Векторное произведение векторов
Векторы: →u, →v, →w
Модуль вектора: |→u|, |→v|, |→w|
Нулевой вектор: →0
Единичные векторы: →i, →j, →k
Угол между векторами: θ
Координаты векторов: X1, Y1, Z1, X2, Y2, Z2
Действительные числа: λ, μ
Площадь параллелограмма: S
Векторным произведением векторов →u и →v называется третий вектор →w, модуль которого равен произведению модулей векторов →u и →v на синус угла θ между ними, перпендикулярен им и направлен таким образом, что тройка векторов →u, →v, →w образует правую систему:
→u×→v=→w
где
- |→w|=|→u|⋅|→v|⋅sinθ,0≤θ≤π2;
- →w⊥→u,→w⊥→v;
- →u, →v, →w образуют правую систему.
Векторное произведение в координатной форме
Если →u=(X1,Y1,Z1), →v=(X2,Y2,Z2), то
→w=→u×→v=|→i→j→kX1Y1Z1X2Y2Z2|=|Y1Z1Y2Z2|→i−|X1Z1X2Z2|→j+|X1Y1X2Y2|→k.
Модуль векторного произведения векторов →u и →v равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах:
S=|→u×→v|=|→u|⋅|→v|⋅sinθ
Угол между векторами , выраженный через их векторное произведение
sinθ=|→u×→v||→u|⋅|→v|
Свойство антикоммутативности векторного произведения
→u×→v=−(→v×→u)
Ассоциативность векторного произведения относительно умножения на число
(λ→u)×(μ→v)=λμ→u×→v
Дистрибутивное свойство векторного произведения относительно сложения векторов
→u×(→v+→w)=→u×→v+→u×→w
Векторное произведение векторов →u и →v равно нулевому вектору, если →u и →v параллельны (коллинеарны):
→u×→v=→0, если →u∥→v(θ=0).
Векторное произведение единичных координатных векторов
→i×→i=→j×→j=→k×→k=→0
Векторное произведение несовпадающих единичных векторов
→i×→j=→k, →j×→k=→i, →k×→i=→j.