Круг и окружность

Радиус Для любой точки $OL=R$. (Длина отрезка $OL$ равняется радиусу окружности).

Хорда Отрезок, который соединяет две точки окружности, является ее хордой.

Диаметр Хорда, проходящая прямо через центр окружности, является диаметром этой окружности $D=2R$

Длина окружности Длина окружности вычисляется по формуле: $C=2\pi R$

Площадь круга Площадь круга: $S=\pi R^{2}$

Дуга окружностиДугой окружности называется та ее часть, которая располагается между двух ее точек. Эти две точки и определяют две дуги окружности. Хорда $CD$ стягивает две дуги: $CMD$ и $CLD$. Одинаковые хорды стягивают одинаковые дуги.

Центральный угол Центральным углом называется такой угол, который находится между двух радиусов.

Длину дуги можно найти по формуле:

1. Используя градусную меру: $CD = \dfrac{\pi R \alpha ^{\circ}}{180^{\circ}}$
2. Используя радианную меру: $CD = \alpha R$

Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.

В случае, если хорды $AB$ и $CD$ окружности имеют пересечение в точке $N$, то произведения отрезков хорд, разделенные точкой $N$, равны между собой.

$AN\cdot NB = CN \cdot ND$

Касательная Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.

Секущая Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей.

Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.

Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.

$AC = CB$

Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

$AC^{2} = CD \cdot BC$

Можно сделать вывод: произведение целого отрезка первой секущей на его внешнюю часть равняется произведению целого отрезка второй секущей на его внешнюю часть.

$AC \cdot BC = EC \cdot DC$

Градусные меры центрального угла и дуги, на которую тот опирается, равны.

$\angle COD = \cup CD = \alpha ^{\circ}$

Вписанный угол Вписанный угол — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны содержат хорды.

Вычислить его можно, узнав величину дуги, так как он равен половине этой дуги.

$\angle AOB = 2 \angle ADB$

Опирающийся на диаметр, вписанный угол, прямой.

$\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ {\circ}$

Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, тождественны.

$\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB$

Опирающиеся на одну хорду вписанные углы тождественны или их сумма равняется $180^ {\circ}$.

$\angle ADB + \angle AKB = 180^ {\circ}$

$\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB$

На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.

Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.

$\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \dfrac{1}{2} \left ( \cup DmC + \cup AlB \right )$

Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.

$\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \dfrac{1}{2} \left ( \cup DmC - \cup AlB \right )$

Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.

В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.

Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.

Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:

$S = pr$,

где:

$p$ — полупериметр многоугольника,

$r$ — радиус вписанной окружности.

Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:

$r = \dfrac{S}{p}$

Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.

$AB + DC = AD + BC$

В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

$r = \dfrac{S}{p}$,

где $p = \dfrac{a + b + c}{2}$

Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника.

В точке пересечения серединных перпендикуляров сторон этой фигуры будет находиться центр описанной окружности.

Радиус можно найти, вычислив его как радиус окружности, которая описана около треугольника, определенного любыми 3-мя вершинами многоугольника.

Есть следующее условие: окружность возможно описать около четырехугольника только, если сумма его противоположных углов равна $180^{ \circ}$.

$\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ {\circ}$

Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.

Радиус описанной окружности можно вычислить по формулам:

$R = \dfrac{a}{2 \sin A} = \dfrac{b}{2 \sin B} = \dfrac{c}{2 \sin C}$

$R = \dfrac{abc}{4 S}$

где:

$a$, $b$, $c$ — длины сторон треугольника,

$S$ — площадь треугольника.

Под конец, рассмотрим теорему Птолемея.

Теорема Птолемея гласит, что произведение диагоналей тождественно сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника.

$AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$