Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами — это уравнения вида

\[y'' + py' + qy = f(x)\]

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами можно записать как сумму

\[y = {y_o} + Y,\]

где \({y_o}\) - это общее решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами

\[y'' + py' + qy = 0,\]

Y- частное решение ЛНДУ.

В некоторых специальных случаях частное решение ЛНДУ может быть найдено методом неопределенных коэффициентов, в общем случае используют метод вариации произвольных постоянных. В данном пункте мы рассмотрим неоднородные дифференциальные уравнения с правой частью специального вида и применим метод неопределенных коэффициентов, а метод вариации произвольных постоянных будет изложен позже.

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка ищем в зависимости от вида правой части, то есть от функции f(x).

I.

\[f(x) = {e^{ax}}{P_n}(x)\]

где \({P_n}(x)\) — многочлен степени n.

Ia. Если a не является корнем характеристического уравнения, то есть

\[a \ne {k_1},a \ne {k_2},\]

то частное решение ЛНДУ ищем в виде

\[Y = {e^{ax}}{Q_n}(x),\]

где \({Q_n}(x)\) — многочлен степени n с постоянными коэффициентами.

(Подробно. Это значит, что если степень Р равна 0 (то есть f(x) — произведение е в какой-либо степени и некоторого числа, либо f(x) — только число (в этом случае степень e равна нулю)), то и Q — многочлен нулевой степени, то есть число. В этом случае Q=A. А — неопределенный коэффициент, который будем искать.

Если степень P равна 1 (то есть, f(x) равна произведению е в какой-либо степени и mx, где m — некоторое число, либо f(x) — только mx (если e в нулевой степени)), то и Q — многочлен первой степени, значит, его будем искать в виде Q=Ax+B, где A и B — неопределенные коэффициенты.

Если степень P — вторая (то есть, f(x) есть произведение e в какой-либо степени и mx², или f(x) — только mx² (если e в нулевой степени)), то и Q — многочлен второй степени, его будем искать в виде Q=Ax²+Bx+C, где A,B,C — неопределенные коэффициенты. И т.п.)

Iб. Если a — один из корней характеристического уравнения, то если верно только одно из равенств

\[a = {k_1},a = {k_2},\]

, то частное решение ЛНДУ ищем в виде

\[Y = x{e^{ax}}{Q_n}(x).\]

Iв. Если a — кратный корень характеристического уравнения, то есть

\[a = {k_1} = {k_2},\]

(например, при дискриминанте, равном 0), то частное решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка в этом случае есть

\[Y = {x^2}{e^{ax}}{Q_n}(x).\]

II.

\[f(x) = {e^{ax}}[{P_n}(x)\cos bx + {Q_m}(x)\sin bx].\]

IIa. Если a+bi не является корнем характеристического уравнения, то есть

\[a \pm bi \ne \alpha \pm \beta i,\]

то частное решение неоднородного дифференциального уравнения ищем как

\[Y = {e^{ax}}[{S_N}(x)\cos bx + {T_N}(x)\sin bx],\]

где \({S_N}(x),{T_N}(x) - \) многочлены степени N, N — больная из степеней n и m.

IIб. Если a+bi является корнем характеристического уравнения, то есть

\[a \pm bi = \alpha \pm \beta i,\]

то для этого случая частное решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ищем в виде

\[Y = x{e^{ax}}[{S_N}(x)\cos bx + {T_N}(x)\sin bx].\]

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме:

Интересные статьи: