Тригонометрия

Рис.14 Будем считать, что оси бревна и балки совпадают. Усеченный конус и вписанный в него параллелепипед схематически показаны в разрезе на рисунке $14.$ Объем параллелепипеда определяется формулой $$V = {x^2}y,$$ где $x$ − сторона квадрата в основании параллелепипеда, а $y$ − его высота.

Рассматривая подобные треугольники $CBR$ и $CKM,$ можно записать следующую пропорцию: $${\frac{{MK}}{{AB}} = \frac{{MC}}{{AC}},}\;\; {\Rightarrow \frac{y}{H} = \frac{{R - \frac{x}{2}}}{{R - r}}.}$$ Отсюда находим высоту $y:$ $$y = \frac{{H\left( {R - \frac{x}{2}} \right)}}{{R - r}}.$$ Запишем объем $V$ как функцию $x:$ $${V = V\left( x \right) } = {{x^2}y = \frac{{{x^2}H\left( {R - \frac{x}{2}} \right)}}{{R - r}} } = {\frac{H}{{R - r}}\left( {R{x^2} - \frac{{{x^3}}}{2}} \right).}$$ Производная имеет вид: $${V'\left( x \right) } = {{\left[ {\frac{H}{{R - r}}\left( {R{x^2} - \frac{{{x^3}}}{2}} \right)} \right]^\prime } } = {\frac{H}{{R - r}}\left( {2Rx - \frac{{3{x^2}}}{2}} \right) } = {\frac{{Hx}}{{R - r}}\left( {2R - \frac{{3x}}{2}} \right).}$$ Находим стационарную точку: $${V'\left( x \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \frac{{Hx}}{{R - r}}\left( {2R - \frac{{3x}}{2}} \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow 2R - \frac{{3x}}{2} = 0,}\;\; {\Rightarrow x = \frac{{4R}}{3}.}$$ Слева от данной точки производная положительна, а справа − отрицательна. Следовательно, найденная точка является точкой максимума функции $V\left( x \right).$ В таком случае высота параллелепипеда составляет $${y = \frac{{H\left( {R - \frac{x}{2}} \right)}}{{R - r}} } = {\frac{{H\left( {R - \frac{{4R}}{6}} \right)}}{{R - r}} } = {\frac{{HR\left( {1 - \frac{2}{3}} \right)}}{{R - r}} } = {\frac{{HR}}{{3\left( {R - r} \right)}}.}$$ Итак параллелепипед, вписанный в усеченный конус, имеет наибольший объем, если его стороны равны $$x = \frac{{4R}}{3},\;\;\;y = \frac{{HR}}{{3\left( {R - r} \right)}}.$$