• Главная
• Справочник
• Геометрия
• Формулы площади
• Формула площади элипса

Эллипсом называется плоская кривая, для каждой точки которой сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов эллипса) постоянна.

Расстояние между фокусами называется фокусным расстоянием и обозначается через 2c.

Середина отрезка, соединяющего фокусы, называется центром эллипса.

У эллипса есть две оси симметрии: первая или фокальная ось, проходящая через фокусы, и перпендикулярная ей вторая ось. Точки пересечения этих осей с эллипсом называются вершинами.

Отрезок, соединяющий центр эллипса с вершиной, называется полуосью эллипса. Большая полуось обозначается через a, малая полуось − через b.

Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число π (3.1415).

Площадь эллипса с полуосями a (большая) и b (малая) равна их произведению на число π, то есть:

$\LARGE S = \pi \cdot a \cdot b$

Свойства элипса

Эллипс, центр которого находится в начале координат, а полуоси лежат на координатных прямых, описывается следующим каноническим уравнением:

$\boxed { \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 }$

Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов постоянна:

$r_{1} + r_{2} = 2 \cdot a$

где:
r1, r2 − расстояния от произвольной точки P(x,y) до фокусов F1 и F2,
a − большая полуось эллипса.

Соотношение между полуосями эллипса и фокусным расстоянием

$a^{2} = b^{2} + c^{2}$

где:
a − большая полуось эллипса, b − малая полуось, c − половина фокусного расстояния.

Эксцентриситет эллипса

$e = \frac{c}{a} < 1$

Уравнения директрис эллипса

Директрисой эллипса называется прямая, перпендикулярная его фокальной оси и пересекающая ее на расстоянии ae от центра. Эллипс имеет две директрисы, отстоящие по разные стороны от центра. Уравнения директрис записываются в виде :

$x = ± \frac{a}{e} = ± \frac{a^{2}}{c}$

Уравнение эллипса в параметрической форме

$\left\{ \begin{array}{ll} x = a \cdot cos (t) \\ y = b \cdot sin (t) \\ \end{array} \right. \, 0 \leq t \geq 2 \pi$

где a, b − полуоси эллипса, t − параметр.

Общее уравнение эллипса

$A x^2 + B x y + C y^2 + Dx + Ey + F = 0,$

где:
B2 - 4 × AC < 0