\( \displaystyle{m=0,1\,{\text{г}}=10^{-4}\,{\text{кг}}} \)
\( \displaystyle{\ell=1\,{\text{м}}} \)
\( \displaystyle{r=9\,{\text{см}}=9\cdot 10^{-2}\,{\text{м}}} \)
\( \displaystyle{\varepsilon = 1} \)
\( \displaystyle{q} - ? \)
Поскольку шарики одинаковы, то на каждый шарик действуют одинаковые силы: сила тяжести \( \displaystyle{m \vec g} \), сила натяжения нити \( \displaystyle{\vec T} \)и сила кулоновского взаимодействия (отталкивания) \( \displaystyle{\vec F} \). На рисунке показаны силы, действующие на один из шариков. Поскольку шарик находится в равновесии, сумма всех сил, действующих на него, равна 0. Кроме того, сумма проекций сил на оси \( \displaystyle{OX} \) и \( \displaystyle{OY} \)равна 0:
\( \begin{equation} {{\mbox{на ось }} {OX} : \atop { \mbox{ на ось }} {OY} : }\quad \left\{\begin{array}{ll} F-T\sin{\alpha} & =0 \\ T\cos{\alpha}-mg & =0 \end{array}\right. \quad{\text{или}}\quad \left\{\begin{array}{ll} T\sin{\alpha} & =F \\ T\cos{\alpha} & = mg \end{array}\right. \end{equation} \)
Решим совместно эти уравнения. Разделив первое равенство почленно на второе, получим:
\( \begin{equation} {\mbox{tg}\,}= {F\over mg}\,. \end{equation} \)
Так как угол \( \displaystyle{\alpha} \) мал, то
\( \begin{equation} {\mbox{tg}\,}\approx\sin{\alpha}={r\over 2\ell}\,. \end{equation} \)
Тогда выражение примет вид:
\( \begin{equation} {r\over 2\ell}={F\over mg}\,. \end{equation} \)
Сила \( \displaystyle{F} \)по закону Кулона равна: \( \displaystyle{F=k{q^2\over\varepsilon r^2}} \). Подставим значение \( \displaystyle{F} \)в выражение (52):
\( \begin{equation} {r\over 2\ell}={kq^2\over\varepsilon r^2 mg}\,, \end{equation} \)
откуда выразим в общем виде искомый заряд:
\( \begin{equation} q=r\sqrt{r\varepsilon mg\over 2k\ell}\,. \end{equation} \)
После подстановки численных значений будем иметь:
\( \begin{equation} q= 9\cdot 10^{-2}\sqrt{9\cdot 10^{-2}\cdot 1 \cdot 10^{-4}\cdot 9,8\over 2\cdot 9\cdot 10^9\cdot 1}\, {{\text{Кл}}}=6.36\cdot 10^{-9}\, {{\text{Кл}}}\,. \end{equation} \)
Предлагается самостоятельно проверить размерность для расчетной формулы .
Ответ: \( \displaystyle{q=6,36\cdot 10^{-9}\,{\text{Кл}}\,.} \)
\( \displaystyle{q=6,36\cdot 10^{-9}\,{\text{Кл}}\,.} \)