Декартовы координаты и векторы в пространстве
Декартовы координаты - система координат, состоящая из двух перпендикулярных осей. Положение точки в такой системе формируется с помощью двух чисел, определяющих расстояние от центра координат по каждой из осей.
Здесь мы будем рассматривать трехмерный случай. Введем, для начала, следующие данные.
Лемма 1: Пусть векторы →a и →b являются коллинеарными, и вектор →a не является нулевым, тогда можно найти действительное число k, удовлетворяющее равенству
Рассмотрим два следующих случая:
-
→a↑↑→b
Пусть число k равняется k=|→b||→a|. Так как векторы →a и →b сонаправлены, а k≥0, то векторы k→a и →b сонаправлены. Далее, имеем, что |k→a|=|k||→a|=|→b||→a||→a|=|→b|
Из этого всего следует, что →b=k→a.
-
→a↑↓→b
Пусть число k равняется k=−|→b||→a|. Так как векторы →a и →b являются противоположно направленными, а |k→a|=|k||→a|=|→b||→a||→a|=|→b|
Из этого всего следует, что →b=k→a.
Теорема 1 Произвольный вектор →p можно разложить по трем некомпланарным векторам →a1, →a2 и →a3 с единственными коэффициентами разложения.
Математически это можно записать следующим образом
→p=α1→a1+α2→a2+α3→a3
Существование: Пусть нам даны три некомпланарных вектора →a1, →a2 и →a3. Выберем произвольную точку O и построим следующие векторы:
→a1=→OA, →a2=→OB, →a3=→OC и →p=→OP
Рассмотрим следующий рисунок:
Рисунок 1.
Произведем следующие дополнительные построения. Проведем через точку P прямую, которая будет параллельна вектору →OC. Пусть эта прямая пересекает плоскость OAB в точке P1. Далее, проведем через точку P1 прямую, которая будет параллельна вектору →OB. Пусть эта прямая пересекает прямую OA в точке P2 (смотри рисунок выше).
Воспользуемся свойством правила треугольника сложения двух векторов →AB+→BC=→AC, получим:
→OP=→p=→OP2+→P2P1+→P1P
Так как векторы →OP2 и →OA коллинеарны, то →OP2=α1→OA=α1→a1
Так как векторы →P2P1 и →OB коллинеарны, то →P2P1=α2→OB=α2→a2
Так как векторы →P1P и →OC коллинеарны, то →P1P=α3→OC=α3→a3
Тогда, получаем, что →p=→OP2+→P2P1+→P1P=α1→a1+α2→a2+α3→a3
Существование разложения доказано.
Единственность: Предположим противное. Пусть существует еще одно разложение вектора →p по векторам →a1, →a2 и →a3:
→p=α′1→a1+α′2→a2+α′3→a3
Вычтем эти разложения друг из друга
→p−→p=α1→a1+α2→a2+α3→a3−α′1→a1−α′2→a2−α′3→a3
→0=(α1−α′1)→a1+(α2−α′2)→a2+(α3−α′3)→a3
Из этого получаем
{α1−α′1=0,α2−α′2=0α3−α′3=0.,⟹{α1=α′1,α2=α′2,α3=α′3.
Доказано.
Координаты вектора
Рассмотрим декартову систему координат, которая строится следующим образом. Обозначим начало координат точкой O, по направлению оси Ox построим вектор →i, по направлению оси Oy построим вектор →j, а в направлении оси Oz отложим вектор →k, длины которых равны единице.
Определение 1 Векторы →i, →j, →k координатные векторы.
Из того что векторы →i, →j и →k не коллинеарны, по теореме 1, следует, что любой вектор можно разложить в виде →c=α1→i+α2→j+α3→k.
Определение 2 Коэффициенты в разложении вектора →c=α1→i+α2→j+α3→k называют координатами вектора в данной системе координат, то есть →c={α1, α2,α3}
Линейные операции над векторами
Теорема 2 Координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат этих векторов.
Докажем теорему для двух векторов. Теорема для большего количества векторов доказывается аналогично. Пусть →a={x1, y1,z1}, →b={x2, y2,z2}, тогда
→a=x1→i+ y1→j+z1→k, →b=x2→i+y2→j+z2→k
→a+→b=x1→i+ y1→j+z1→k+x2→i+y2→j+z2→k=(x1+x2)→i+(y1+y2)→j+(z1+z2)→k
→a+→b={x1+x2, y1+y2,z1+z2}
Теорема доказана.
Теорема 3 Координаты разности векторов равны разности соответствующих координат этих векторов.
Докажем теорему для двух векторов. Теорема для большего количества векторов доказывается аналогично. Пусть →a={x1, y1,z1}, →b={x2, y2,z2}, тогда
→a=x1→i+ y1→j+z1→k, →b=x2→i+y2→j+z2→k
→a+→b=x1→i+ y1→j+z1→k−x2→i−y2→j−z2→k=(x1−x2)→i+(y1−y2)→j+(z1−z2)→k
Следовательно
→a−→b={x1−x2, y1−y2,z1−z2}
Теорема доказана.
Теорема 4 Координаты произведения вектора на число равны произведению соответствующих координат это число.
Пусть →a={x, y,z}, тогда →a=x→i+ y→j+z→k.
k→a=k(x→i+ y→j+z→k)=kx→i+ky→j+kz→k
Следовательно
k→a={kx, ky,kz}
Теорема доказана.