Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов u и v называется произведение их модулей на косинус угла между ними.

Векторы: \( \vec{u} \), \( \vec{v} \), \( \vec{w} \)

Модуль вектора: \( \left| \vec{u} \right| \), \( \left| \vec{v} \right| \)

Нулевой вектор: \( \vec{0} \)

Единичные векторы: \( \vec{i} \), \( \vec{j} \), \( \vec{k} \)

Угол между векторами: \( \theta \)

Координаты векторов: \( {X_1} \), \( {Y_1} \), \( {Z_1} \), \( {X_2} \), \( {Y_2} \), \( {Z_2} \)

Действительные числа: \( \lambda \), \( \mu \)

Скалярным произведением векторов \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) называется произведение их модулей на косинус угла между ними.

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \left| \vec{u} \right| \cdot \left| \vec{v} \right| \cdot \cos \theta \]

скалярное произведение векторов

Скалярное произведение в координатной форме
Если  \(\vec{u} = \left( {{X_1},{Y_1},{Z_1}} \right)\), \(\vec{v} = \left( {{X_2},{Y_2},{Z_2}} \right)\), то \(\vec{u} \cdot \vec{v} = {X_1}{X_2} + {Y_1}{Y_2} + {Z_1}{Z_2}\).

Угол между двумя векторами
Если  \(\vec{u} = \left( {{X_1},{Y_1},{Z_1}} \right)\), \(\vec{v} = \left( {{X_2},{Y_2},{Z_2}} \right)\), то \(\cos \theta = \large\frac{{\vec{u} \cdot \vec{v}}}{{\left| \vec{u} \right| \cdot \left| \vec{v} \right|}}\normalsize = \large\frac{{{X_1}{X_2} + {Y_1}{Y_2} + {Z_1}{Z_2}}}{{\sqrt {X_1^2 + Y_1^2 + Z_1^2} \sqrt {X_2^2 + Y_2^2 + Z_2^2} }}\normalsize.\)
Здесь предполагается, что векторы \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) являются ненулевыми.

Коммутативность скалярного произведения  
\(\vec{u} \cdot \vec{u} = \vec{v} \cdot \vec{u}\)

Ассоциативность скалярного произведения  
\(\left( {\lambda \vec{u}} \right) \cdot \left( {\mu \vec{v}} \right) = \lambda \mu \vec{u} \cdot \vec{v}\)

Дистрибутивность скалярного произведения  
\(\vec{u} \cdot \left( {\vec{v} + \vec{w}} \right) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}\)

Скалярное произведение векторов равно нулю:

Скалярное произведение векторов \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) равно нулю, если векторы \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) перпендикулярны, или если вектор \(\vec{u}\) или \(\vec{v}\) или оба вектора являются нулевыми.
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\),  если  \(\vec{u} \bot \vec{v}\left( {\theta = \large\frac{\pi }{2}}\normalsize \right)\),  или  \(\vec{u} = \vec{0}\)  и/или  \(\vec{v} = \vec{0}\).

Скалярное произведение векторов положительно:

Скалярное произведение векторов \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) положительно, если угол \(\theta\) между векторами \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) острый.
\(\vec{u} \cdot \vec{v} > 0\),  если  \(0 < \theta < \large\frac{\pi }{2}\normalsize\).

Скалярное произведение векторов отрицательно:

Скалярное произведение векторов \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) отрицательно, если угол \(\theta\) между векторами \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) тупой.
\(\vec{u} \cdot \vec{v} < 0\),  если  \(\large\frac{\pi }{2}\normalsize < \theta < \pi\).

Скалярное произведение векторов меньше или равно произведению их модулей:
\(\vec{u} \cdot \vec{v} \le \left| \vec{u} \right| \cdot \left| \vec{v} \right|\)

Скалярное произведение векторов \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) равно произведения их модулей, если только векторы \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) параллельны:
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = \left| \vec{u} \right| \cdot \left| \vec{v} \right|\),  если  \(\vec{u}\parallel \vec{v}\left( {\theta = 0} \right)\).

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:
Если  \(\vec{u} = \left( {{X_1},{Y_1},{Z_1}} \right)\),  то  \(\vec{u} \cdot \vec{u} = {{\vec{u}}^2} = {\left| \vec{u} \right|^2} = X_1^2 + Y_1^2 + Z_1^2.\)

Скалярные квадраты единичных координатных векторов  
\(\vec{i} \cdot \vec{i} = \vec{j} \cdot \vec{j} = \vec{k} \cdot \vec{k} = 1\)

Скалярное произведение несовпадающих единичных векторов  
\(\vec{i} \cdot \vec{j} = \vec{j} \cdot \vec{k} = \vec{k} \cdot \vec{i} = 0\)

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме:

  • Вектор - это направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий длину и определенное направление.
  • Координатами вектора называются проекции вектора на оси координат
  • Суммой двух векторов a и b называется третий вектор c, проведенный из начала a к концу b, если начало вектора b совпадает с концом вектора a. Разностью двух векторов a и b называется вектор c при условии: c = a − b, если c + b =a.
  • Декартовы координаты - система координат, состоящая из двух перпендикулярных осей.
  • Произведением вектора u≠0 на число λ≠0 называется вектор w, модуль которого равен |λ||u|, направление которого совпадает с вектором u при λ>0 и противоположно ему при λ<0.
  • Векторным произведением векторов u и v называется третий вектор w, модуль которого равен произведению модулей векторов u и v на синус угла θ между ними и перпендикулярен им.
  • Смешанным произведением трех векторов u, v и w называется скалярное произведение вектора u на векторное произведение векторов v и w

Интересные статьи: