Прямоугольник
- Свойства прямоугольника
- 1. Прямоугольник — это параллелограмм
- 2. Противоположные стороны равны
- 3. Противоположные стороны параллельны
- 4. Прилегающие стороны перпендикулярны друг другу
- 5. Диагонали прямоугольника равны
- 6. Квадрат диагонали равен сумме квадратов двух прилежащих его сторон
- 7. Диагональ делит прямоугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника
- 8. Точка пересечения диагоналей делит их пополам
- 9. Точка пересечения диагоналей является центром прямоугольника и описанной окружности
- 10. Сумма всех углов равна 360 градусов
- 11. Все углы прямоугольника прямые
- 12. Диаметр описанной около прямоугольника окружности равен диагонали прямоугольника
- 13. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность
- 14. Прямоугольник может содержать вписанную окружность и только одну, если он имеет одинаковые длины сторон (является квадратом)
Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Диагонали прямоугольника равны. Вторая формула нахождения площади прямоугольника исходит из формулы площади четырехугольника через диагонали.
Прямоугольник — это четырехугольник, у которого каждый угол является прямым.
Квадрат — это частный случай прямоугольника.
Прямоугольник имеет две пары равных сторон. Длина наиболее длинных пар сторон называется длиной прямоугольника, а длина наиболее коротких — шириной прямоугольника.
Свойства прямоугольника
Свойство объясняется действием признака 3 параллелограмма (то есть \( \angle A = \angle C \), \( \angle B = \angle D \))
4. Прилегающие стороны перпендикулярны друг другу
\( AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB \)
Согласно свойству 1 прямоугольник является параллелограммом, а значит \( AB = CD \).
Следовательно, \( \triangle ABD = \triangle DCA \) по двум катетам (\( AB = CD \) и \( AD \) — совместный).
Если обе фигуры — \( ABC \) и \( DCA \) тождественны, то и их гипотенузы \( BD \) и \( AC \) тоже тождественны.
Значит, \( AC = BD \).
Только у прямоугольника из всех фигур (только из параллелограммов!) равны диагонали.
Докажем и это.
\( \Rightarrow AB = CD \), \( AC = BD \) по условию. \( \Rightarrow \triangle ABD = \triangle DCA \) уже по трем сторонам.
Получается, что \( \angle A = \angle D \) (как углы параллелограмма). И \( \angle A = \angle C \), \( \angle B = \angle D \).
Выводим, что \( \angle A = \angle B = \angle C = \angle D \). Все они по \( 90^{\circ} \). В сумме — \( 360^{\circ} \).
6. Квадрат диагонали равен сумме квадратов двух прилежащих его сторон
Это свойство справедливо в силу теоремы Пифагора.
\( AC^2=AD^2+CD^2 \)
7. Диагональ делит прямоугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника
\( \triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD \)
10. Сумма всех углов равна 360 градусов
\( \angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^{\circ} \)
11. Все углы прямоугольника прямые
\( \angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^{\circ} \)
13. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность
Это свойство справедливо в силу того, что сумма противоположных углов прямоугольника равна \( 180^{\circ} \)
\( \angle ABC = \angle CDA = 180^{\circ},\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^{\circ} \)
14. Прямоугольник может содержать вписанную окружность и только одну, если он имеет одинаковые длины сторон (является квадратом)
