Параллелограмм

Первым делом проведем диагональ $AC$. Получаются два треугольника: $ABC$ и $ADC$.

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то справедливо следующее:

$AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2$ как лежащие накрест.

$AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4$ как лежащие накрест.

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle ADC$ (по второму признаку: $\angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4$ и $AC$ — общая).

И, значит, $\triangle ABC = \triangle ADC$, то $AB = CD$ и $AD = BC$.

Согласно доказательству свойства 1 мы знаем, что $\angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4$. Таким образом сумма противоположных углов равна: $\angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4$. Учитывая, что $\triangle ABC = \triangle ADC$ получаем $\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$.

По свойству 1 мы знаем, что противоположные стороны тождественны: $AB = CD$. Еще раз отметим накрест лежащие равные углы.

Таким образом видно, что $\triangle AOB = \triangle COD$ по второму признаку равенства треугольников (два угла и сторона между ними). То есть, $BO = OD$ (напротив углов $\angle 2$ и $\angle 1$) и $AO = OC$ (напротив углов $\angle 3$ и $\angle 4$ соответственно).

Рассмотрим подробнее. Почему $AD || BC$?

$\triangle ABC = \triangle ADC$ по свойству 1: $AB = CD$, $\angle 1 = \angle 2$ как накрест лежащие при параллельных $AB$ и $CD$ и секущей $AC$.

Но если $\triangle ABC = \triangle ADC$, то $\angle 3 = \angle 4$ (лежат напротив $AD || BC$ ($\angle 3$ и $\angle 4$ - накрест лежащие тоже равны).

Первый признак верен.

Рассмотрим данный признак. Еще раз проведем диагональ $AC$.

По свойству 1 $\triangle ABC = \triangle ACD$.

Из этого следует, что: $\angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC$ и $\angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD$, то есть $ABCD$ — параллелограмм.

Второй признак верен.

$2 \alpha + 2 \beta = 360^{\circ}$ (поскольку $\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$ по условию).

Получается, $\alpha + \beta = 180^{\circ}$. Но $\alpha$ и $\beta$ являются внутренними односторонними при секущей $AB$.

И то, что $\alpha + \beta = 180^{\circ}$ говорит и о том, что $AD || BC$.

При этом $\alpha$ и $\beta$ — внутренние односторонние при секущей $AB || CD$.

Третий признак верен.

$BO = OD$; $AO = OC$, $\angle 1 = \angle 2$ как вертикальные $\Rightarrow \triangle AOB = \triangle COD$, $\Rightarrow \angle 3 = \angle 4$, и $\Rightarrow AB || CD$.

Аналогично $BO = OD$; $AO = OC$, $\angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8$, и $\Rightarrow AD || BC$.

Четвертый признак верен.