смысла каждый раз выводить. Гораздо проще перед собой положить листик с формулами. И упрощение продвинется быстрее, и зрительная память включится на запоминание.

Но несколько раз вывести эти формулы все же стоит. Тогда вы будете абсолютно уверены в том, что на экзамене, когда нет возможности воспользоваться шпаргалкой, вы без труда их получите, если возникнет необходимость.

Источник

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

50 000авторов
от 100 р.стоимость заказа
2 часамин. срок
Узнать стоимость
Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме
Интересные статьи