Косинус двойного угла

Косинус двойного угла cos2α=cos2α−sin2α

В тригонометрии многие формулы легче вывести, чем вызубрить. Косинус двойного угла — замечательная формула! Она позволяет получить формулы понижения степени и формулы половинного угла.

Итак, нам нужны косинус двойного угла и тригонометрическая единица:

    \[\cos 2\alpha = {\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha \]

    \[{\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha = 1\]

Они даже похожи: в формуле косинуса двойного угла — разность квадратов косинуса и синуса, а в тригонометрической единице — их сумма. Если из тригонометрической единицы выразить косинус:

    \[{\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha \]

и подставить его в косинус двойного угла, то получим:

    \[\cos 2\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha \]

Это — еще одна формула косинуса двойного угла:

    \[\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha \]

Эта формула — ключ к получению формулы понижения степени:

    \[2{\sin ^2}\alpha = 1 - \cos 2\alpha , \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \dfrac{{1 - \cos 2\alpha }}{2}\]

Итак, формула понижения степени синуса:

    \[{\sin ^2}\alpha = \dfrac{{1 - \cos 2\alpha }}{2}\]

Если в ней угол альфа заменить на половинный угол альфа пополам, а двойной угол два альфа — на угол альфа, то получим формулу половинного угла для синуса:

    \[{\sin ^2}\dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{1 - \cos \alpha }}{2}\]

Теперь из тригонометрической единицы выразим синус:

    \[{\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha \]

Подставим это выражение в формулу косинуса двойного угла:

    \[\cos 2\alpha = {\cos ^2}\alpha - (1 - {\cos ^2}\alpha ) = {\cos ^2}\alpha - 1 + {\cos ^2}\alpha = \]

    \[ = 2{\cos ^2}\alpha - 1\]

Получили еще одну формулу косинуса двойного угла:  

    \[\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1\]

Эта формула — ключ к нахождению формулы понижения степени косинуса и половинного угла для косинуса.

    \[2{\cos ^2}\alpha = 1 + \cos 2\alpha , \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \dfrac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}\]

Таким образом, формула понижения степени косинуса:

    \[{\cos ^2}\alpha = \dfrac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}\]

Если в ней заменить α на α/2, а 2α — на α, то получим формулу половинного аргумента для косинуса:

    \[{\cos ^2}\dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{1 + \cos \alpha }}{2}\]

Так как тангенс — отношение синуса к косинусу то формула  для тангенса:

    \[t{g^2}\dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{1 - \cos \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}\]

Котангенс — отношение косинуса к синусу. Поэтому формула для котангенса:

    \[ct{g^2}\dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{1 + \cos \alpha }}{{1 - \cos \alpha }}\]

Конечно, в процессе упрощения тригонометрических выражений формулы половинного угла или понижения степени нет смысла каждый раз выводить. Гораздо проще перед собой положить листик с формулами. И упрощение продвинется быстрее, и зрительная память включится на запоминание.

Но несколько раз вывести эти формулы все же стоит. Тогда вы будете абсолютно уверены в том, что на экзамене, когда нет возможности воспользоваться шпаргалкой, вы без труда их получите, если возникнет необходимость.

Источник

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

50 000авторов
от 100 р.стоимость заказа
2 часамин. срок
Узнать стоимость

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме:

Интересные статьи:

  • Что такое Сименс
    Сименс — единица измерения электропроводности (проводимости) в системе СИ. Она эквивалентна ранее использовавшейся единице mho
  • Что такое масса, вес нетто и вес брутто: в чем разница? Что больше: вес, масса нетто или брутто?
    Вес — это физическая величина, а именно сила, воздействующая на горизонтальную поверхность или вертикальную подвеску.
  • Грегор Мендель
  • Что такое Вольт
    1 Вольт равен электрическому напряжению, вызывающему в электрической цепи постоянный ток силой 1 ампер при мощности 1 ватт.
  • Создать бесплатно пароль любой длины и уровня сложности для ваших приложений, аккаунтов, соц. сетей, паролей к Windows, зашифрованным архивам и т.д.
  • Что такое лошадиная сила
    Лошадиная сила — единица мощности. Она примерно равна значению в 75 кгс/м/с., что соответствует усилию, которое необходимо затратить для подъёма груза в 75 кг. на высоту одно метра за одну секунду.
  • Площадь ромба равна произведению длины его стороны на высоту (a, h), или половине произведения его диагоналей.
  • если при постоянной темпе­ратуре происходит термодинамический про­цесс, вследствие которого газ переходит из одного состояния (p1 и V1) в другое (p2 и V2), то произведение давления на объем данной массы газа при постоянной температуре яв­ляется постоянным: pV = const.