Тригонометрия

Рис.5 Пусть положение бревна описывается углом \(\alpha,\) как показано на рисунке \(5.\) Максимально возможная длина бревна \(L\) зависит от угла \(\alpha:\) \[ {L = \left| {AO} \right| + \left| {OB} \right| } = {\frac{a}{{\sin \alpha }} + \frac{a}{{\cos\alpha }} } = {L\left( \alpha \right).} \] Отметим два предельных положения: \[ {\alpha \to 0,}\;\; {\Rightarrow \sin \alpha \to 0,}\;\; {\Rightarrow \left| {AO} \right| \to \infty ;} \] \[ {\alpha \to \frac{\pi }{2},}\;\; {\Rightarrow \cos \alpha \to 0,}\;\; {\Rightarrow \left| {OB} \right| \to \infty .} \] Таким образом, угол \(\alpha\) изменяется в интервале \(0 < \alpha < \large\frac{\pi }{2}\normalsize.\)

Находим производную функции \(L\left( \alpha \right):\) \[ {L'\left( \alpha \right) = \left( { - \frac{a}{{{{\sin }^2}\alpha }}} \right) \cdot \cos \alpha - \frac{b}{{{{\cos }^2}\alpha }} \cdot \left( { - \sin \alpha } \right) } = {\frac{{b\sin \alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} - \frac{{a\cos \alpha }}{{{\sin^2}\alpha }} } = {\frac{{b\,{{\sin }^3}\alpha - a\,{{\cos }^3}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha \,{{\sin }^2}\alpha }} } = {\frac{{4\left( {b\,{{\sin }^3}\alpha - a\,{{\cos }^3}\alpha } \right)}}{{{{\sin }^2}\left( {2\alpha } \right)}}.} \] Приравнивая ее нулю, получаем следующее решение: \[ {L'\left( \alpha \right) = 0,}\;\; {\Rightarrow \frac{{4\left( {b\,{{\sin }^3}\alpha - a\,{{\cos }^3}\alpha } \right)}}{{{{\sin }^2}\left( {2\alpha } \right)}} = 0,}\;\; {\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {b\,{{\sin }^3}\alpha - a\,{{\cos }^3}\alpha = 0}\\ {{{\sin }^2}\left( {2\alpha } \right) \ne 0} \end{array}} \right.,}\;\; {\Rightarrow b\,{\tan ^3}\alpha - a = 0,}\;\; {\Rightarrow \tan \alpha = \sqrt[\large 3\normalsize]{{\frac{a}{b}}}.} \] Можно убедиться, что при переходе через данное критическое значение \(\alpha\) производная меняет знак с минуса на плюс, т.е. найденная точка является точкой минимума функции \(L\left( \alpha \right).\) (Ясно, что длина бревна должна быть меньше указанного значения, чтобы осуществить поворот из одного канала в другой.)

Выразим синус и косинус угла \(\alpha\) через его тангенс: \[ {1 + {\cot^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }},}\;\; {\Rightarrow \sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt {1 + {{\cot }^2}\alpha } }} } = {\frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{{\tan }^2}\alpha }}} }} } = {\frac{{\tan \alpha }}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}\alpha } }};} \] \[ {1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{\cos^2}\alpha }},}\;\; {\Rightarrow \cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}\alpha } }}.} \] Теперь можно записать окончательное выражение для максимально возможной длины бревна: \[ {{L_{\max }} = \frac{a}{{\sin \alpha }} + \frac{b}{{\cos\alpha }} } = {\frac{a}{{\frac{{\tan \alpha }}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}\alpha } }}}} + \frac{b}{{\frac{1}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}\alpha } }}}} } = {\sqrt {1 + {{\tan }^2}\alpha } \left( {\frac{a}{{\tan \alpha }} + b} \right) } = {\sqrt {1 + \sqrt[\large 3\normalsize]{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^2}}}} \left( {\frac{a}{{\sqrt[\large 3\normalsize]{{\frac{a}{b}}}}} + b} \right) } = {\sqrt {1 + \frac{{{a^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}}{{{b^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}}}} \left( {{b^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}{a^{\large\frac{1}{3}\normalsize}} + b} \right) } = {\frac{{\sqrt {{a^{\large\frac{2}{3}\normalsize}} + {b^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}} }}{{{b^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}}} \cdot {b^{\large\frac{1}{3}\normalsize}}\left( {{a^{\large\frac{2}{3}\normalsize}} + {b^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}} \right) } = {{\left( {{a^{\large\frac{2}{3}\normalsize}} + {b^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}} \right)^{\large\frac{3}{2}\normalsize}}.} \] В частном случае, при равной ширине каналов (когда \(a = b\)), получаем: \[ {{L_{\max }} = \sqrt {{{\left( {2{a^{\large\frac{2}{3}\normalsize}}} \right)}^3}} } = {\sqrt {8{a^2}} = a\sqrt 8 .} \]