Сложение и вычитание векторов
Векторы: , , , ,
Нулевой вектор:
Координаты векторов: , , , , ,
Определение 1 Если точка начала какого-либо вектора , то говорят, что вектор отложен от точки (рис. 1).
Теорема 1 От любой точки можно отложить вектор единственный .
Существование: Имеем два следующих случая:
-
Вектор - нулевой.
Здесь получаем, что искомый нами вектор совпадает с вектором .
-
Вектор не является нулевым.
Пусть точка является началом вектора , а точкой - конец вектора . Проведем через точку прямую параллельную вектору . Будем откладывать на прямой отрезки и . Рассмотрим векторы и . Из этих двух векторов нужный нам вектор -- вектор, сонаправленный с вектором (рис.2)
Рисунок 2.
Из данного выше построения сразу же будет следовать единственность данного вектора.
Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника
Суммой двух векторов и называется третий вектор , проведенный из начала к концу , если начало вектора совпадает с концом вектора .
Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.
Суммой нескольких векторов ,, называется вектор , получающийся в результате последовательного сложения данных векторов.
Такая операция выполняется по правилу многоугольника.
Коммутативный закон сложения
Ассоциативный закон сложения
Сумма векторов в координатах
При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.
Отметим несколько свойств сложения двух векторов:
-
Для произвольного вектора выполняется равенство
-
Для произвольных точек справедливо следующее равенство
Замечание Таким способом также можно строить сумму любого числа векторов. Тогда оно будет носить название правила многоугольника.
Разность векторов. Вычитание векторов
Разностью двух векторов и называется вектор при условии:
, если
Разность векторов и равна сумме вектора и противоположного вектора :
Разность двух одинаковых векторов равна нулевому вектору :
Длина нулевого вектора равна нулю:
Разность векторов в координатах
При вычитании двух векторов соответствующие координаты также вычитаются.
Умножение вектора на число
Пусть нам дан вектор и действительное число .
Определение Произведением вектора на действительное число называется вектор удовлетворяющий следующим условиям:
-
Длина вектора равна ;
-
Векторы и сонаправлены, при и противоположно направлены, если
Обозначение: .
