Круг и окружность

Круг — геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной заданной точки, называемой центром круга.

Круг — геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной заданной точки, называемой центром круга. Расстояние от центра до любой точки окружности называется радиусом.

Сначала разберемся в отличии между кругом и окружностью. Чтобы увидеть эту разницу, достаточно рассмотреть, чем являются обе фигуры. Это бесчисленное количество точек плоскости, располагающиеся на равном расстоянии от единственной центральной точки. Но, если круг состоит и из внутреннего пространства, то окружности оно не принадлежит. Получается, что круг это и окружность, ограничивающая его (о-кру(г)жность), и бесчисленное число точек, что внутри окружности.

Круг

Окружность

Общие определения

Окружность — это множество точек, которое располагается на одинаковом расстоянии от ее центра, представленного точкой.

Радиус Для любой точки \( OL=R \). (Длина отрезка \( OL \) равняется радиусу окружности).

Хорда Отрезок, который соединяет две точки окружности, является ее хордой.

Диаметр Хорда, проходящая прямо через центр окружности, является диаметром этой окружности \( D=2R \)

Окружность с хордой, диаметром и радиусом

Длина окружности Длина окружности вычисляется по формуле: \( C=2\pi R \)

Площадь круга Площадь круга: \( S=\pi R^{2} \)

Дуга окружностиДугой окружности называется та ее часть, которая располагается между двух ее точек. Эти две точки и определяют две дуги окружности. Хорда \( CD \) стягивает две дуги: \( CMD \) и \( CLD \). Одинаковые хорды стягивают одинаковые дуги.

Хорда разбивает окружность на две дуги

Центральный угол Центральным углом называется такой угол, который находится между двух радиусов.

Окружность с центральным углом

Длину дуги можно найти по формуле:

  1. Используя градусную меру: \( CD = \dfrac{\pi R \alpha ^{\circ}}{180^{\circ}} \)
  2. Используя радианную меру: \( CD = \alpha R \)

Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.

Диаметр делит хорду и дуги окружности пополам

В случае, если хорды \( AB \) и \( CD \) окружности имеют пересечение в точке \( N \), то произведения отрезков хорд, разделенные точкой \( N \), равны между собой.

\( AN\cdot NB = CN \cdot ND \)

Окружность с двумя хордами пересекающимися в точке

Касательная к окружности

Касательная Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.

Секущая Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей.

Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.

Окружность с секущей и касательной

Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.

\( AC = CB \)

Касательные к окружности с центром на биссектрисе угла

Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

\( AC^{2} = CD \cdot BC \)

Окружность с касательной и секущей

Можно сделать вывод: произведение целого отрезка первой секущей на его внешнюю часть равняется произведению целого отрезка второй секущей на его внешнюю часть.

\( AC \cdot BC = EC \cdot DC \)

Окружность с двумя секущими

Углы в окружности

Градусные меры центрального угла и дуги, на которую тот опирается, равны.

\( \angle COD = \cup CD = \alpha ^{\circ} \)

Градусные меры центрального угла и дуги окружности

Вписанный угол Вписанный угол — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны содержат хорды.

Вычислить его можно, узнав величину дуги, так как он равен половине этой дуги.

\( \angle AOB = 2 \angle ADB \)

Вписанный угол окружности

Опирающийся на диаметр, вписанный угол, прямой.

\( \angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ {\circ} \)

Опирающийся на диаметр вписанный угол окружности

Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, тождественны.

\( \angle ADB = \angle AEB = \angle AFB \)

Вписанные углы опирающиеся на одну дугу окружности

Опирающиеся на одну хорду вписанные углы тождественны или их сумма равняется \( 180^ {\circ} \).

\( \angle ADB + \angle AKB = 180^ {\circ} \)

\( \angle ADB = \angle AEB = \angle AFB \)

Вписанные углы опирающиеся на одну хорду окружности

На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.

Треугольники на окружности с тождественными углами

Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.

\( \angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \dfrac{1}{2} \left ( \cup DmC + \cup AlB \right ) \)

Окружность с образованными от двух хорд углами и дугами

Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.

\( \angle M = \angle CBD - \angle ACB = \dfrac{1}{2} \left ( \cup DmC - \cup AlB \right ) \)

Угол вне окружности образованный двумя секущими

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.

В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.

Окружность вписанная в многоугольник

Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.

Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:

\( S = pr \),

где:

\( p \) — полупериметр многоугольника,

\( r \) — радиус вписанной окружности.

Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:

\( r = \dfrac{S}{p} \)

Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.

\( AB + DC = AD + BC \)

Окружность вписанная в выпуклый четырехугольник

В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

\( r = \dfrac{S}{p} \),

где \( p = \dfrac{a + b + c}{2} \)

Окружность вписанная в треугольник

Описанная окружность

Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника.

В точке пересечения серединных перпендикуляров сторон этой фигуры будет находиться центр описанной окружности.

Радиус можно найти, вычислив его как радиус окружности, которая описана около треугольника, определенного любыми 3-мя вершинами многоугольника.

Есть следующее условие: окружность возможно описать около четырехугольника только, если сумма его противоположных углов равна \( 180^{ \circ} \).

\( \angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ {\circ} \)

Окружность описанная около четырехугольника

Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.

Радиус описанной окружности можно вычислить по формулам:

\( R = \dfrac{a}{2 \sin A} = \dfrac{b}{2 \sin B} = \dfrac{c}{2 \sin C} \)

\( R = \dfrac{abc}{4 S} \)

где:

\( a \), \( b \), \( c \) — длины сторон треугольника,

\( S \) — площадь треугольника.

Окружность описанная около треугольника

Теорема Птолемея

Под конец, рассмотрим теорему Птолемея.

Теорема Птолемея гласит, что произведение диагоналей тождественно сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника.

\( AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD \)

Окружность описанная около четырехугольника

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме:

  • Треугольник
    Треугольник — многоугольник, образованный тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.
  • Квадрат
    Квадрат — это правильный четырёхугольник. У него все стороны и углы равны между собой.
  • Прямоугольник
    Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).
  • Параллелограмм
    Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
  • Ромб
    Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
  • Четырёхугольник
    Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.
  • Гексагон
    Правильный шестиугольник (гексагон) — многоугольник с шестью равными сторонами.
  • Прямоугольный треугольник
    Треугольник называют прямоугольным, если у него есть прямой угол, который равен 90 градусов.

Интересные статьи: