Параллелограмм

Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Площадь параллелограмма равна произведению его основания (a) на высоту (h). Также можно найте его площадь через две стороны и угол и через диагонали.

Разновидностями параллелограмма (частные случаи) являются квадрат, прямоугольник и ромб.

Параллелограмм

Свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны тождественны

Параллелограмм - Противоположные стороны тождественны

Первым делом проведем диагональ . Получаются два треугольника: и .

Так как  — параллелограмм, то справедливо следующее:

как лежащие накрест.

как лежащие накрест.

Следовательно, (по второму признаку: и  — общая).

И, значит, , то и .

2. Противоположные углы тождественны

Параллелограмм с тождественными противоположными углами

Согласно доказательству свойства 1 мы знаем, что . Таким образом сумма противоположных углов равна: . Учитывая, что получаем , .

3. Диагонали разделены пополам точкой пересечения

Параллелограмм с двумя диагоналями и лежащими напротив углами

По свойству 1 мы знаем, что противоположные стороны тождественны: . Еще раз отметим накрест лежащие равные углы.

Таким образом видно, что по второму признаку равенства треугольников (два угла и сторона между ними). То есть, (напротив углов и ) и (напротив углов и соответственно).

Признаки параллелограмма

Если лишь один признак в вашей задаче присутствует, то фигура является параллелограммом и можно использовать, все свойства данной фигуры.

Для лучшего запоминания, заметим, что признак параллелограмма будет отвечать на следующий вопрос — «как узнать?». То есть, как узнать, что заданная фигура это параллелограмм.

1. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны

; — параллелограмм.

Параллелограмм с параллельными сторонами и накрест лежащими углами

Рассмотрим подробнее. Почему ?

по свойству 1: , как накрест лежащие при параллельных  и  и секущей .

Но если , то (лежат напротив  ( и - накрест лежащие тоже равны).

Первый признак верен.

2. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные стороны равны

, — параллелограмм.

Параллелограмм с параллельными сторонами и накрест лежащими углами

Рассмотрим данный признак. Еще раз проведем диагональ .

По свойству 1 .

Из этого следует, что: и , то есть  — параллелограмм.

Второй признак верен.

3. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные углы равны

, — параллелограмм.

Параллелограмм с отмеченными равными противоположными углами

(поскольку , по условию).

Получается, . Но и являются внутренними односторонними при секущей .

И то, что говорит и о том, что .

При этом и — внутренние односторонние при секущей .

Третий признак верен.

4. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого диагонали разделены точкой пересечения пополам

; параллелограмм.

Параллелограмм с диагоналями и обозначенными сторонами и углами

; , как вертикальные , , и .

Аналогично ; , , и .

Четвертый признак верен.

Источник

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме
Интересные статьи