Формула периметра круга

Периметр круга радиуса r равен удвоенному произведению радиуса r на число пи (~3.1415)

Определение круга часто звучит, как часть плоскости, которая ограничена окружностью. Окружность круга является плоской замкнутой кривой. Все точки, расположенные на кривой, удалены от центра круга на одинаковое расстояние. В круге его длина и периметр одинаковы. Соотношение длины любой окружности и ее диаметра постоянное и обозначается числом π = 3,1415.

Определение периметра круга

Периметр круга радиуса r равен удвоенному произведению радиуса r на число π(~3.1415)

Формула периметра круга

Периметр круга радиуса \(r\) :

\[ \LARGE{P} = 2 \cdot \pi \cdot r \]

или

\[ \LARGE{P} = \pi \cdot d \]

где

\( P \) – периметр (длина окружности).

\( r \) – радиус.

\( d \) – диаметр.

Окружностью будем называть такую геометрическую фигуру, которая будет состоять из всех таких точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от какой-либо заданной точки.

Центром окружности будем называть точку, которая задается в рамках определения 1.

Радиусом окружности будем называть расстояние от центра этой окружности до любой ее точки.

В декартовой системе координат \( xOy \) мы также можем ввести уравнение любой окружности. Обозначим центр окружности точкой \( X \) , которая будет иметь координаты \( (x_0,y_0) \) . Пусть радиус этой окружности равняется \( τ \) . Возьмем произвольную точку \( Y \) , координаты которой обозначим через \( (x,y) \) (рис. 2).

По формуле расстояния между двумя точками в заданной нами системе координат, получим:

\( |XY|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} \)

С другой стороны, \( |XY| \) - это расстояние от любой точки окружности до выбранного нами центра. То есть, по определению 3, получим, что \( |XY|=τ \) , следовательно

\( \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=τ \)

\( (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=τ^2 \) (1)

Таким образом, мы и получаем, что уравнение (1) является уравнением окружности в декартовой системе координат.

Длина окружности (периметр круга)

Будем выводить длину произвольной окружности \( C \) с помощью её радиуса, равного \( τ \) .

Будем рассматривать две произвольные окружности. Обозначим их длины через \( C \) и \( C' \) , у которых радиусы равняются \( τ \) и \( τ' \) . Будем вписывать в эти окружности правильные \( n \) -угольники, периметры которых равняются \( ρ \) и \( ρ' \) , длины сторон которых равняются \( α \) и \( α' \) , соответственно. Как мы знаем, сторона вписанного в окружность правильного \( n \) – угольника равняется

\( α=2τsin\frac{180^0}{n} \)

Тогда, будем получать, что

\( ρ=nα=2nτ\frac{sin180^0}{n} \)

\( ρ'=nα'=2nτ'\frac{sin180^0}{n} \)

Значит

\( \frac{ρ}{ρ'}=\frac{2nτsin\frac{180^0}{n}}{2nτ'\frac{sin180^0}{n}}=\frac{2τ}{2τ'} \)

Получаем, что отношение \( \frac{ρ}{ρ'}=\frac{2τ}{2τ'} \) будет верным независимо от значения числа сторон вписанных правильных многоугольников. То есть

\( \lim_{n\to\infty}(\frac{ρ}{ρ'})=\frac{2τ}{2τ'} \)

С другой стороны, если бесконечно увеличивать число сторон вписанных правильных многоугольников (то есть \( n→∞ \) ), будем получать равенство:

\( lim_{n\to\infty}(\frac{ρ}{ρ'})=\frac{C}{C'} \)

Из последних двух равенств получим, что

\( \frac{C}{C'}=\frac{2τ}{2τ'} \)

То есть

\( \frac{C}{2τ}=\frac{C'}{2τ'} \)

Видим, что отношение длины окружности к его удвоенному радиусу всегда одно и тоже число, независимо от выбора окружности и ее параметров, то есть

\( \frac{C}{2τ}=const \)

Эту постоянную принять называть числом «пи» и обозначать \( π \) . Приближенно, это число будет равняться \( 3,14 \) (точного значения этого числа нет, так как оно является иррациональным числом). Таким образом

\( \frac{C}{2τ}=π \)

Окончательно, получим, что длина окружности (периметр круга) определяется формулой

\( C=2πτ \)

Пример 1

Задача

Найти периметр окружности радиуса \( r = 10 \)см.

Решение

Воспользуемся формулой \( P = 2 \cdot \pi \cdot r \). Подставляя значение \( r = 10 \) см, получим:

\( P = 2 \cdot \pi \cdot 10 = 20 \pi \) (см)

Учитывая, что \( \pi \approx 3,14 \) окончательно запишем:

\( P = 20 \pi \approx 20 \cdot 3,14 = 62,8 \) (см)

Ответ

Периметр окружности равен \( P = 20 \pi\) см или \(P \approx 62,8 \) см.

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

50 000авторов
от 100 р.стоимость заказа
2 часамин. срок
Узнать стоимость

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме:

Интересные статьи: