Формула площади элипса

Эллипсом называется плоская кривая, для каждой точки которой сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов эллипса) постоянна. Расстояние между фокусами называется фокусным расстоянием и обозначается через 2c. Середина отрезка, соединяющего фокусы, называется центром эллипса. У эллипса есть две оси симметрии: первая или фокальная ось, проходящая через фокусы, и перпендикулярная ей вторая ось. Точки пересечения этих осей с эллипсом называются вершинами. Отрезок, соединяющий центр эллипса с вершиной, называется полуосью эллипса. Большая полуось обозначается через a, малая полуось − через b.

На рисунке изображен эллипс

у него:

\( F_{1}, F_{2} \) – фокусы

\( F_{1} = (c, 0); F_{2} = (- c ; 0) \) – фокусы

c – половина расстояния между фокусами

a – большая полуось

b – малая полуось

Площадь эллипса с полуосями a (большая) и b (малая) равна их произведению на число \( \pi \), то есть:

\( S = \pi \cdot a \cdot b \)

Свойства элипса

Эллипс, центр которого находится в начале координат, а полуоси лежат на координатных прямых, описывается следующим каноническим уравнением:

\[ \boxed { \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 } \]

Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов постоянна:

\[ r_{1} + r_{2} = 2 \cdot a \]

где r1, r2 − расстояния от произвольной точки P(x,y) до фокусов F1 и F2, a − большая полуось эллипса.

Соотношение между полуосями эллипса и фокусным расстоянием

\[ a^{2} = b^{2} + c^{2} \]

где a − большая полуось эллипса, b − малая полуось, c − половина фокусного расстояния.

Эксцентриситет эллипса

\[ e = \frac{c}{a} < 1 \]

Уравнения директрис эллипса

Директрисой эллипса называется прямая, перпендикулярная его фокальной оси и пересекающая ее на расстоянии ae от центра. Эллипс имеет две директрисы, отстоящие по разные стороны от центра. Уравнения директрис записываются в виде : \[ x = ± \frac{a}{e} = ± \frac{a^{2}}{c} \]

Уравнение эллипса в параметрической форме

\[ \left\{ \begin{array}{ll} x = a \cdot cos (t) \\ y = b \cdot sin (t) \\ \end{array} \right. \, 0 \leq t \geq 2 \pi \]

где a, b − полуоси эллипса, t − параметр.

Общее уравнение эллипса

\[ A x^2 + B x y + C y^2 + Dx + Ey + F = 0, \]

где \( B^{2} - 4 A C < 0 \)

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме:

Интересные статьи: