• Главная
• Справочник
• Алгебра
• Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеют вид

$y'' + py' + q = 0,$

где p и q — действительные числа. Рассмотрим на примерах, как решаются однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решение линейного однородного однородного дифференциального уравнения второго порядка зависит от корней характеристического уравнения. Характеристическое уравнение — это уравнение k²+pk+q=0.

1) Если корни характеристического уравнения — различные действительные числа:

${k_1} \in R,{k_2} \in R,{k_1} \ne {k_2},$

то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

$y = {C_1}{e^{{k_1}x}} + {C_2}{e^{{k_2}x}}$

2) Если корни характеристического уравнения — равные действительные числа

${k_1} \in R,{k_2} \in R,{k_1} = {k_2}$

(например, при дискриминанте, равном нулю), то общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка есть

$y = {e^{{k_1}x}}({C_1} + {C_2}x)$

3) Если корни характеристического уравнения — комплексные числа

${k_{1,2}} = \alpha \pm \beta i$

(например, при дискриминанте, равном отрицательному числу), то общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка записывается в виде

$y = {e^{\alpha x}}({C_1}\cos \beta x + {C_2}\sin \beta x).$