Работа, которую необходимо совершить, чтобы перенести заряд из точки с потенциалом \( \displaystyle{\varphi_1} \) в точку с потенциалом \( \displaystyle{\varphi_2} \) , равна изменению потенциальной энергии точечного заряда, взятому с обратным знаком:
\( \begin{equation} A=-\Delta W_n\,. \end{equation} \)
Известно, что \( \displaystyle{A=-q(\varphi_2-\varphi_1) } \) или
\( \begin{equation} A=q(\varphi_1-\varphi_2) \,. \end{equation} \)
Поскольку точечный заряд первоначально находится на бесконечности, то потенциал в этой точке поля равен 0: \( \displaystyle{\varphi_1=0} \) .
Определим потенциал в конечной точке, то есть \( \displaystyle{\varphi_2} \) .
Пусть \( \displaystyle{Q_{\text{ш}}} \) — заряд шарика. По условию задачи потенциал шарика известен (\( \displaystyle{\varphi_{\text{ш}}=200\,{\text{В}}} \) ) , тогда:
\( \begin{equation} \varphi_{\text{ш}}={Q_{\text{ш}}\over 4\pi\varepsilon_o\varepsilon R}\,, \end{equation} \)
\( \begin{equation} {\text{откуда}}\quad Q_{\text{ш}}=\varphi_{\text{ш}}\cdot 4\pi\varepsilon_o\varepsilon R\,. \end{equation} \)
Значение потенциала поля в конечной точке с учетом :
\( \begin{equation} \varphi_2={Q_{\text{ш}}\over 4\pi\varepsilon_o\varepsilon(R+\ell) }= {\varphi_{\text{ш}}R\over (R+\ell) }\,. \end{equation} \)
Подставим в выражение значение \( \displaystyle{\varphi_1} \) и \( \displaystyle{\varphi_2} \) , после чего получим искомую работу:
\( \begin{equation} A=-q{\varphi_{\text{ш}}R\over (R+\ell) }\,. \end{equation} \)
В результате расчетов получим: \( \displaystyle{A=-2\cdot 10^{-7}\,{\text{Дж}}} \) .
Знак "\( \displaystyle{-} \) " показывает, что работа производится против сил электростатического поля, при этом энергия заряда увеличивается.