Ромб
- Свойства ромба
- 1. Противолежащие стороны ромба параллельны и равны
- 2. Диагонали ромба перпендикулярны
- 3. Точка пересечения диагоналей делит их пополам
- 4. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов
- 5. Диагонали образуют из ромба 4 прямоугольных треугольника
- 6. Любой ромб может содержать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей
- 7. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату одной из сторон ромба умноженному на четыре
- Признаки ромба
- 1. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом
- 2. Когда в параллелограмме хотя бы одна из диагоналей разделяет оба угла (через которые она проходит) пополам, то этой фигурой будет ромб
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Квадрат есть частный вид ромба.
Ромб — это четырехугольник, имеющий равные длины сторон.
Ромб является частным случаем параллелограмма.
Ромб имеющий прямые углы является квадратом.
Свойства ромба
1. Противолежащие стороны ромба параллельны и равны
\( AB \parallel CD,\;BC \parallel AD \)
\( AB = CD,\;BC = AD \)
Так как ромб является параллелограммом, то его диагонали делятся пополам.
Значит, \( \triangle BOC = \triangle DOC \) по трем сторонам (\( BO = OD \), \( BC = CD \)). Получаем, что \( \angle BOC = \angle COD \), и они смежны.
\( \Rightarrow \angle BOC = 90^{\circ} \) и \( \angle COD = 90^{\circ} \).
3. Точка пересечения диагоналей делит их пополам
\( AC=2\cdot AO=2\cdot CO \)
\( BD=2\cdot BO=2\cdot DO \)
4. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов
\( \angle 1 = \angle 2; \; \angle 5 = \angle 6 \);
\( \angle 3 = \angle 4; \; \angle 7 = \angle 8 \).
По причине того, что диагонали разделены точкой пересечения пополам, и все стороны ромба равны друг другу, то вся фигура делится диагоналями на 4 равных треугольника:
\( \triangle BOC, \; \triangle BOA, \; \triangle AOD, \; \triangle COD \).
Это значит, что \( BD \), \( AC \) — биссектрисы.
7. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату одной из сторон ромба умноженному на четыре
\( AC^2 + BD^2 = 4\cdot AB^2 \)
Признаки ромба
1. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом
\( \begin{cases} AC \perp BD \\ ABCD \end{cases} \) — параллелограмм, \( \Rightarrow ABCD \) — ромб.
\( \Rightarrow AO = CO \); \( BO = OD \). Также указано, что \( AC \perp BD \Rightarrow \triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD = \triangle AOD \) - по 2-м катетам.
Получается, что \( AB = BC = CD = AD \).
2. Когда в параллелограмме хотя бы одна из диагоналей разделяет оба угла (через которые она проходит) пополам, то этой фигурой будет ромб
\( \angle A = \angle C \), поскольку \( \angle A \) и \( \angle C \).
Следовательно, \( \triangle ABC = \triangle ADC \) и оби фигуры — равнобедренные треугольники.
Это означает, что \( AB = BC = CD = DA \), и \( ABCD \) — ромб.
На заметку: не каждая фигура (четырехугольник) с перпендикулярными диагоналями будет ромбом.
К примеру:
Это уже не ромб, не смотря на перпендикулярность диагоналей.
Для отличия стоит запомнить, что сначала четырехугольник должен быть параллелограммом и иметь признаки параллелограмма 1 и 2
