• Главная
• Справочник
• Геометрия
• Вектора
• Векторное произведение векторов

Векторным произведением векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ называется третий вектор $\vec{w}$, модуль которого равен произведению модулей векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ на синус угла $\theta$ между ними, перпендикулярен им и направлен таким образом, что тройка векторов $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ образует правую систему:

где

• $\left| \vec{w} \right| = \left| \vec{u} \right| \cdot \left| \vec{v} \right| \cdot \sin \theta,\;\;0 \le \theta \le \large\frac{\pi }{2}\normalsize ;$
• $\vec{w} \bot \vec{u},\;\vec{w} \bot \vec{v};$
• $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ образуют правую систему.

Векторное произведение в координатной форме
Если  $\vec{u} = \left( {{X_1},{Y_1},{Z_1}} \right)$, $\vec{v} = \left( {{X_2},{Y_2},{Z_2}} \right)$,  то
$\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ {{X_1}} & {{Y_1}} & {{Z_1}}\\ {{X_2}} & {{Y_2}} & {{Z_2}} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{Y_1}} & {{Z_1}}\\ {{Y_2}} & {{Z_2}} \end{array}} \right|\vec{i} - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{X_1}} & {{Z_1}}\\ {{X_2}} & {{Z_2}} \end{array}} \right|\vec{j} + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{X_1}} & {{Y_1}}\\ {{X_2}} & {{Y_2}} \end{array}} \right|\vec{k}.$

Модуль векторного произведения векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах:
$S = \left| {\vec{u} \times \vec{v}} \right| = \left| \vec{u} \right| \cdot \left| \vec{v} \right| \cdot \sin \theta$

Угол между векторами , выраженный через их векторное произведение
$\sin \theta = \large\dfrac{{\left| {\vec{u} \times \vec{v}} \right|}}{{\left| \vec{u} \right| \cdot \left| \vec{v} \right|}}\normalsize$

Свойство антикоммутативности векторного произведения
$\vec{u} \times \vec{v} = - \left( {\vec{v} \times \vec{u}} \right)$

Ассоциативность векторного произведения относительно умножения на число
$\left( {\lambda \vec{u}} \right) \times \left( {\mu \vec{v}} \right) = \lambda \mu \vec{u} \times \vec{v}$

Дистрибутивное свойство векторного произведения относительно сложения векторов
$\vec{u} \times \left( {\vec{v} + \vec{w}} \right) = \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{w}$

Векторное произведение векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ равно нулевому вектору, если $\vec{u}$ и $\vec{v}$ параллельны (коллинеарны):
$\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$, если $\vec{u}\parallel \vec{v} \left( {\theta = 0} \right)$.

Векторное произведение единичных координатных векторов
$\vec{i} \times \vec{i} = \vec{j} \times \vec{j} = \vec{k} \times \vec{k} = \vec{0}$

Векторное произведение несовпадающих единичных векторов
$\vec{i} \times \vec{j} = \vec{k}$, $\vec{j} \times \vec{k} = \vec{i}$, $\vec{k} \times \vec{i} = \vec{j}.$