Косинус двойного угла
В тригонометрии многие формулы легче вывести, чем вызубрить. Косинус двойного угла — замечательная формула! Она позволяет получить формулы понижения степени и формулы половинного угла.
Итак, нам нужны косинус двойного угла и тригонометрическая единица:
\[\cos 2\alpha = {\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha \]
\[{\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha = 1\]
Они даже похожи: в формуле косинуса двойного угла — разность квадратов косинуса и синуса, а в тригонометрической единице — их сумма. Если из тригонометрической единицы выразить косинус:
\[{\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha \]
и подставить его в косинус двойного угла, то получим:
\[\cos 2\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha \]
Это — еще одна формула косинуса двойного угла:
\[\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha \]
Эта формула — ключ к получению формулы понижения степени:
\[2{\sin ^2}\alpha = 1 - \cos 2\alpha , \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \dfrac{{1 - \cos 2\alpha }}{2}\]
Итак, формула понижения степени синуса:
\[{\sin ^2}\alpha = \dfrac{{1 - \cos 2\alpha }}{2}\]
Если в ней угол альфа заменить на половинный угол альфа пополам, а двойной угол два альфа — на угол альфа, то получим формулу половинного угла для синуса:
\[{\sin ^2}\dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{1 - \cos \alpha }}{2}\]
Теперь из тригонометрической единицы выразим синус:
\[{\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha \]
Подставим это выражение в формулу косинуса двойного угла:
\[\cos 2\alpha = {\cos ^2}\alpha - (1 - {\cos ^2}\alpha ) = {\cos ^2}\alpha - 1 + {\cos ^2}\alpha = \]
\[ = 2{\cos ^2}\alpha - 1\]
Получили еще одну формулу косинуса двойного угла:
\[\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1\]
Эта формула — ключ к нахождению формулы понижения степени косинуса и половинного угла для косинуса.
\[2{\cos ^2}\alpha = 1 + \cos 2\alpha , \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \dfrac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}\]
Таким образом, формула понижения степени косинуса:
\[{\cos ^2}\alpha = \dfrac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}\]
Если в ней заменить α на α/2, а 2α — на α, то получим формулу половинного аргумента для косинуса:
\[{\cos ^2}\dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{1 + \cos \alpha }}{2}\]
Так как тангенс — отношение синуса к косинусу то формула для тангенса:
\[t{g^2}\dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{1 - \cos \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}\]
Котангенс — отношение косинуса к синусу. Поэтому формула для котангенса:
\[ct{g^2}\dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{1 + \cos \alpha }}{{1 - \cos \alpha }}\]
Конечно, в процессе упрощения тригонометрических выражений формулы половинного угла или понижения степени нет смысла каждый раз выводить. Гораздо проще перед собой положить листик с формулами. И упрощение продвинется быстрее, и зрительная память включится на запоминание.
Но несколько раз вывести эти формулы все же стоит. Тогда вы будете абсолютно уверены в том, что на экзамене, когда нет возможности воспользоваться шпаргалкой, вы без труда их получите, если возникнет необходимость.
