Определения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике обозначим один острый угол буквой\(\alpha\):

стороны \(a\) и \(b\) - катеты прямоугольного треугольника.
сторона \(c\) - гипотенуза прямоугольного треугольника.

С указанными выше обозначениями у нас есть следующие определения тригонометрических функций:

\[ \sin{\alpha }=\frac{a}{c} \qquad \cos{\alpha }=\frac{b}{c} \qquad \text{tg}{\alpha}=\frac{a}{b} \qquad \text{ctg}{\alpha }=\frac{b}{a} \]

или словами:

\[ \sin{\alpha }=\frac{ \text{противолежащий катет a} }{ \text{гипотенуза c} } \] \[ \cos{\alpha }=\frac{ \text{прилежащий катет b} }{ \text{гипотенуза c} } \] \[ \text{tg}{\alpha}=\frac{ \text{противолежащий катет a} }{ \text{прилежащий катет b} } \] \[ \text{ctg}{\alpha }=\frac{ \text{прилежащий катет b} }{ \text{противолежащий катет a} } \]

Графический метод запоминания

Чтобы вычислить синус острого угла в прямоугольном треугольнике:

  • смотрим сначала в сторону, противоположную углу,
  • затем к гипотенузе.

Чтобы вычислить косинус острого угла в прямоугольном треугольнике:

  • сначала смотрим на основание прямоугольника,
  • затем к гипотенузе.

Чтобы вычислить тангенс острого угла прямоугольного треугольника:

  • смотрим сначала в сторону, противоположную углу,
  • затем к основанию треугольника.

Чтобы вычислить котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике:

  • сначала смотрим на основание прямоугольника,
  • затем в сторону, противоположную углу.

Доказательство тригонометрической формулы для острого угла в прямоугольном треугольнике

Возьмем любой прямоугольный треугольник и отметим в нем острый угол \(\alpha \).

По определению тригонометрических функций мы знаем, что:

\[\sin \alpha =\frac{a}{c}\qquad \text{и}\qquad \cos \alpha =\frac{b}{c}\] Следовательно: \[\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha = \left ( \frac{a}{c} \right )^2+\left ( \frac{b}{c} \right )^2=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}\] Из теоремы Пифагора мы знаем, что: \[a^2+b^2=c^2\] Следовательно: \[\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha = \frac{a^2+b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2}=1 \]

По определению тригонометрических функций мы знаем, что:

\[\sin \alpha =\frac{a}{c}\qquad \text{и}\qquad \cos \alpha =\frac{b}{c}\qquad \text{и}\qquad\operatorname{tg} \alpha =\frac{a}{b}\qquad \text{и}\qquad \operatorname{ctg} \alpha =\frac{b}{a}\] Следовательно: \[\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha =\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=1\] и: \[\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{c}\cdot \frac{c}{b}=\frac{a}{b}=\operatorname{tg} \alpha \] а также: \[\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\frac{b}{c}}{\frac{a}{c}}=\frac{b}{c}\cdot \frac{c}{a}=\frac{b}{a}=\operatorname{ctg} \alpha. \]

Когда мы знаем значение хотя бы одной тригонометрической функции, то с помощью приведенные выше формулы мы можем рассчитать значения всех остальных тригонометрических функций.

Вывести значения всех тригонометрических функций для выбранного угла \(\alpha \).

Непосредственно из рисунка мы читаем, что: \[\begin{split} &\\&\sin{\alpha }=\frac{4}{5}\qquad \qquad &\cos{\alpha }=\frac{3}{5}\\[10pt]&\text{tg}{\alpha }=\frac{4}{3}\qquad \qquad &\text{ctg}{\alpha }=\frac{3}{4} \end{split}\]
Уровень8 класс ПредметГеометрия СложностьПростая

Вывести значения всех тригонометрических функций для выбранного угла \(\beta\).

Из данного рисунка мы читаем, что: \[\begin{split} &\\&\sin{\beta}=\frac{3}{5}\qquad \qquad &\cos{\beta}=\frac{4}{5}\\[10pt]&\text{tg}{\beta}=\frac{3}{4}\qquad \qquad &\text{ctg}{\beta}=\frac{4}{3} \end{split}\]
Уровень8 класс ПредметГеометрия СложностьПростая

Вывести значения тригонометрических функций для угла \(\alpha \) выделенного на рисунке.

Непосредственно из рисунка мы читаем, что: \[\begin{split} &\\&\sin{\alpha }=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{51}}\qquad \qquad &\cos{\alpha }=\frac{7}{\sqrt{51}}\\[10pt]&\text{tg}{\alpha }=\frac{\sqrt{2}}{7}\qquad \qquad &\text{ctg}{\alpha }=\frac{7}{\sqrt{2}} \end{split}\]
Уровень8 класс ПредметГеометрия СложностьПростая

Вычислить значения тригонометрических функций для угла \(\alpha \) выделенного на рисунке.

