Декартовы координаты и векторы в пространстве

Декартовы координаты - система координат, состоящая из двух перпендикулярных осей. Положение точки в такой системе формируется с помощью двух чисел, определяющих расстояние от центра координат по каждой из осей.

Здесь мы будем рассматривать трехмерный случай. Введем, для начала, следующие данные.

Лемма 1: Пусть векторы и являются коллинеарными, и вектор не является нулевым, тогда можно найти действительное число , удовлетворяющее равенству

Рассмотрим два следующих случая:

  1. Пусть число равняется . Так как векторы и сонаправлены, а , то векторы и сонаправлены. Далее, имеем, что

    Из этого всего следует, что .

  2. Пусть число равняется . Так как векторы и являются противоположно направленными, а

Из этого всего следует, что .

Теорема 1 Произвольный вектор можно разложить по трем некомпланарным векторам и с единственными коэффициентами разложения.

Математически это можно записать следующим образом

Существование: Пусть нам даны три некомпланарных вектора и . Выберем произвольную точку и построим следующие векторы:

Рассмотрим следующий рисунок:


Рисунок 1.

Произведем следующие дополнительные построения. Проведем через точку прямую, которая будет параллельна вектору . Пусть эта прямая пересекает плоскость в точке . Далее, проведем через точку прямую, которая будет параллельна вектору . Пусть эта прямая пересекает прямую в точке (смотри рисунок выше).

Воспользуемся свойством правила треугольника сложения двух векторов , получим:

Так как векторы и коллинеарны, то

Так как векторы и коллинеарны, то

Так как векторы и коллинеарны, то

Тогда, получаем, что

Существование разложения доказано.

Единственность: Предположим противное. Пусть существует еще одно разложение вектора по векторам и :

Вычтем эти разложения друг из друга

Из этого получаем

Доказано.

Координаты вектора

Рассмотрим декартову систему координат, которая строится следующим образом. Обозначим начало координат точкой , по направлению оси построим вектор , по направлению оси построим вектор , а в направлении оси отложим вектор , длины которых равны единице.

Определение 1 Векторы , , координатные векторы.

Из того что векторы , и не коллинеарны, по теореме 1, следует, что любой вектор можно разложить в виде .

Определение 2 Коэффициенты в разложении вектора называют координатами вектора в данной системе координат, то есть

Линейные операции над векторами

Теорема 2 Координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат этих векторов.

Докажем теорему для двух векторов. Теорема для большего количества векторов доказывается аналогично. Пусть , , тогда

Теорема доказана.

Теорема 3 Координаты разности векторов равны разности соответствующих координат этих векторов.

Докажем теорему для двух векторов. Теорема для большего количества векторов доказывается аналогично. Пусть , , тогда

Следовательно

Теорема доказана.

Теорема 4 Координаты произведения вектора на число равны произведению соответствующих координат это число.

Пусть , тогда

Следовательно

Теорема доказана.

Пример 1
Задача

Пусть , . Найти , и .

Решение

Уровень8 класс ПредметМатематика СложностьПростая
Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме
Интересные статьи