Свойства обратных тригонометрических функций
Названия обратных тригонометрических функций образуются следующим образом: приставка «арк-» (от латинского arc — дуга) + соответствующие им названия тригонометрических функций.
Так как геометрически значение обратной тригонометрической функции связано с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку, то названия обратных тригонометрических функций образуются следующим образом: приставка «арк-» (от латинского arc — дуга) + соответствующие им названия тригонометрических функций.
Арксинус
Арксинусом числа \( a \) называется такое значение угла \( \alpha, \) для которого \( \sin \alpha=a,\;|a|\leqslant 1,\;\alpha\in[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]. \)
- Областью определения функции арксинус является отрезок \( [-1;1]. \)
- Областью значений функции арксинус является отрезок \( [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]. \)
- Арксинус строго возрастающая функция.
- \( \sin \left (\arcsin a \right )=a,\;|a|\leqslant 1. \)
- \( \arcsin\left (\sin \alpha \right )=\alpha,\;\alpha\in[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]. \)
- Арксинус является нечетной функцией: \( \arcsin(-a)=-\arcsin a,\;|a| \leqslant 1. \)
- \( \arcsin a>0,\;a\in(0;1]. \)
- \( \arcsin a=0,\;a=0. \)
- \( \arcsin a<0,\;a\in[-1;0). \)
Арккосинус
Арккосинусом числа \( a \) называется такое значение угла \( \alpha, \) для которого \( \cos \alpha=a,\;|a|\leqslant 1,\;\alpha\in[0;\pi]. \)
- Областью определения функции арккосинус является отрезок \( [-1;1]. \)
- Областью значений функции арккосинус является отрезок \( [0;\pi]. \)
- Арккосинус строго убывающая функция.
- \( \cos \left (\arccos a \right )=a,\;|a|\leqslant 1. \)
- \( \arccos\left (\cos \alpha\right )=\alpha,\;\alpha\in[0;\pi]. \)
- Арккосинус является индифферентной функцией: \( \arccos (-a)=\pi-\arccos a,\;|a|\leqslant 1. \) Функция центрально-симметрична относительно точки \( \left ( 0;\frac{\pi}{2} \right ). \)
- \( \arccos a>0,\;a\in[-1;1). \)
- \( \arccos a=0,\;a=1. \)
Арктангенс
Арктангенсом числа \( a \) называется такое значение угла \( \alpha, \) для которого \( \text{tg}\, \alpha=a,\;a\in\mathbb{R},\;\alpha\in\left (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right ). \)
- Областью определения функции арктангенс является вся числовая прямая: \( \mathbb{R}. \)
- Областью значений функции арктангенс является интервал \( \left (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right ). \)
- Арктангенс строго возрастающая функция.
- \( \text{tg}\left (\text{arctg}\,a \right ) =a,\;a\in\mathbb{R}. \)
- \( \text{arctg}\left (\text{tg}\,\alpha \right ) =\alpha,\;\alpha\in\left ( -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right ). \)
- Арктангенс является нечетной функцией: \( \text{arctg}\left (-a \right ) =-\text{arctg}\,a,\;a\in\mathbb{R}. \)
- \( \text{arctg}\,a>0,\;a\in(0;\infty ). \)
- \( \text{arctg}\,a=0,\;a=0. \)
- \( \text{arctg}\,a<0,\;a\in(-\infty;0). \)
Арккотангенс
Арккотангенсом числа \( a \) называется такое значение угла \( \alpha, \) для которого \( \text{ctg}\, \alpha=a,\;a\in\mathbb{R},\;\alpha\in\left (0;\pi \right ). \)
- Областью определения функции арккотангенс является вся числовая прямая: \( \mathbb{R}. \)
- Областью значений функции арккотангенс является интервал \( \left (0;\pi \right ). \)
- Арккотангенс строго убывающая функция.
- \( \text{ctg}\left (\text{arcctg}\,a \right ) =a,\;a\in\mathbb{R}. \)
- \( \text{arcctg}\left (\text{ctg}\,\alpha \right ) =\alpha,\;\alpha\in\left (0;\pi \right ). \)
- Арккотангенс является индифферентной функцией: \( \text{arcctg}\left (-a \right ) =\pi-\text{arcctg}\,a,\;a\in\mathbb{R}. \) Функция центрально-симметрична относительно точки \( \left ( 0;\frac{\pi}{2} \right ). \)
- \( \text{arcctg}\,a>0,\;a\in\mathbb{R}. \)
Основные соотношения
- \( \arcsin a+\arccos a=\frac{\pi}{2},\;|a|\leqslant 1. \)
- \( \text{arctg}\,a+\text{arcctg}\,a=\frac{\pi}{2},\;a\in\mathbb{R}. \)
Решение простейших тригонометрических уравнений
В общем виде
\( \sin x=a,\;|a|\leqslant 1\Rightarrow x=(-1)^k\arcsin\,a+\pi k,\;k\in\mathbb{Z} \)
или \( \left[\begin{matrix} x&=&\arcsin\,a+2\pi k,&\;k\in\mathbb{Z}\\ x&=&\pi-\arcsin\,a+2\pi l,&\;l\in\mathbb{Z} \end{matrix}\right. \)
\( \cos x=a,\;|a|\leqslant 1\Rightarrow x=\pm\arccos\,a+2\pi k,\;k\in\mathbb{Z} \)
\( \text{tg}\, x=a,\;a\in\mathbb{R}\Rightarrow x=\text{arctg}\,a+\pi k,\;k\in\mathbb{Z} \)
\( \text{ctg}\, x=a,\;a\in\mathbb{R}\Rightarrow x=\text{arcctg}\,a+\pi k,\;k\in\mathbb{Z} \)
Частные случаи
a = 0
\( \sin x=0\Rightarrow x=\pi k,\;k\in\mathbb{Z} \)
\( \cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\;k\in\mathbb{Z} \)
\( \text{tg}\, x=0\Rightarrow x=\pi k,\;k\in\mathbb{Z} \)
\( \text{ctg}\, x=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\;k\in\mathbb{Z} \)
a = 1
\( \sin x=1\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\;k\in\mathbb{Z} \)
\( \cos x=1\Rightarrow x=2\pi k,\;k\in\mathbb{Z} \)
\( \text{tg}\, x=1\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\;k\in\mathbb{Z} \)
\( \text{ctg}\, x=1\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\;k\in\mathbb{Z} \)
a = – 1
\( \sin x=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\;k\in\mathbb{Z} \)
\( \cos x=-1\Rightarrow x=\pi+2\pi k,\;k\in\mathbb{Z} \)
\( \text{tg}\, x=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\;k\in\mathbb{Z} \)
\( \text{ctg}\, x=-1\Rightarrow x=\frac{3\pi}{4}+\pi k,\;k\in\mathbb{Z} \)
