Координаты вектора

Координатами вектора называются проекции вектора на оси координат

Векторы: \( \mathbf{r} \), \( \mathbf{r_1} \), \( \mathbf{AB} \)

Длины векторов: \( \left| {\mathbf{r}} \right| \), \( \left| {\mathbf{AB}} \right| \)

Единичные векторы: \( \mathbf{i} \), \( \mathbf{j} \), \( \mathbf{k} \)

Координаты векторов: \( X \), \( Y \), \( Z \), \( {X_1} \), \( {Y_1} \), \( {Z_1} \)

Координаты точек: \( {x_0} \), \( {y_0} \), \( {z_0} \), \( {x_1} \), \( {y_1} \), \( {z_1} \)

Направляющие косинусы: \( \cos \alpha \), \( \cos \beta \), \( \cos \gamma \)

Вектором называется направленный отрезок, один из концов которого является началом, а другой − концом вектора.

Единичные векторы

Единичные векторы трехмерной декартовой системы координат обозначаются следующим образом:

\( \mathbf{i} = \left( {1,0,0} \right) \),
\( \mathbf{j} = \left( {0,1,0} \right) \),
\( \mathbf{k} = \left( {0,0,1} \right) \),
\( \left| \mathbf{i} \right| = \left| \mathbf{j} \right| = \left| \mathbf{k} \right| = 1 \).

Данная тройка единичных векторов образует базис координатной системы.

вектор в трехмерной декартовой системе координат

Любой вектор можно разложить по базисным векторам. Формула разложения записывается в виде :

\( \mathbf{r} = \mathbf{AB} = \left( {{x_1} - {x_0}} \right)\mathbf{i} + \left( {{y_1} - {y_0}} \right)\mathbf{j} + \left( {{z_1} - {z_0}} \right)\mathbf{k}. \)

Длиной (или модулем ) вектора называется расстояние между началом и концом вектора

\( \left| \mathbf{r} \right| = \left| \mathbf{AB} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_0}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} - {y_0}} \right)}^2} + {{\left( {{z_1} - {z_0}} \right)}^2}}. \)

Противоположные векторы имеют равные длины и направлены в противоположные стороны:
Если \( \mathbf{AB} = \mathbf{r} \), то \( \mathbf{BA} = -\mathbf{r} \).

противоположные векторы

Координатами вектора называются проекции вектора на оси координат:
\( X = \left| \mathbf{r} \right|\cos \alpha \), \( Y = \left| \mathbf{r} \right|\cos \beta \), \( Z = \left| \mathbf{r} \right|\cos \gamma. \)

Величины \( \cos\alpha \), \( \cos\beta \), \( \cos\gamma \) являются направляющими косинусами вектора \( \mathbf{r} \).

проекци вектора на оси координат

Векторы называются коллинеарными , если они параллельны одной и той же прямой.

Векторы являются равными , если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины. У равных векторов соответствующие координаты также равны:
Если \( \mathbf{r}\left( {X,Y,Z} \right) = \mathbf{r_1}\left( {{X_1},{Y_1},{Z_1}} \right) \), то
\( X = {X_1} \), \( Y = {Y_1} \), \( Z = {Z_1} \).

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

50 000авторов
от 100 р.стоимость заказа
2 часамин. срок
Узнать стоимость

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме:

Интересные статьи: