Сложение и вычитание векторов
Векторы: $ \vec{a} $, $ \vec{b} $, $ \vec{c} $, $ \vec{u_1} $, $ \vec{u_2},\;\ldots\; $
Нулевой вектор: $ \vec{0} $
Координаты векторов: $ {X_1} $, $ {Y_1} $, $ {Z_1} $, $ {X_2} $, $ {Y_2} $, $ {Z_2} $
Определение 1 Если точка $ A $ начала какого-либо вектора $ \overrightarrow{a} $, то говорят, что вектор $ \overrightarrow{a} $ отложен от точки $ A $ (рис. 1).
Теорема 1 От любой точки $ K $ можно отложить вектор единственный $ \overrightarrow{a} $.
Существование: Имеем два следующих случая:
-
Вектор $ \overrightarrow{a} $ - нулевой.
Здесь получаем, что искомый нами вектор совпадает с вектором $ \overrightarrow{KK} $.
-
Вектор $ \overrightarrow{a} $ не является нулевым.
Пусть точка $ A $ является началом вектора $ \overrightarrow{a} $, а точкой $ B $ - конец вектора $ \overrightarrow{a} $. Проведем через точку $ K $ прямую $ b $ параллельную вектору $ \overrightarrow{a} $. Будем откладывать на прямой отрезки $ \left|KL\right|=|AB| $ и $ \left|KM\right|=|AB| $. Рассмотрим векторы $ \overrightarrow{KL} $ и $ \overrightarrow{KM} $. Из этих двух векторов нужный нам вектор -- вектор, сонаправленный с вектором $ \overrightarrow{a} $ (рис.2)
Рисунок 2.
Из данного выше построения сразу же будет следовать единственность данного вектора.
Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника
Суммой двух векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ называется третий вектор $ \vec{c} $, проведенный из начала $ \vec{a} $ к концу $ \vec{b} $, если начало вектора $ \vec{b} $ совпадает с концом вектора $ \vec{a} $.
Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.
$ \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} $
Суммой нескольких векторов $ \vec{a_1} $,$ \vec{a_2} $, $ \vec{a_3},\;\ldots $ называется вектор $ \vec{c} $, получающийся в результате последовательного сложения данных векторов.
Такая операция выполняется по правилу многоугольника.
$ \vec{c} = \vec{a_1} + \vec{a_2} + \vec{a_3} + \ldots + \vec{a_n} $
Коммутативный закон сложения
$ \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} $
Ассоциативный закон сложения
$ \left( {\vec{a} + \vec{b}} \right) + \vec{c} = \vec{a} + \left( {\vec{b} + \vec{c}} \right) $
Сумма векторов в координатах
При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.
$ \vec{a} + \vec{b} = \left( {{X_1} + {X_2},{Y_1} + {Y_2},{Z_1} + {Z_2}} \right) $
Отметим несколько свойств сложения двух векторов:
-
Для произвольного вектора $ \overrightarrow{a} $ выполняется равенство
$$ \overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{a} $$
-
Для произвольных точек $ A,\ B\ и\ C $ справедливо следующее равенство
$$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} $$
Замечание Таким способом также можно строить сумму любого числа векторов. Тогда оно будет носить название правила многоугольника.
Разность векторов. Вычитание векторов
Разностью двух векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ называется вектор $ \vec{c} $ при условии:
$ \vec{c} = \vec{a} - \vec{b} $, если $ \vec{c} + \vec{b} = \vec{a} $
Разность векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ равна сумме вектора $ \vec{a} $ и противоположного вектора $ -\vec{b} $:
$ \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + \left( -\vec{b} \right) $
Разность двух одинаковых векторов равна нулевому вектору :
$ \vec{a} - \vec{a} = \vec{0} $
Длина нулевого вектора равна нулю:
$ \left| \vec{0} \right| = 0 $
Разность векторов в координатах
При вычитании двух векторов соответствующие координаты также вычитаются.
$ \vec{a} - \vec{b} = \left( {{X_1} - {X_2},{Y_1} - {Y_2},{Z_1} - {Z_2}} \right) $
Умножение вектора на число
Пусть нам дан вектор $ \overrightarrow{a\ } $ и действительное число $ k $.
Определение Произведением вектора $ \overrightarrow{a\ } $ на действительное число $ k $ называется вектор $ \overrightarrow{b\ } $ удовлетворяющий следующим условиям:
-
Длина вектора $ \overrightarrow{b\ } $ равна $ \left|\overrightarrow{b\ }\right|=\left|k\right||\overrightarrow{a\ }| $;
-
Векторы $ \overrightarrow{a\ } $ и $ \overrightarrow{b\ } $ сонаправлены, при $ k\ge 0 $ и противоположно направлены, если $ k\le 0 $
Обозначение: $ \ \overrightarrow{b\ }=k\overrightarrow{a\ } $.
