Смешанное произведение векторов
Векторы: →u, →v, →w
Скалярное произведение: →u⋅→v
Векторное произведение: →u×→v
Смешанное произведение: (→u,→v,→w)
Координаты векторов: X1, Y1, Z1, X2, Y2, Z2, X3, Y3, Z3
Действительные числа: k, λ, μ
Объем: V
Смешанным произведением трех векторов →u, →v и →w называется скалярное произведение вектора →u на векторное произведение векторов →v и →w:
(→u,→v,→w)=→u⋅(→v×→w)=→v⋅(→w×→u)=→w⋅(→u×→v)
Перестановочные свойства смешанного произведения
(→u,→v,→w)=(→w,→u,→v)=(→v,→w,→u)=−(→v,→u,→w)=−(→w,→v,→u)=−(→u,→w,→v)
Умножение смешанного произведения векторов на число
k→u⋅(→v×→w)=k(→u,→v,→w)
Смешанное произведение в координатной форме
(→u,→v,→w)=→u⋅(→v×→w)=|X1Y1Z1X2Y2Z2X3Y3Z3|,
где →u=(X1,Y1,Z1), →v=(X2,Y2,Z2), →w=(X3,Y3,Z3).
Объем параллелепипеда , построенного на трех векторах →u, →v, →w, равен модулю смешанного произведения этих векторов:
V=|(→u,→v,→w)|=|→u⋅(→v×→w)|
Объем пирамиды , построенной на трех векторах →u, →v, →w, выражается формулой
V=16|(→u,→v,→w)|=16|→u⋅(→v×→w)|
Если смешанное произведение векторов →u, →v и →w равно нулю, то данные векторы являются линейно зависимыми ( компланарными ), то есть один из этих векторов можно выразить через два других:
→w=λ→u+μ→v,
где λ, μ − некоторые действительные числа.
Если смешанное произведение векторов →u, →v и →w не равно нулю, то данные векторы являются линейно независимыми .
Двойным векторным произведением трех векторов →u, →v и →w называется векторное произведение
→u×(→v×→w)=(→u⋅→w)→v−(→u⋅→v)→w=|→v→w(→u⋅→v)(→u⋅→w)|