Смешанное произведение векторов

Векторы: \( \vec{u} \), \( \vec{v} \), \( \vec{w} \)
Скалярное произведение: \( \vec{u} \cdot \vec{v} \)
Векторное произведение: \( \vec{u} \times \vec{v} \)
Смешанное произведение: \( \left( {\vec{u},\vec{v},\vec{w}} \right) \)

Координаты векторов: \( {X_1} \), \( {Y_1} \), \( {Z_1} \), \( {X_2} \), \( {Y_2} \), \( {Z_2} \), \( {X_3} \), \( {Y_3} \), \( {Z_3} \)
Действительные числа: \( k \), \( \lambda \), \( \mu \)
Объем: \( V \)

Смешанным произведением трех векторов \( \vec{u} \), \( \vec{v} \) и \( \vec{w} \) называется скалярное произведение вектора \( \vec{u} \) на векторное произведение векторов \( \vec{v} \) и \( \vec{w} \):

\[ \left( {\vec{u},\vec{v},\vec{w}} \right) = \vec{u} \cdot \left( {\vec{v} \times \vec{w}} \right) = \vec{v} \cdot \left( {\vec{w} \times \vec{u}} \right) = \vec{w} \cdot \left( {\vec{u} \times \vec{v}} \right) \]

Перестановочные свойства смешанного произведения  
\( \left( {\vec{u},\vec{v},\vec{w}} \right) = \left( {\vec{w},\vec{u},\vec{v}} \right) = \left( {\vec{v},\vec{w},\vec{u}} \right) = -\left( {\vec{v},\vec{u},\vec{w}} \right) = -\left( {\vec{w},\vec{v},\vec{u}} \right) = -\left( {\vec{u},\vec{w},\vec{v}} \right) \)

Умножение смешанного произведения векторов на число  
\( k\vec{u} \cdot \left( {\vec{v} \times \vec{w}} \right) = k\left( {\vec{u},\vec{v},\vec{w}} \right) \)

Смешанное произведение в координатной форме  
\( \left( {\vec{u},\vec{v},\vec{w}} \right) = \vec{u} \cdot \left( {\vec{v} \times \vec{w}} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{X_1}} & {{Y_1}} & {{Z_1}}\\ {{X_2}} & {{Y_2}} & {{Z_2}}\\ {{X_3}} & {{Y_3}} & {{Z_3}} \end{array}} \right|, \\ \)
где  \( \vec{u} = \left( {{X_1},{Y_1},{Z_1}} \right) \), \( \vec{v} = \left( {{X_2},{Y_2},{Z_2}} \right) \), \( \vec{w} = \left( {{X_3},{Y_3},{Z_3}} \right) \).

Объем параллелепипеда , построенного на трех векторах \( \vec{u} \), \( \vec{v} \), \( \vec{w} \), равен модулю смешанного произведения этих векторов:
\( V = \left| {\left( {\vec{u},\vec{v},\vec{w}} \right)} \right| = \left| {\vec{u} \cdot \left( {\vec{v} \times \vec{w}} \right)} \right| \)

векторная формула для объема параллелепипеда

Объем пирамиды , построенной на трех векторах \( \vec{u} \), \( \vec{v} \), \( \vec{w} \), выражается формулой
\( V = \large\dfrac{1}{6}\normalsize \left| {\left( {\vec{u},\vec{v},\vec{w}} \right)} \right| = \large\dfrac{1}{6}\normalsize \left| {\vec{u} \cdot \left( {\vec{v} \times \vec{w}} \right)} \right| \)

векторное соотношение для объема пирамиды

Если смешанное произведение векторов \( \vec{u} \), \( \vec{v} \) и \( \vec{w} \) равно нулю, то данные векторы являются линейно зависимыми ( компланарными ), то есть один из этих векторов можно выразить через два других:
\( \vec{w} = \lambda \vec{u} + \mu \vec{v} \),
где \( \lambda \), \( \mu \) − некоторые действительные числа.

Если смешанное произведение векторов \( \vec{u} \), \( \vec{v} \) и \( \vec{w} \) не равно нулю, то данные векторы являются линейно независимыми .

Двойным векторным произведением трех векторов \( \vec{u} \), \( \vec{v} \) и \( \vec{w} \) называется векторное произведение
\( \vec{u} \times \left( {\vec{v} \times \vec{w}} \right) = \left( {\vec{u} \cdot \vec{w}} \right)\vec{v} - \left( {\vec{u} \cdot \vec{v}} \right)\vec{w} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \vec{v} & \vec{w}\\ {\left( {\vec{u} \cdot \vec{v}} \right)} & {\left( {\vec{u} \cdot \vec{w}} \right)} \end{array}} \right| \)

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

50 000авторов
от 100 р.стоимость заказа
2 часамин. срок
Узнать стоимость
Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме
Интересные статьи