Трапеция
Трапеция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») — четырёхугольник, у которого только одна пара противолежащих сторон параллельна.
Иногда трапеция определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна (про другую не уточняется), в этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции. В частности, существует понятие криволинейная трапеция.
Средняя линия трапеции - отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.
Элементы трапеции
- Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
- Две другие стороны называются боковыми сторонами.
- Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
- Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.
Виды трапеций
- Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной.
- Трапеция, у которой один из углов "прямой", называется прямоугольной.
Основные свойства трапеции
В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:
\[ AB + CD = BC + AD \]
Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основы, так же делит диагонали пополам:
\[ AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD \]
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:
\[ m = \dfrac{a + b}{2} \]
Точка пересечения диагоналей трапеции и середины оснований лежат на одной прямой.
В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.
Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями:
\[ \dfrac{BC}{AD} = \dfrac{OC}{AO} = \dfrac{OB}{DO} \]
Диагонали трапеции d1 и d2 связаны со сторонами соотношением:
\[ d_1^2 + d_2^2 = 2ab + c^2 + d^2 \]
Формулы длин сторон трапеции
Формула длины оснований трапеции через среднюю линию и другую основу:
\[ a = 2m - b , b = 2m - a \]
Формулы длины основ трапеции через высоту и углы при нижнем основании:
\[ a = b + h · (ctg \alpha + ctg \beta) , b = a - h · (ctg \alpha + ctg \beta)\]
Формулы длины основ трапеции через боковые стороны и углы при нижнем основании:
\[ a = b + c·cos \alpha + d·cos \beta, b = a - c·cos \alpha - d·cos \beta \]
Формулы боковых сторон трапеции через высоту и углы при нижнем основании:
\[ с = \dfrac{h}{sin \alpha } , d = \dfrac{h}{sin \beta } \]
Формулы длины средних линий трапеции
Формула определения длины средней линии через длины оснований:
\[ m = \dfrac{a + b}{2} \]
Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:
\[ m = \dfrac{S}{h} \]
Формулы длины высоты трапеции
Формула высоты трапеции через сторону и прилегающий угол при основании:
\[ h = c·sin α = d·sin β \]
Формула высоты трапеции через диагонали и углы между ними:
\[ h = sin γ \cdot \dfrac{d_1\cdot d_2}{a + b} = sin δ \cdot \dfrac{d_1\cdot d_2}{a + b} \]
Формула высоты трапеции через диагонали, углы между ними и среднюю линию:
\[ h = sin γ \cdot \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2m 2m} = sin δ · \dfrac{d_1}{d_2} \]
Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:
\[ h = \dfrac{2S}{a + b} \]
Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:
\[ h = \dfrac{2S}{m} \]
Формулы длин диагоналей трапеции
Формулы длин диагоналей трапеции по теореме косинусов:
\[ d_1 = \sqrt{a^2 + d^2 - 2ad·cos β} \]
\[ d_2 = \sqrt{a^2 + c^2 - 2ac·cos β} \]
Формулы длин диагоналей трапеции через четыре стороны:
\[ d_1 = \sqrt{d^2 + ab - \dfrac{a(d^2 - c^2)}{a - b} } \]
\[ d_2 = \sqrt{c^2 + ab - \dfrac{ a(c^2 - d^2) }{a - b} } \]
Формулы длин диагоналей трапеции через высоту:
\[ d_1 = \sqrt{h^2 + (a - h · ctg β)^2} = \sqrt { h^2 + (b + h · ctg α)^2} \]
\[ d_2 = \sqrt{h^2 + (a - h · ctg α)^2} = \sqrt{h^2 + (b + h · ctg β)^2} \]
Формулы длин диагоналей трапеции через сумму квадратов диагоналей:
\[ d_1 = \sqrt{c^2 + d^2 + 2ab - d_2^2} \]
\[ d_2 = \sqrt{c^2 + d^2 + 2ab - d_1^2} \]
Формулы площади трапеции
Формула площади трапеции через основания и высоту:
\[ S = \dfrac{ (a + b) · h }{2} \]
Формула площади трапеции через среднюю линию и высоту:
\[ S = m · h \]
Формула площади трапеции через диагонали и угол между ними:
\[ S = \dfrac{d_1d_2}{2} · sin γ = \dfrac{d_1d_2}{2} · sin δ \]
Формула площади трапеции через четыре стороны:
\[ S = \dfrac{a + b}{2}\sqrt{c^2 - \left\lgroup\dfrac{(a - b)^2 + c^2 - d^2)}{2\cdot (a - b)} \right\rgroup ^2 } \]
Формула Герона для площади трапеции
\[ S = \frac{a + b}{\left|a-b\right| } \sqrt{(p - a)(p - b)(p - a - c)(p - a - d)} \]
где \( p = \dfrac{a + b + c + d}{2} \) - полупериметр трапеции.
