Прямоугольник

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Диагонали прямоугольника равны. Вторая формула нахождения площади прямоугольника исходит из формулы площади четырехугольника через диагонали.

Прямоугольник — это четырехугольник, у которого каждый угол является прямым.

Квадрат — это частный случай прямоугольника.

Прямоугольник имеет две пары равных сторон. Длина наиболее длинных пар сторон называется длиной прямоугольника, а длина наиболее коротких — шириной прямоугольника.

Прямоугольник ABCD

Свойства прямоугольника

1. Прямоугольник — это параллелограмм

прямоугольник с параллельными противоположными сторонами

Свойство объясняется действием признака 3 параллелограмма (то есть \( \angle A = \angle C \), \( \angle B = \angle D \))

2. Противоположные стороны равны

\( AB = CD,\enspace BC = AD \)

прямоугольник с параллельными противоположными сторонами

3. Противоположные стороны параллельны

\( AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD \)

прямоугольник с параллельными противоположными сторонами

4. Прилегающие стороны перпендикулярны друг другу

\( AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB \)

прямоугольник с прилегающими перпендикулярными сторонами

5. Диагонали прямоугольника равны

\( AC = BD \)

прямоугольник с равными диагоналями

Согласно свойству 1 прямоугольник является параллелограммом, а значит \( AB = CD \).

Следовательно, \( \triangle ABD = \triangle DCA \) по двум катетам (\( AB = CD \) и \( AD \) — совместный).

Если обе фигуры — \( ABC \) и \( DCA \) тождественны, то и их гипотенузы \( BD \) и \( AC \) тоже тождественны.

Значит, \( AC = BD \).

Только у прямоугольника из всех фигур (только из параллелограммов!) равны диагонали.

Докажем и это.

\( \Rightarrow AB = CD \), \( AC = BD \) по условию. \( \Rightarrow \triangle ABD = \triangle DCA \) уже по трем сторонам.

Получается, что \( \angle A = \angle D \) (как углы параллелограмма). И \( \angle A = \angle C \), \( \angle B = \angle D \).

Выводим, что \( \angle A = \angle B = \angle C = \angle D \). Все они по \( 90^{\circ} \). В сумме — \( 360^{\circ} \).

6. Квадрат диагонали равен сумме квадратов двух прилежащих его сторон

Это свойство справедливо в силу теоремы Пифагора.

\( AC^2=AD^2+CD^2 \)

7. Диагональ делит прямоугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника

\( \triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD \)

прямоугольник с одинаковыми прямоугольными треугольниками

8. Точка пересечения диагоналей делит их пополам

\( AO = BO = CO = DO \)

прямоугольник с диагоналями и точкой пересечения

9. Точка пересечения диагоналей является центром прямоугольника и описанной окружности

прямоугольник ABCD с описанной окружностью и центром O

10. Сумма всех углов равна 360 градусов

\( \angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^{\circ} \)

11. Все углы прямоугольника прямые

\( \angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^{\circ} \)

прямоугольник с прилегающими перпендикулярными сторонами

12. Диаметр описанной около прямоугольника окружности равен диагонали прямоугольника

прямоугольник с описанной окружностью и диагональю равной диаметру

13. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность

Это свойство справедливо в силу того, что сумма противоположных углов прямоугольника равна \( 180^{\circ} \)

\( \angle ABC = \angle CDA = 180^{\circ},\enspace \angle BCD = \angle DAB = 180^{\circ} \)

14. Прямоугольник может содержать вписанную окружность и только одну, если он имеет одинаковые длины сторон (является квадратом)

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме:

  • Трапеция
    Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две стороны не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, две другие — боковыми сторонами.
  • Треугольник
    Треугольник — многоугольник, образованный тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.
  • Квадрат
    Квадрат — это правильный четырёхугольник. У него все стороны и углы равны между собой.
  • Параллелограмм
    Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
  • Ромб
    Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
  • Четырёхугольник
    Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.
  • Гексагон
    Правильный шестиугольник (гексагон) — многоугольник с шестью равными сторонами.
  • Круг и окружность
    Круг — геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной заданной точки, называемой центром круга.

Интересные статьи: