Трапеция

• Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
• Две другие стороны называются боковыми сторонами.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
• Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

• Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной.
• Трапеция, у которой один из углов "прямой", называется прямоугольной.

В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

$$AB + CD = BC + AD$$

---

Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основы, так же делит диагонали пополам:

$$AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD$$

---

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

$$m = \dfrac{a + b}{2}$$

---

Точка пересечения диагоналей трапеции и середины оснований лежат на одной прямой.

---

В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.

---

Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями:

$$\dfrac{BC}{AD} = \dfrac{OC}{AO} = \dfrac{OB}{DO}$$

---

Диагонали трапеции d1 и d2 связаны со сторонами соотношением:

$$d_1^2 + d_2^2 = 2ab + c^2 + d^2$$

Формула длины оснований трапеции через среднюю линию и другую основу:

$$a = 2m - b , b = 2m - a$$

---

Формулы длины основ трапеции через высоту и углы при нижнем основании:

$$a = b + h · (ctg \alpha + ctg \beta) , b = a - h · (ctg \alpha + ctg \beta)$$

---

Формулы длины основ трапеции через боковые стороны и углы при нижнем основании:

$$a = b + c·cos \alpha + d·cos \beta, b = a - c·cos \alpha - d·cos \beta$$

---

Формулы боковых сторон трапеции через высоту и углы при нижнем основании:

$$с = \dfrac{h}{sin \alpha } , d = \dfrac{h}{sin \beta }$$

Формула определения длины средней линии через длины оснований:

$$m = \dfrac{a + b}{2}$$

---

Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

$$m = \dfrac{S}{h}$$

Формула высоты трапеции через сторону и прилегающий угол при основании:

$$h = c·sin α = d·sin β$$

---

Формула высоты трапеции через диагонали и углы между ними:

$$h = sin γ \cdot \dfrac{d_1\cdot d_2}{a + b} = sin δ \cdot \dfrac{d_1\cdot d_2}{a + b}$$

---

Формула высоты трапеции через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

$$h = sin γ \cdot \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2m 2m} = sin δ · \dfrac{d_1}{d_2}$$

---

Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

$$h = \dfrac{2S}{a + b}$$

---

Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

$$h = \dfrac{2S}{m}$$

Формулы длин диагоналей трапеции по теореме косинусов:

$$d_1 = \sqrt{a^2 + d^2 - 2ad·cos β}$$

$$d_2 = \sqrt{a^2 + c^2 - 2ac·cos β}$$

---

Формулы длин диагоналей трапеции через четыре стороны:

$$d_1 = \sqrt{d^2 + ab - \dfrac{a(d^2 - c^2)}{a - b} }$$

$$d_2 = \sqrt{c^2 + ab - \dfrac{ a(c^2 - d^2) }{a - b} }$$

---

Формулы длин диагоналей трапеции через высоту:

$$d_1 = \sqrt{h^2 + (a - h · ctg β)^2} = \sqrt { h^2 + (b + h · ctg α)^2}$$

$$d_2 = \sqrt{h^2 + (a - h · ctg α)^2} = \sqrt{h^2 + (b + h · ctg β)^2}$$

---

Формулы длин диагоналей трапеции через сумму квадратов диагоналей:

$$d_1 = \sqrt{c^2 + d^2 + 2ab - d_2^2}$$

$$d_2 = \sqrt{c^2 + d^2 + 2ab - d_1^2}$$

Формула площади трапеции через основания и высоту:

$$S = \dfrac{ (a + b) · h }{2}$$

---

Формула площади трапеции через среднюю линию и высоту:

$$S = m · h$$

---

Формула площади трапеции через диагонали и угол между ними:

$$S = \dfrac{d_1d_2}{2} · sin γ = \dfrac{d_1d_2}{2} · sin δ$$

---

Формула площади трапеции через четыре стороны:

$$S = \dfrac{a + b}{2}\sqrt{c^2 - \left\lgroup\dfrac{(a - b)^2 + c^2 - d^2)}{2\cdot (a - b)} \right\rgroup ^2 }$$

---

Формула Герона для площади трапеции

$$S = \frac{a + b}{\left|a-b\right| } \sqrt{(p - a)(p - b)(p - a - c)(p - a - d)}$$

где $p = \dfrac{a + b + c + d}{2}$ - полупериметр трапеции.