Параллелограмм

Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Площадь параллелограмма равна произведению его основания (a) на высоту (h). Также можно найте его площадь через две стороны и угол и через диагонали.

Разновидностями параллелограмма (частные случаи) являются квадрат, прямоугольник и ромб.

Параллелограмм

Свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны тождественны

Параллелограмм - Противоположные стороны тождественны

Первым делом проведем диагональ \( AC \). Получаются два треугольника: \( ABC \) и \( ADC \).

Так как \( ABCD \) — параллелограмм, то справедливо следующее:

\( AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 \) как лежащие накрест.

\( AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 \) как лежащие накрест.

Следовательно, \( \triangle ABC = \triangle ADC \) (по второму признаку: \( \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4 \) и \( AC \) — общая).

И, значит, \( \triangle ABC = \triangle ADC \), то \( AB = CD \) и \( AD = BC \).

2. Противоположные углы тождественны

Параллелограмм с тождественными противоположными углами

Согласно доказательству свойства 1 мы знаем, что \( \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4 \). Таким образом сумма противоположных углов равна: \( \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4 \). Учитывая, что \( \triangle ABC = \triangle ADC \) получаем \( \angle A = \angle C \), \( \angle B = \angle D \).

3. Диагонали разделены пополам точкой пересечения

Параллелограмм с двумя диагоналями и лежащими напротив углами

По свойству 1 мы знаем, что противоположные стороны тождественны: \( AB = CD \). Еще раз отметим накрест лежащие равные углы.

Таким образом видно, что \( \triangle AOB = \triangle COD \) по второму признаку равенства треугольников (два угла и сторона между ними). То есть, \( BO = OD \) (напротив углов \( \angle 2 \) и \( \angle 1 \)) и \( AO = OC \) (напротив углов \( \angle 3 \) и \( \angle 4 \) соответственно).

Признаки параллелограмма

Если лишь один признак в вашей задаче присутствует, то фигура является параллелограммом и можно использовать, все свойства данной фигуры.

Для лучшего запоминания, заметим, что признак параллелограмма будет отвечать на следующий вопрос — «как узнать?». То есть, как узнать, что заданная фигура это параллелограмм.

1. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны

\( AB = CD \); \( AB || CD \Rightarrow ABCD \) — параллелограмм.

Параллелограмм с параллельными сторонами и накрест лежащими углами

Рассмотрим подробнее. Почему \( AD || BC \)?

\( \triangle ABC = \triangle ADC \) по свойству 1: \( AB = CD \), \( \angle 1 = \angle 2 \) как накрест лежащие при параллельных \( AB \) и \( CD \) и секущей \( AC \).

Но если \( \triangle ABC = \triangle ADC \), то \( \angle 3 = \angle 4 \) (лежат напротив \( AD || BC \) (\( \angle 3 \) и \( \angle 4 \) - накрест лежащие тоже равны).

Первый признак верен.

2. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные стороны равны

\( AB = CD \), \( AD = BC \Rightarrow ABCD \) — параллелограмм.

Параллелограмм с параллельными сторонами и накрест лежащими углами

Рассмотрим данный признак. Еще раз проведем диагональ \( AC \).

По свойству 1 \( \triangle ABC = \triangle ACD \).

Из этого следует, что: \( \angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC \) и \( \angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD \), то есть \( ABCD \) — параллелограмм.

Второй признак верен.

3. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные углы равны

\( \angle A = \angle C \), \( \angle B = \angle D \Rightarrow ABCD \) — параллелограмм.

Параллелограмм с отмеченными равными противоположными углами

\( 2 \alpha + 2 \beta = 360^{\circ} \) (поскольку \( \angle A = \angle C \), \( \angle B = \angle D \) по условию).

Получается, \( \alpha + \beta = 180^{\circ} \). Но \( \alpha \) и \( \beta \) являются внутренними односторонними при секущей \( AB \).

И то, что \( \alpha + \beta = 180^{\circ} \) говорит и о том, что \( AD || BC \).

При этом \( \alpha \) и \( \beta \) — внутренние односторонние при секущей \( AB || CD \).

Третий признак верен.

4. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого диагонали разделены точкой пересечения пополам

\( AO = OC \); \( BO = OD \Rightarrow \) параллелограмм.

Параллелограмм с диагоналями и обозначенными сторонами и углами

\( BO = OD \); \( AO = OC \), \( \angle 1 = \angle 2 \) как вертикальные \( \Rightarrow \triangle AOB = \triangle COD \), \( \Rightarrow \angle 3 = \angle 4 \), и \( \Rightarrow AB || CD \).

Аналогично \( BO = OD \); \( AO = OC \), \( \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8 \), и \( \Rightarrow AD || BC \).

Четвертый признак верен.

Источник

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

50 000авторов
от 100 р.стоимость заказа
2 часамин. срок
Узнать стоимость

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме:

  • Трапеция
    Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две стороны не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, две другие — боковыми сторонами.
  • Треугольник
    Треугольник — многоугольник, образованный тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.
  • Квадрат
    Квадрат — это правильный четырёхугольник. У него все стороны и углы равны между собой.
  • Прямоугольник
    Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).
  • Ромб
    Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
  • Четырёхугольник
    Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.
  • Гексагон
    Правильный шестиугольник (гексагон) — многоугольник с шестью равными сторонами.
  • Круг и окружность
    Круг — геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной заданной точки, называемой центром круга.

Интересные статьи: