• Главная
• Справочник
• Алгебра
• Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами — это уравнения вида

$y'' + py' + qy = f(x)$

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами можно записать как сумму

$y = {y_o} + Y,$

где ${y_o}$ - это общее решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами

$y'' + py' + qy = 0,$

Y- частное решение ЛНДУ.

В некоторых специальных случаях частное решение ЛНДУ может быть найдено методом неопределенных коэффициентов, в общем случае используют метод вариации произвольных постоянных. В данном пункте мы рассмотрим неоднородные дифференциальные уравнения с правой частью специального вида и применим метод неопределенных коэффициентов, а метод вариации произвольных постоянных будет изложен позже.

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка ищем в зависимости от вида правой части, то есть от функции f(x).

I

$f(x) = {e^{ax}}{P_n}(x)$

где ${P_n}(x)$ — многочлен степени n.

Ia. Если a не является корнем характеристического уравнения, то есть

$a \ne {k_1},a \ne {k_2},$

то частное решение ЛНДУ ищем в виде

$Y = {e^{ax}}{Q_n}(x),$

где ${Q_n}(x)$ — многочлен степени n с постоянными коэффициентами.

(Подробно. Это значит, что если степень Р равна 0 (то есть f(x) — произведение е в какой-либо степени и некоторого числа, либо f(x) — только число (в этом случае степень e равна нулю)), то и Q — многочлен нулевой степени, то есть число. В этом случае Q=A. А — неопределенный коэффициент, который будем искать.

Если степень P равна 1 (то есть, f(x) равна произведению е в какой-либо степени и mx, где m — некоторое число, либо f(x) — только mx (если e в нулевой степени)), то и Q — многочлен первой степени, значит, его будем искать в виде Q=Ax+B, где A и B — неопределенные коэффициенты.

Если степень P — вторая (то есть, f(x) есть произведение e в какой-либо степени и mx², или f(x) — только mx² (если e в нулевой степени)), то и Q — многочлен второй степени, его будем искать в виде Q=Ax²+Bx+C, где A,B,C — неопределенные коэффициенты. И т.п.)

Iб. Если a — один из корней характеристического уравнения, то если верно только одно из равенств

$a = {k_1},a = {k_2},$

, то частное решение ЛНДУ ищем в виде

$Y = x{e^{ax}}{Q_n}(x).$

Iв. Если a — кратный корень характеристического уравнения, то есть

$a = {k_1} = {k_2},$

(например, при дискриминанте, равном 0), то частное решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка в этом случае есть

$Y = {x^2}{e^{ax}}{Q_n}(x).$

II

$f(x) = {e^{ax}}[{P_n}(x)\cos bx + {Q_m}(x)\sin bx].$

IIa. Если a+bi не является корнем характеристического уравнения, то есть

$a \pm bi \ne \alpha \pm \beta i,$

то частное решение неоднородного дифференциального уравнения ищем как

$Y = {e^{ax}}[{S_N}(x)\cos bx + {T_N}(x)\sin bx],$

где ${S_N}(x),{T_N}(x) -$ многочлены степени N, N — больная из степеней n и m.

IIб. Если a+bi является корнем характеристического уравнения, то есть

$a \pm bi = \alpha \pm \beta i,$

то для этого случая частное решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ищем в виде

$Y = x{e^{ax}}[{S_N}(x)\cos bx + {T_N}(x)\sin bx].$