Векторное произведение векторов

Векторным произведением векторов u и v называется третий вектор w, модуль которого равен произведению модулей векторов u и v на синус угла θ между ними и перпендикулярен им.

Векторы: \( \vec{u} \), \( \vec{v} \), \( \vec{w} \)
Модуль вектора: \( \left| \vec{u} \right| \), \( \left| \vec{v} \right| \), \( \left| \vec{w} \right| \)
Нулевой вектор: \( \vec{0} \)
Единичные векторы: \( \vec{i} \), \( \vec{j} \), \( \vec{k} \)

Угол между векторами: \( \theta \)
Координаты векторов: \( {X_1} \), \( {Y_1} \), \( {Z_1} \), \( {X_2} \), \( {Y_2} \), \( {Z_2} \)
Действительные числа: \( \lambda \), \( \mu \)
Площадь параллелограмма: \( S \)

Векторным произведением векторов \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \) называется третий вектор \( \vec{w} \), модуль которого равен произведению модулей векторов \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \) на синус угла \( \theta \) между ними, перпендикулярен им и направлен таким образом, что тройка векторов \( \vec{u} \), \( \vec{v} \), \( \vec{w} \) образует правую систему:

\[ \vec{u} \times \vec{v} = \vec{w}\]

где

  • \(\left| \vec{w} \right| = \left| \vec{u} \right| \cdot \left| \vec{v} \right| \cdot \sin \theta,\;\;0 \le \theta \le \large\frac{\pi }{2}\normalsize ;\)
  • \(\vec{w} \bot \vec{u},\;\vec{w} \bot \vec{v};\)
  • \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) образуют правую систему.

векторное произведение векторов

Векторное произведение в координатной форме
Если  \(\vec{u} = \left( {{X_1},{Y_1},{Z_1}} \right)\), \(\vec{v} = \left( {{X_2},{Y_2},{Z_2}} \right)\),  то
\(\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ {{X_1}} & {{Y_1}} & {{Z_1}}\\ {{X_2}} & {{Y_2}} & {{Z_2}} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{Y_1}} & {{Z_1}}\\ {{Y_2}} & {{Z_2}} \end{array}} \right|\vec{i} - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{X_1}} & {{Z_1}}\\ {{X_2}} & {{Z_2}} \end{array}} \right|\vec{j} + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{X_1}} & {{Y_1}}\\ {{X_2}} & {{Y_2}} \end{array}} \right|\vec{k}.\)

Модуль векторного произведения векторов \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \) равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах:
\( S = \left| {\vec{u} \times \vec{v}} \right| = \left| \vec{u} \right| \cdot \left| \vec{v} \right| \cdot \sin \theta \)

Угол между векторами , выраженный через их векторное произведение
\( \sin \theta = \large\dfrac{{\left| {\vec{u} \times \vec{v}} \right|}}{{\left| \vec{u} \right| \cdot \left| \vec{v} \right|}}\normalsize \)

Свойство антикоммутативности векторного произведения  
\( \vec{u} \times \vec{v} = - \left( {\vec{v} \times \vec{u}} \right) \)

Ассоциативность векторного произведения относительно умножения на число  
\( \left( {\lambda \vec{u}} \right) \times \left( {\mu \vec{v}} \right) = \lambda \mu \vec{u} \times \vec{v} \)

Дистрибутивное свойство векторного произведения относительно сложения векторов  
\( \vec{u} \times \left( {\vec{v} + \vec{w}} \right) = \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{w} \)

Векторное произведение векторов \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \) равно нулевому вектору, если \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \) параллельны (коллинеарны):
\( \vec{u} \times \vec{v} = \vec{0} \),  если  \( \vec{u}\parallel \vec{v} \left( {\theta = 0} \right) \).

Векторное произведение единичных координатных векторов  
\( \vec{i} \times \vec{i} = \vec{j} \times \vec{j} = \vec{k} \times \vec{k} = \vec{0} \)

Векторное произведение несовпадающих единичных векторов  
\( \vec{i} \times \vec{j} = \vec{k} \),   \( \vec{j} \times \vec{k} = \vec{i} \),   \( \vec{k} \times \vec{i} = \vec{j}. \)

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме:

Интересные статьи:

  • Сколько метров в километре?
    В одном километре содержится тысяча метров. 1 км = 1000 м
  • Что такое Ватт
    1 ватт определяется как мощность, при которой за 1 секунду времени совершается работа в 1 джоуль.
  • Что такое Сименс
    Сименс — единица измерения электропроводности (проводимости) в системе СИ. Она эквивалентна ранее использовавшейся единице mho
  • Что такое ускорение?
    Ускорение — физическая векторная величина, которая характеризует насколько быстро тело (материальная точка) изменяет скорость своего движения
  • Четырёхугольник
    Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.
  • Площадь ромба равна произведению длины его стороны на высоту (a, h), или половине произведения его диагоналей.
  • Между любыми материальными точками существует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению их масс и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними, действующая по линии, соединяющей эти точки
  • Азбука Морзе - перечень сигналов из точек и тире, воспроизводящихся с помощью радиосигналов или прерыванием постоянного электрического тока.