Параллелограмм
- Свойства параллелограмма
- 1. Противоположные стороны тождественны
- 2. Противоположные углы тождественны
- 3. Диагонали разделены пополам точкой пересечения
- Признаки параллелограмма
- 1. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны
- 2. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные стороны равны
- 3. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные углы равны
- 4. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого диагонали разделены точкой пересечения пополам
Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Площадь параллелограмма равна произведению его основания (a) на высоту (h). Также можно найте его площадь через две стороны и угол и через диагонали.
Разновидностями параллелограмма (частные случаи) являются квадрат, прямоугольник и ромб.
Свойства параллелограмма
Первым делом проведем диагональ . Получаются два треугольника: и .
Так как — параллелограмм, то справедливо следующее:
как лежащие накрест.
как лежащие накрест.
Следовательно, (по второму признаку: и — общая).
И, значит, , то и .
Согласно доказательству свойства 1 мы знаем, что . Таким образом сумма противоположных углов равна: . Учитывая, что получаем , .
По свойству 1 мы знаем, что противоположные стороны тождественны: . Еще раз отметим накрест лежащие равные углы.
Таким образом видно, что по второму признаку равенства треугольников (два угла и сторона между ними). То есть, (напротив углов и ) и (напротив углов и соответственно).
Признаки параллелограмма
Если лишь один признак в вашей задаче присутствует, то фигура является параллелограммом и можно использовать, все свойства данной фигуры.
Для лучшего запоминания, заметим, что признак параллелограмма будет отвечать на следующий вопрос — «как узнать?». То есть, как узнать, что заданная фигура это параллелограмм.
1. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны
; — параллелограмм.
Рассмотрим подробнее. Почему ?
по свойству 1: , как накрест лежащие при параллельных и и секущей .
Но если , то (лежат напротив ( и - накрест лежащие тоже равны).
Первый признак верен.
2. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные стороны равны
, — параллелограмм.
Рассмотрим данный признак. Еще раз проведем диагональ .
По свойству 1 .
Из этого следует, что: и , то есть — параллелограмм.
Второй признак верен.
3. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные углы равны
, — параллелограмм.
(поскольку , по условию).
Получается, . Но и являются внутренними односторонними при секущей .
И то, что говорит и о том, что .
При этом и — внутренние односторонние при секущей .
Третий признак верен.
4. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого диагонали разделены точкой пересечения пополам
; параллелограмм.
; , как вертикальные , , и .
Аналогично ; , , и .
Четвертый признак верен.