Трапеция
Трапеция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») — четырёхугольник, у которого только одна пара противолежащих сторон параллельна.
Иногда трапеция определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна (про другую не уточняется), в этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции. В частности, существует понятие криволинейная трапеция.
Средняя линия трапеции - отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.
Элементы трапеции
- Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
- Две другие стороны называются боковыми сторонами.
- Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
- Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.
Виды трапеций
- Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной.
- Трапеция, у которой один из углов "прямой", называется прямоугольной.
Основные свойства трапеции
В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:
Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основы, так же делит диагонали пополам:
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:
Точка пересечения диагоналей трапеции и середины оснований лежат на одной прямой.
В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.
Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями:
Диагонали трапеции d1 и d2 связаны со сторонами соотношением:
Формулы длин сторон трапеции
Формула длины оснований трапеции через среднюю линию и другую основу:
Формулы длины основ трапеции через высоту и углы при нижнем основании:
Формулы длины основ трапеции через боковые стороны и углы при нижнем основании:
Формулы боковых сторон трапеции через высоту и углы при нижнем основании:
Формулы длины средних линий трапеции
Формула определения длины средней линии через длины оснований:
Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:
Формулы длины высоты трапеции
Формула высоты трапеции через сторону и прилегающий угол при основании:
Формула высоты трапеции через диагонали и углы между ними:
Формула высоты трапеции через диагонали, углы между ними и среднюю линию:
Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:
Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:
Формулы длин диагоналей трапеции
Формулы длин диагоналей трапеции по теореме косинусов:
Формулы длин диагоналей трапеции через четыре стороны:
Формулы длин диагоналей трапеции через высоту:
Формулы длин диагоналей трапеции через сумму квадратов диагоналей:
Формулы площади трапеции
Формула площади трапеции через основания и высоту:
Формула площади трапеции через среднюю линию и высоту:
Формула площади трапеции через диагонали и угол между ними:
Формула площади трапеции через четыре стороны:
Формула Герона для площади трапеции
где - полупериметр трапеции.