Скалярное произведение векторов
Векторы: $ \vec{u} $, $ \vec{v} $, $ \vec{w} $
Модуль вектора: $ \left| \vec{u} \right| $, $ \left| \vec{v} \right| $
Нулевой вектор: $ \vec{0} $
Единичные векторы: $ \vec{i} $, $ \vec{j} $, $ \vec{k} $
Угол между векторами: $ \theta $
Координаты векторов: $ {X_1} $, $ {Y_1} $, $ {Z_1} $, $ {X_2} $, $ {Y_2} $, $ {Z_2} $
Действительные числа: $ \lambda $, $ \mu $
Скалярным произведением векторов $ \vec{u} $ и $ \vec{v} $ называется произведение их модулей на косинус угла между ними.
$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = \left| \vec{u} \right| \cdot \left| \vec{v} \right| \cdot \cos \theta $$
Скалярное произведение в координатной форме
Если $ \vec{u} = \left( {{X_1},{Y_1},{Z_1}} \right) $, $ \vec{v} = \left( {{X_2},{Y_2},{Z_2}} \right) $, то
$ \vec{u} \cdot \vec{v} = {X_1}{X_2} + {Y_1}{Y_2} + {Z_1}{Z_2} $.
Угол между двумя векторами
Если $ \vec{u} = \left( {{X_1},{Y_1},{Z_1}} \right) $, $ \vec{v} = \left( {{X_2},{Y_2},{Z_2}} \right) $, то
$ \cos \theta = \large\frac{{\vec{u} \cdot \vec{v}}}{{\left| \vec{u} \right| \cdot \left| \vec{v} \right|}}\normalsize = \large\frac{{{X_1}{X_2} + {Y_1}{Y_2} + {Z_1}{Z_2}}}{{\sqrt {X_1^2 + Y_1^2 + Z_1^2} \sqrt {X_2^2 + Y_2^2 + Z_2^2} }}\normalsize. $
Здесь предполагается, что векторы $ \vec{u} $ и $ \vec{v} $ являются ненулевыми.
Коммутативность скалярного произведения
$ \vec{u} \cdot \vec{u} = \vec{v} \cdot \vec{u} $
Ассоциативность скалярного произведения
$ \left( {\lambda \vec{u}} \right) \cdot \left( {\mu \vec{v}} \right) = \lambda \mu \vec{u} \cdot \vec{v} $
Дистрибутивность скалярного произведения
$ \vec{u} \cdot \left( {\vec{v} + \vec{w}} \right) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} $
Скалярное произведение векторов равно нулю:
Скалярное произведение векторов $ \vec{u} $ и $ \vec{v} $ равно нулю,
если векторы $ \vec{u} $ и $ \vec{v} $ перпендикулярны, или если вектор $ \vec{u} $ или $ \vec{v} $
или оба вектора являются нулевыми.
$ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 $, если $ \vec{u} \bot \vec{v}\left( {\theta = \large\frac{\pi }{2}}\normalsize \right) $,
или $ \vec{u} = \vec{0} $ и/или $ \vec{v} = \vec{0} $.
Скалярное произведение векторов положительно:
Скалярное произведение векторов $ \vec{u} $ и $ \vec{v} $ положительно,
если угол $ \theta $ между векторами $ \vec{u} $ и $ \vec{v} $ острый.
$ \vec{u} \cdot \vec{v} > 0 $, если $ 0 < \theta < \large\frac{\pi }{2}\normalsize $.
Скалярное произведение векторов отрицательно:
Скалярное произведение векторов $ \vec{u} $ и $ \vec{v} $ отрицательно,
если угол $ \theta $ между векторами $ \vec{u} $ и $ \vec{v} $ тупой.
$ \vec{u} \cdot \vec{v} < 0 $, если $ \large\frac{\pi }{2}\normalsize < \theta < \pi $.
Скалярное произведение векторов меньше или равно произведению их модулей:
$ \vec{u} \cdot \vec{v} \le \left| \vec{u} \right| \cdot \left| \vec{v} \right| $
Скалярное произведение векторов $ \vec{u} $ и $ \vec{v} $ равно произведения их модулей, если только
векторы $ \vec{u} $ и $ \vec{v} $ параллельны:
$ \vec{u} \cdot \vec{v} = \left| \vec{u} \right| \cdot \left| \vec{v} \right| $, если
$ \vec{u}\parallel \vec{v}\left( {\theta = 0} \right) $.
Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:
Если $ \vec{u} = \left( {{X_1},{Y_1},{Z_1}} \right) $, то
$ \vec{u} \cdot \vec{u} = {{\vec{u}}^2} = {\left| \vec{u} \right|^2} = X_1^2 + Y_1^2 + Z_1^2. $
Скалярные квадраты единичных координатных векторов
$ \vec{i} \cdot \vec{i} = \vec{j} \cdot \vec{j} = \vec{k} \cdot \vec{k} = 1 $
Скалярное произведение несовпадающих единичных векторов
$ \vec{i} \cdot \vec{j} = \vec{j} \cdot \vec{k} = \vec{k} \cdot \vec{i} = 0 $