Сложение и вычитание векторов
Векторы: →a, →b, →c, →u1, →u2,…
Нулевой вектор: →0
Координаты векторов: X1, Y1, Z1, X2, Y2, Z2
Определение 1 Если точка A начала какого-либо вектора →a, то говорят, что вектор →a отложен от точки A (рис. 1).
Теорема 1 От любой точки K можно отложить вектор единственный →a.
Существование: Имеем два следующих случая:
-
Вектор →a - нулевой.
Здесь получаем, что искомый нами вектор совпадает с вектором →KK.
-
Вектор →a не является нулевым.
Пусть точка A является началом вектора →a, а точкой B - конец вектора →a. Проведем через точку K прямую b параллельную вектору →a. Будем откладывать на прямой отрезки |KL|=|AB| и |KM|=|AB|. Рассмотрим векторы →KL и →KM. Из этих двух векторов нужный нам вектор -- вектор, сонаправленный с вектором →a (рис.2)
Рисунок 2.
Из данного выше построения сразу же будет следовать единственность данного вектора.
Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника
Суммой двух векторов →a и →b называется третий вектор →c, проведенный из начала →a к концу →b, если начало вектора →b совпадает с концом вектора →a.
Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.
→c=→a+→b
Суммой нескольких векторов →a1,→a2, →a3,… называется вектор →c, получающийся в результате последовательного сложения данных векторов.
Такая операция выполняется по правилу многоугольника.
→c=→a1+→a2+→a3+…+→an
Коммутативный закон сложения
→a+→b=→b+→a
Ассоциативный закон сложения
(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)
Сумма векторов в координатах
При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.
→a+→b=(X1+X2,Y1+Y2,Z1+Z2)
Отметим несколько свойств сложения двух векторов:
-
Для произвольного вектора →a выполняется равенство
→a+→0=→a
-
Для произвольных точек A, B и C справедливо следующее равенство
→AB+→BC=→AC
Замечание Таким способом также можно строить сумму любого числа векторов. Тогда оно будет носить название правила многоугольника.
Разность векторов. Вычитание векторов
Разностью двух векторов →a и →b называется вектор →c при условии:
→c=→a−→b, если →c+→b=→a
Разность векторов →a и →b равна сумме вектора →a и противоположного вектора −→b:
→a−→b=→a+(−→b)
Разность двух одинаковых векторов равна нулевому вектору :
→a−→a=→0
Длина нулевого вектора равна нулю:
|→0|=0
Разность векторов в координатах
При вычитании двух векторов соответствующие координаты также вычитаются.
→a−→b=(X1−X2,Y1−Y2,Z1−Z2)
Умножение вектора на число
Пусть нам дан вектор →a и действительное число k.
Определение Произведением вектора →a на действительное число k называется вектор →b удовлетворяющий следующим условиям:
-
Длина вектора →b равна |→b |=|k||→a |;
-
Векторы →a и →b сонаправлены, при k≥0 и противоположно направлены, если k≤0
Обозначение: →b =k→a .
