Умножение вектора на число
Векторы: \( \mathbf{u} \), \( \mathbf{v} \), \( \mathbf{w} \)
Нулевой вектор: \( \mathbf{0} \)
Координаты векторов: \( X \), \( Y \), \( Z \)
Действительные числа: \( \lambda \), \( \mu \)
Произведением вектора на число
Произведением вектора \( \mathbf{u} \ne \mathbf{0} \) на число \( \lambda \ne 0 \) называется вектор \( \mathbf{w} \), модуль которого равен \( \left| \lambda \right| \cdot \left| \mathbf{u} \right| \), направление которого совпадает с вектором \( \mathbf{u} \) при \( \lambda > 0 \) и противоположно ему при \( \lambda < 0 \)
\(\mathbf{w} = \lambda \mathbf{u},\;\;\left| \mathbf{w} \right| = \left| \lambda \right| \cdot \left| \mathbf{u} \right|\)
Произведение вектора \( \mathbf{u} \) на число \( \lambda \) при \( \lambda = 0 \) и/или \( \mathbf{u} = \mathbf{0} \) равно нулевому вектору \( \mathbf{0} \).
Операция умножения вектора на число обладает следующими линейными свойствами :
Коммутативность умножения вектора на число
\( \lambda \mathbf{u} = \mathbf{u}\lambda \)
Дистрибутивность умножения относительно сложения чисел
\( \left( {\lambda + \mu } \right)\mathbf{u} = \lambda \mathbf{u} + \mu \mathbf{u} \)
Дистрибутивность умножения относительно сложения векторов
\( \lambda \left( {\mathbf{u} + \mathbf{v}} \right) = \lambda \mathbf{u} + \lambda \mathbf{v} \)
Ассоциативность умножения вектора на число
\( \lambda \left( {\mu \mathbf{u}} \right) = \mu \left( {\lambda \mathbf{u}} \right) = \left( {\lambda \mu } \right)\mathbf{u} \)
Умножение вектора на единицу
\( 1 \cdot \mathbf{u} = \mathbf{u} \)
Умножение вектора на число в координатной форме
\( \lambda \mathbf{u} = \left( {\lambda X,\lambda Y,\lambda Z} \right) \)
