Ромб

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Квадрат есть частный вид ромба.

Ромб — это четырехугольник, имеющий равные длины сторон.

Ромб является частным случаем параллелограмма.

Ромб имеющий прямые углы является квадратом.

Ромб ABCD с равными сторонами

Свойства ромба

1. Противолежащие стороны ромба параллельны и равны

\( AB \parallel CD,\;BC \parallel AD \)

\( AB = CD,\;BC = AD \)

Ромб с противолежащими равными и параллельными сторонами

2. Диагонали ромба перпендикулярны

\( AC\perp BD \)

Ромб с перпендикулярными диагоналями

Так как ромб является параллелограммом, то его диагонали делятся пополам.

Значит, \( \triangle BOC = \triangle DOC \) по трем сторонам (\( BO = OD \), \( BC = CD \)). Получаем, что \( \angle BOC = \angle COD \), и они смежны.

\( \Rightarrow \angle BOC = 90^{\circ} \) и \( \angle COD = 90^{\circ} \).

3. Точка пересечения диагоналей делит их пополам

\( AC=2\cdot AO=2\cdot CO \)

\( BD=2\cdot BO=2\cdot DO \)

Ромб с точкой пересечения диагоналей делящей их пополам

4. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов

\( \angle 1 = \angle 2; \; \angle 5 = \angle 6 \);

\( \angle 3 = \angle 4; \; \angle 7 = \angle 8 \).

Ромб с диагоналями являющиеся биссектрисами его углов

По причине того, что диагонали разделены точкой пересечения пополам, и все стороны ромба равны друг другу, то вся фигура делится диагоналями на 4 равных треугольника:

\( \triangle BOC, \; \triangle BOA, \; \triangle AOD, \; \triangle COD \).

Это значит, что \( BD \), \( AC \) — биссектрисы.

5. Диагонали образуют из ромба 4 прямоугольных треугольника

Ромб с четырьмя прямоугольными треугольниками

6. Любой ромб может содержать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей

Ромб с окружностью с центром в точке пересечения диагоналей

7. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату одной из сторон ромба умноженному на четыре

\( AC^2 + BD^2 = 4\cdot AB^2 \)

Ромб с окружностью с центром в точке пересечения диагоналей

Признаки ромба

1. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом

\( \begin{cases} AC \perp BD \\ ABCD \end{cases} \) — параллелограмм, \( \Rightarrow ABCD \) — ромб.

Ромб это параллелограмм с перпендикулярными диагоналями

Ромб с диагоналями являющиеся катетами треугольников

\( \Rightarrow AO = CO \); \( BO = OD \). Также указано, что \( AC \perp BD \Rightarrow \triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD = \triangle AOD \) - по 2-м катетам.

Получается, что \( AB = BC = CD = AD \).

2. Когда в параллелограмме хотя бы одна из диагоналей разделяет оба угла (через которые она проходит) пополам, то этой фигурой будет ромб

Ромб с диагоналями разделяющими углы

\( \angle A = \angle C \), поскольку \( \angle A \) и \( \angle C \).

Следовательно, \( \triangle ABC = \triangle ADC \) и оби фигуры — равнобедренные треугольники.

Диагональ ромба делит его на равнобедренные треугольники

Это означает, что \( AB = BC = CD = DA \), и \( ABCD \) — ромб.

На заметку: не каждая фигура (четырехугольник) с перпендикулярными диагоналями будет ромбом.

К примеру:

Это уже не ромб, не смотря на перпендикулярность диагоналей.

Для отличия стоит запомнить, что сначала четырехугольник должен быть параллелограммом и иметь признаки параллелограмма 1 и 2

Фигура не являющаяся ромбом с перпендикулярными диагоналями

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

50 000авторов
от 100 р.стоимость заказа
2 часамин. срок
Узнать стоимость

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме:

  • Треугольник
    Треугольник — многоугольник, образованный тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.
  • Квадрат
    Квадрат — это правильный четырёхугольник. У него все стороны и углы равны между собой.
  • Прямоугольник
    Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).
  • Параллелограмм
    Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
  • Четырёхугольник
    Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.
  • Гексагон
    Правильный шестиугольник (гексагон) — многоугольник с шестью равными сторонами.
  • Круг и окружность
    Круг — геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной заданной точки, называемой центром круга.
  • Прямоугольный треугольник
    Треугольник называют прямоугольным, если у него есть прямой угол, который равен 90 градусов.

Интересные статьи: