Ромб

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Квадрат есть частный вид ромба.

Ромб — это четырехугольник, имеющий равные длины сторон.

Ромб является частным случаем параллелограмма.

Ромб имеющий прямые углы является квадратом.

Ромб ABCD с равными сторонами

Свойства ромба

1. Противолежащие стороны ромба параллельны и равны

AB∥CD,BC∥AD

AB=CD,BC=AD

Ромб с противолежащими равными и параллельными сторонами

2. Диагонали ромба перпендикулярны

AC⊥BD

Ромб с перпендикулярными диагоналями

Так как ромб является параллелограммом, то его диагонали делятся пополам.

Значит, △BOC=△DOC по трем сторонам (BO=OD, BC=CD). Получаем, что ∠BOC=∠COD, и они смежны.

⇒∠BOC=90∘ и ∠COD=90∘.

3. Точка пересечения диагоналей делит их пополам

AC=2⋅AO=2⋅CO

BD=2⋅BO=2⋅DO

Ромб с точкой пересечения диагоналей делящей их пополам

4. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов

∠1=∠2;∠5=∠6;

∠3=∠4;∠7=∠8.

Ромб с диагоналями являющиеся биссектрисами его углов

По причине того, что диагонали разделены точкой пересечения пополам, и все стороны ромба равны друг другу, то вся фигура делится диагоналями на 4 равных треугольника:

△BOC,△BOA,△AOD,△COD.

Это значит, что BD, AC — биссектрисы.

5. Диагонали образуют из ромба 4 прямоугольных треугольника

Ромб с четырьмя прямоугольными треугольниками

6. Любой ромб может содержать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей

Ромб с окружностью с центром в точке пересечения диагоналей

7. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату одной из сторон ромба умноженному на четыре

AC2+BD2=4⋅AB2

Ромб с окружностью с центром в точке пересечения диагоналей

Признаки ромба

1. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом

{AC⊥BDABCD — параллелограмм, ⇒ABCD — ромб.

Ромб это параллелограмм с перпендикулярными диагоналями

⇒AO=CO; BO=OD. Также указано, что AC⊥BD⇒△AOB=△BOC=△COD=△AOD - по 2-м катетам.

Получается, что AB=BC=CD=AD.

2. Когда в параллелограмме хотя бы одна из диагоналей разделяет оба угла (через которые она проходит) пополам, то этой фигурой будет ромб

Ромб с диагоналями разделяющими углы

∠A=∠C, поскольку ∠A и ∠C.

Следовательно, △ABC=△ADC и оби фигуры — равнобедренные треугольники.

Это означает, что AB=BC=CD=DA, и ABCD — ромб.

На заметку: не каждая фигура (четырехугольник) с перпендикулярными диагоналями будет ромбом.

К примеру:

Это уже не ромб, не смотря на перпендикулярность диагоналей.

Для отличия стоит запомнить, что сначала четырехугольник должен быть параллелограммом и иметь признаки параллелограмма 1 и 2

Фигура не являющаяся ромбом с перпендикулярными диагоналями

Фигуры Математика Формулы Геометрия Теория Фигуры
Читать по теме
Интересные статьи