Векторное произведение векторов
Векторы: \( \vec{u} \), \( \vec{v} \), \( \vec{w} \)
Модуль вектора: \( \left| \vec{u} \right| \), \( \left| \vec{v} \right| \), \( \left| \vec{w} \right| \)
Нулевой вектор: \( \vec{0} \)
Единичные векторы: \( \vec{i} \), \( \vec{j} \), \( \vec{k} \)
Угол между векторами: \( \theta \)
Координаты векторов: \( {X_1} \), \( {Y_1} \), \( {Z_1} \), \( {X_2} \), \( {Y_2} \), \( {Z_2} \)
Действительные числа: \( \lambda \), \( \mu \)
Площадь параллелограмма: \( S \)
Векторным произведением векторов \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \) называется третий вектор \( \vec{w} \), модуль которого равен произведению модулей векторов \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \) на синус угла \( \theta \) между ними, перпендикулярен им и направлен таким образом, что тройка векторов \( \vec{u} \), \( \vec{v} \), \( \vec{w} \) образует правую систему:
\[ \vec{u} \times \vec{v} = \vec{w}\]
где
- \(\left| \vec{w} \right| = \left| \vec{u} \right| \cdot \left| \vec{v} \right| \cdot \sin \theta,\;\;0 \le \theta \le \large\frac{\pi }{2}\normalsize ;\)
- \(\vec{w} \bot \vec{u},\;\vec{w} \bot \vec{v};\)
- \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) образуют правую систему.
Векторное произведение в координатной форме
Если \(\vec{u} = \left( {{X_1},{Y_1},{Z_1}} \right)\), \(\vec{v} = \left( {{X_2},{Y_2},{Z_2}} \right)\), то
\(\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
{{X_1}} & {{Y_1}} & {{Z_1}}\\
{{X_2}} & {{Y_2}} & {{Z_2}}
\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{Y_1}} & {{Z_1}}\\
{{Y_2}} & {{Z_2}}
\end{array}} \right|\vec{i} - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{X_1}} & {{Z_1}}\\
{{X_2}} & {{Z_2}}
\end{array}} \right|\vec{j} + \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{X_1}} & {{Y_1}}\\
{{X_2}} & {{Y_2}}
\end{array}} \right|\vec{k}.\)
Модуль векторного произведения векторов \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \) равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах:
\( S = \left| {\vec{u} \times \vec{v}} \right| = \left| \vec{u} \right| \cdot \left| \vec{v} \right| \cdot \sin \theta \)
Угол между векторами , выраженный через их векторное произведение
\( \sin \theta = \large\dfrac{{\left| {\vec{u} \times \vec{v}} \right|}}{{\left| \vec{u} \right| \cdot \left| \vec{v} \right|}}\normalsize \)
Свойство антикоммутативности векторного произведения
\( \vec{u} \times \vec{v} = - \left( {\vec{v} \times \vec{u}} \right) \)
Ассоциативность векторного произведения относительно умножения на число
\( \left( {\lambda \vec{u}} \right) \times \left( {\mu \vec{v}} \right) = \lambda \mu \vec{u} \times \vec{v} \)
Дистрибутивное свойство векторного произведения относительно сложения векторов
\( \vec{u} \times \left( {\vec{v} + \vec{w}} \right) = \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{w} \)
Векторное произведение векторов \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \) равно нулевому вектору, если \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \) параллельны (коллинеарны):
\( \vec{u} \times \vec{v} = \vec{0} \), если \( \vec{u}\parallel \vec{v} \left( {\theta = 0} \right) \).
Векторное произведение единичных координатных векторов
\( \vec{i} \times \vec{i} = \vec{j} \times \vec{j} = \vec{k} \times \vec{k} = \vec{0} \)
Векторное произведение несовпадающих единичных векторов
\( \vec{i} \times \vec{j} = \vec{k} \), \( \vec{j} \times \vec{k} = \vec{i} \), \( \vec{k} \times \vec{i} = \vec{j}. \)