Сначала мы должны вычислить длину гипотенузы \(AB\). Мы используем теорему Пифагора: \[\begin{split} |AB|^2&=1^2+3^2\\|AB|^2&=1+9\\|AB|^2&=10\\|AB|&=\sqrt{10} \end{split}\] Затем: \[\begin{split} &\\&\sin{\alpha }=\frac{3}{\sqrt{10}}\qquad \qquad &\cos{\alpha }=\frac{1}{\sqrt{10}}\\[10pt]&\text{tg}{\alpha }=\frac{3}{1}\qquad \qquad &\text{ctg}{\alpha }=\frac{1}{3} \end{split}\]
Уровень8 класс ПредметГеометрия СложностьПростая

Вычислить \(\cos \alpha \text{, }\operatorname{tg} \alpha \text{ и }\operatorname{ctg} \alpha \) если известно, что \(\sin \alpha =\frac{2}{5}\).

Мы используем тригонометрические формулы:

\[\begin{split} \sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha &= 1\\[10pt]\left ( \frac{2}{5} \right )^2+\cos^{2} \alpha &= 1\\[10pt]\frac{4}{25}+\cos^{2} \alpha &= 1\\[10pt]\cos^{2} \alpha &= \frac{21}{25}\\[10pt]\cos \alpha &=\sqrt{\frac{21}{25}}=\frac{\sqrt{21}}{5} \end{split}\] Теперь мы вычисляем тангенс: \[\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{\sqrt{21}}{5}}=\frac{2}{5}\cdot \frac{5}{\sqrt{21}}=\frac{2}{\sqrt{21}}=\frac{2\sqrt{21}}{21}\] Теперь мы вычисляем котангенс: \[\operatorname{ctg} \alpha =\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{1}{\frac{2}{\sqrt{21}}}=\frac{\sqrt{21}}{2}\]
Уровень8 класс ПредметГеометрия СложностьПростая

Вычислить \(\sin \alpha \text{, }\operatorname{tg} \alpha \text{ и }\operatorname{ctg} \alpha \) если известно, что \(\cos \alpha =\frac{1}{3}\).

Мы используем тригонометрические формулы:

\[\begin{split} \sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha &= 1\\[10pt]\sin^{2} \alpha +\left ( \frac{1}{3} \right )^2 &= 1\\[10pt]\sin^{2} \alpha +\frac{1}{9} &= 1\\[10pt]\sin^{2} \alpha &= \frac{8}{9}\\[10pt]\sin \alpha &=\sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \end{split}\] Теперь мы вычисляем тангенс: \[\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{3}{1}=2\sqrt{2}\] Теперь мы вычисляем котангенс: \[\operatorname{ctg} \alpha =\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2\cdot 2}=\frac{\sqrt{2}}{4}\]
Уровень8 класс ПредметГеометрия СложностьПростая

Вычислить \(\sin \alpha \text{, }\cos \alpha \text{ и }\operatorname{ctg} \alpha \) если известно, что \(\operatorname{tg} \alpha =7\).

Проще всего вычислить котангенс:

\[\operatorname{ctg} \alpha =\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{1}{7}\]

Теперь мы воспользуемся формулой для тангенса и составим систему уравнений с двумя неизвестными. Эти неизвестные, конечно, будут искать \(\sin \alpha \text{ и }\cos \alpha \).

\[\begin{split} &\begin{cases}\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\\\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1\end{cases} \\[10pt]&\begin{cases}7 =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\\\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1\end{cases} \end{split}\] Z pierwszego równania możemy wyliczyć np. \(\sin \alpha \): \[\begin{split} 7 &=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\\[6pt]7\cos \alpha &=\sin \alpha \\[6pt]\sin \alpha &=7\cos \alpha \end{split}\]

Теперь мы можем заменить синус на тригонометрическую единицу. В результате мы получим уравнение с одним неизвестным ( \(\cos \alpha \) ):

\[\begin{split} \sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha &=1\\[6pt](7\cos \alpha )^2 +\cos^{2} \alpha &=1\\[6pt]49 \cos^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha &=1\\[6pt]50 \cos^{2} \alpha &=1\\[6pt]\cos^{2} \alpha &=\frac{1}{50}\\[6pt]\cos \alpha &=\sqrt{\frac{1}{50}}=\frac{\sqrt{50}}{50}=\frac{5\sqrt{2}}{50}=\frac{\sqrt{2}}{10} \end{split}\]

Теперь мы вычислим синус, используя ранее обозначенную формулу:

\[\sin \alpha =7\cos \alpha =7\cdot \frac{\sqrt{2}}{10}=\frac{7\sqrt{2}}{10}\]
Уровень8 класс ПредметГеометрия СложностьПростая
Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме
Интересные статьи