Декартовы координаты и векторы в пространстве
Декартовы координаты - система координат, состоящая из двух перпендикулярных осей. Положение точки в такой системе формируется с помощью двух чисел, определяющих расстояние от центра координат по каждой из осей.
Здесь мы будем рассматривать трехмерный случай. Введем, для начала, следующие данные.
Лемма 1: Пусть векторы и являются коллинеарными, и вектор не является нулевым, тогда можно найти действительное число , удовлетворяющее равенству
Рассмотрим два следующих случая:
-
Пусть число равняется . Так как векторы и сонаправлены, а , то векторы и сонаправлены. Далее, имеем, что
Из этого всего следует, что .
-
Пусть число равняется . Так как векторы и являются противоположно направленными, а
Из этого всего следует, что .
Теорема 1 Произвольный вектор можно разложить по трем некомпланарным векторам и с единственными коэффициентами разложения.
Математически это можно записать следующим образом
Существование: Пусть нам даны три некомпланарных вектора и . Выберем произвольную точку и построим следующие векторы:
Рассмотрим следующий рисунок:
Рисунок 1.
Произведем следующие дополнительные построения. Проведем через точку прямую, которая будет параллельна вектору . Пусть эта прямая пересекает плоскость в точке . Далее, проведем через точку прямую, которая будет параллельна вектору . Пусть эта прямая пересекает прямую в точке (смотри рисунок выше).
Воспользуемся свойством правила треугольника сложения двух векторов , получим:
Так как векторы и коллинеарны, то
Так как векторы и коллинеарны, то
Так как векторы и коллинеарны, то
Тогда, получаем, что
Существование разложения доказано.
Единственность: Предположим противное. Пусть существует еще одно разложение вектора по векторам и :
Вычтем эти разложения друг из друга
Из этого получаем
Доказано.
Координаты вектора
Рассмотрим декартову систему координат, которая строится следующим образом. Обозначим начало координат точкой , по направлению оси построим вектор , по направлению оси построим вектор , а в направлении оси отложим вектор , длины которых равны единице.
Определение 1 Векторы , , координатные векторы.
Из того что векторы , и не коллинеарны, по теореме 1, следует, что любой вектор можно разложить в виде .
Определение 2 Коэффициенты в разложении вектора называют координатами вектора в данной системе координат, то есть
Линейные операции над векторами
Теорема 2 Координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат этих векторов.
Докажем теорему для двух векторов. Теорема для большего количества векторов доказывается аналогично. Пусть , , тогда
Теорема доказана.
Теорема 3 Координаты разности векторов равны разности соответствующих координат этих векторов.
Докажем теорему для двух векторов. Теорема для большего количества векторов доказывается аналогично. Пусть , , тогда
Следовательно
Теорема доказана.
Теорема 4 Координаты произведения вектора на число равны произведению соответствующих координат это число.
Пусть , тогда
Следовательно
Теорема доказана.