Свойства обратных тригонометрических функций
Так как геометрически значение обратной тригонометрической функции связано с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку, то названия обратных тригонометрических функций образуются следующим образом: приставка «арк-» (от латинского arc — дуга) + соответствующие им названия тригонометрических функций.
Арксинус
Арксинусом числа a называется такое значение угла α, для которого sinα=a,|a|⩽1,α∈[−π2;π2].
- Областью определения функции арксинус является отрезок [−1;1].
- Областью значений функции арксинус является отрезок [−π2;π2].
- Арксинус строго возрастающая функция.
- sin(arcsina)=a,|a|⩽1.
- arcsin(sinα)=α,α∈[−π2;π2].
- Арксинус является нечетной функцией: arcsin(−a)=−arcsina,|a|⩽1.
- arcsina>0,a∈(0;1].
- arcsina=0,a=0.
- arcsina<0,a∈[−1;0).
Арккосинус
Арккосинусом числа a называется такое значение угла α, для которого cosα=a,|a|⩽1,α∈[0;π].
- Областью определения функции арккосинус является отрезок [−1;1].
- Областью значений функции арккосинус является отрезок [0;π].
- Арккосинус строго убывающая функция.
- cos(arccosa)=a,|a|⩽1.
- arccos(cosα)=α,α∈[0;π].
- Арккосинус является индифферентной функцией: arccos(−a)=π−arccosa,|a|⩽1. Функция центрально-симметрична относительно точки (0;π2).
- arccosa>0,a∈[−1;1).
- arccosa=0,a=1.
Арктангенс
Арктангенсом числа a называется такое значение угла α, для которого tgα=a,a∈R,α∈(−π2;π2).
- Областью определения функции арктангенс является вся числовая прямая: R.
- Областью значений функции арктангенс является интервал (−π2;π2).
- Арктангенс строго возрастающая функция.
- tg(arctga)=a,a∈R.
- arctg(tgα)=α,α∈(−π2;π2).
- Арктангенс является нечетной функцией: arctg(−a)=−arctga,a∈R.
- arctga>0,a∈(0;∞).
- arctga=0,a=0.
- arctga<0,a∈(−∞;0).
Арккотангенс
Арккотангенсом числа a называется такое значение угла α, для которого ctgα=a,a∈R,α∈(0;π).
- Областью определения функции арккотангенс является вся числовая прямая: R.
- Областью значений функции арккотангенс является интервал (0;π).
- Арккотангенс строго убывающая функция.
- ctg(arcctga)=a,a∈R.
- arcctg(ctgα)=α,α∈(0;π).
- Арккотангенс является индифферентной функцией: arcctg(−a)=π−arcctga,a∈R. Функция центрально-симметрична относительно точки (0;π2).
- arcctga>0,a∈R.
Основные соотношения
- arcsina+arccosa=π2,|a|⩽1.
- arctga+arcctga=π2,a∈R.
Решение простейших тригонометрических уравнений
В общем виде
sinx=a,|a|⩽1⇒x=(−1)karcsina+πk,k∈Z
или [x=arcsina+2πk,k∈Zx=π−arcsina+2πl,l∈Z
cosx=a,|a|⩽1⇒x=±arccosa+2πk,k∈Z
tgx=a,a∈R⇒x=arctga+πk,k∈Z
ctgx=a,a∈R⇒x=arcctga+πk,k∈Z
Частные случаи
a = 0
sinx=0⇒x=πk,k∈Z
cosx=0⇒x=π2+πk,k∈Z
tgx=0⇒x=πk,k∈Z
ctgx=0⇒x=π2+πk,k∈Z
a = 1
sinx=1⇒x=π2+2πk,k∈Z
cosx=1⇒x=2πk,k∈Z
tgx=1⇒x=π4+πk,k∈Z
ctgx=1⇒x=π4+πk,k∈Z
a = — 1
sinx=−1⇒x=−π2+2πk,k∈Z
cosx=−1⇒x=π+2πk,k∈Z
tgx=−1⇒x=−π4+πk,k∈Z
ctgx=−1⇒x=3π4+πk,k∈Z