Формулы сокращенного умножения

Алгебра

Формулы сокращенного умножения применяются для преобразования выражений. Тождества используются для представления целого выражения в виде многочлена и разложения многочленов на множители.

1 Квадрат суммы (a + b)² = a² + 2ab + b²
2 Квадрат разности (a - b)² = a² - 2ab + b²
3 Разность квадратов a² - b² = (a - b)(a + b)
4 Куб суммы (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b²
5 Куб разности (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b²
6 Сумма кубов a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
7 Разность кубов a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

Формулы для квадратов

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

Формулы для кубов

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Формулы для четвертой степени

$(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$

$(a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$

$a^4 - b^4 = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)$ ;
следует из $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ .

Формулы сокращенного умножения

1. Квадрат суммы

$\displaystyle{ (a+b)^2 }$ $\displaystyle{ = a^2 + 2ab +b^2 }$

$\displaystyle{ (a+b+c)^2 }$ $\displaystyle{ = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc }$

$\displaystyle{ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 }$ $\displaystyle{ = a + 2 \sqrt{ab} + b }$ $\displaystyle{ = a+b+2\sqrt{ab} }$

2. Квадрат разности
$\displaystyle{ (a-b)^2 }$ $\displaystyle{ = a^2 - 2ab +b^2 }$

$\displaystyle{ (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 }$ $\displaystyle{ = a - 2 \sqrt{ab} + b }$ $\displaystyle{ = a+b-2\sqrt{ab} }$

3. Сумма и разность квадратов
$\displaystyle{ a^2+b^2 }$ $\displaystyle{ = (a+b)^2 - 2ab = (a-b)^2 + 2ab }$

$\displaystyle{ a^2-b^2 }$ $\displaystyle{ = (a-b) \cdot (a+b)}$

4. Сумма в третьей степени (куб суммы)
$\displaystyle{ (a+b)^3 }$ $\displaystyle{ = a^3 +3a^2b+3ab^2+b^3 = a^3+b^3+3ab \cdot (a+b) }$ $\displaystyle{ = a^3+b^3+3ab \cdot (a+b) }$

$\displaystyle{ (a+b+c)^3 }$ $\displaystyle{ = a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3a^2c }$ $\displaystyle{ + 3ab^2 + 3ac^2 +3b^2c + 3bc^2 +6abc }$

$\displaystyle{ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^3 }$ $\displaystyle{ = a\sqrt{a} + 3a\sqrt{b} + 3b\sqrt{a} + b\sqrt{b} }$ $\displaystyle{ = (a\sqrt{a} +b\sqrt{b}) + 3\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) }$

5. Разность в третьей степени (куб разности)
$\displaystyle{ (a-b)^3 }$ $\displaystyle{ = a^3 - 3a^2b+3ab^2 - b^3 }$ $\displaystyle{ = a^3-b^3-3ab \cdot (a-b) }$

$\displaystyle{ (\sqrt{a} - \sqrt{b})^3 }$ $\displaystyle{ = a\sqrt{a} - 3a\sqrt{b} + 3b\sqrt{a} - b\sqrt{b} }$ $\displaystyle{ = (a\sqrt{a} - b\sqrt{b}) - 3\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b}) }$

6. Сумма и разность кубов
$\displaystyle{ a^3 + b^3 }$ $\displaystyle{ = (a+b) \cdot (a^2-ab+b^2) }$

$\displaystyle{ a^3 - b^3 }$ $\displaystyle{= (a-b) \cdot (a^2+ab+b^2) }$

7. Формулы сокращенного умножения для четвертой степени
$\displaystyle{ (a+b)^4 }$ $\displaystyle{ = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 }$

$\displaystyle{ (a-b)^4 }$ $\displaystyle{ = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4 }$

$\displaystyle{ a^4+b^4 }$ $\displaystyle{ = (a^2- \sqrt{2} \cdot ab + b^2) \cdot (a^2 + \sqrt{2} \cdot ab + b^2) }$

$\displaystyle{ a^4-b^4 }$ $\displaystyle{ = (a^2-b^2) \cdot (a^2+b^2) }$ $\displaystyle{ = (a-b) \cdot (a+b) \cdot (a^2+b^2) }$

8. Формулы сокращенного умножения для пятой степени
$\displaystyle{ (a+b)^5 }$ $\displaystyle{ = a^5+5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5 }$

$\displaystyle{ (a-b)^5 }$ $\displaystyle{ = a^5-5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5 }$

$\displaystyle{ a^5+b^5 }$ $\displaystyle{ = (a+b) \cdot (a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4) }$

$\displaystyle{ a^5-b^5 }$ $\displaystyle{ = (a-b) \cdot (a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) }$

9. Формулы сокращенного умножения для шестой степени
$\displaystyle{ (a+b)^6 }$ $\displaystyle{ = a^6 + 6a^5b +15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15 a^2b^4 + 6ab^5 + b^5 }$

$\displaystyle{ (a-b)^6 }$ $\displaystyle{ = a^6 - 6a^5b +15a^4b^2 - 20a^3b^3 + 15 a^2b^4 - 6ab^5 + b^5 }$

$\displaystyle{ a^6-b^6 }$ $\displaystyle{ = (a+b)(a^5 - a^4b + a^3b^2 - a^2b^3 + ab^4 - b^5) }$ $\displaystyle{ = (a+b)(a-b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2) }$

10. Формулы сокращенного умножения для степени n, где n - любое натуральное число
$\displaystyle{ (a+b)^n}$ $\displaystyle{ = (a+b)^{n-1} \cdot (a+b) }$

$\displaystyle{ a^n-b^n }$ $\displaystyle{ = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + … + ab^{n-2} + b^{n-1}) }$

11. Формулы сокращенного умножения для степени n, где n - четное положительное число
$\displaystyle{ a^n-b^n }$ $\displaystyle{ = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + … + ab^{n-2} - b^{n-1}) }$

12. Формулы сокращенного умножения для степени n, где n - нечетное положительное число
$\displaystyle{ a^n+b^n}$ $\displaystyle{ = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + … - ab^{n-2} + b^{n-1}) }$

13. Некоторые свойства формул
$\displaystyle{ (a-b)^{2n} }$ $\displaystyle{ = (b-a)^{2n} }$

$\displaystyle{ (a-b)^{2n+1} }$ $\displaystyle{ = -(b-a)^{2n+1} }$

$\displaystyle{ (a-b)^2 = (b-a)^2 }$

$\displaystyle{ (a+b)^2 \ne a^2 + b^2 }$

Преобразуйте выражение в многочлен (10 + 8k)²

Пример 1

Разложим выражение на множители с помощью формулы квадрата суммы:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(10 + 8k)² = 10² + 2×10×(8k) + (8k)² = 100 + 160k + 64k²

Выполните умножение (5y - y²)(5y + y²)

Пример 2

Разложим выражение на множители с помощью формулы разности квадратов:

(a² - b²) = (a - b)(a + b)

(5y - y²)(5y + y²) = 25y² - y⁴

Алгебра Математика Формулы

Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения

Формулы для квадратов

Формулы для кубов

Формулы для четвертой степени

Формулы сокращенного умножения

Преобразуйте выражение в многочлен `(10 + 8k)²`

Выполните умножение `(5y - y²)(5y + y²)`

Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения

Формулы для квадратов

Формулы для кубов

Формулы для четвертой степени

Формулы сокращенного умножения

Преобразуйте выражение в многочлен (10 + 8k) 2

Выполните умножение (5y - y 2 )(5y + y 2 )

Преобразуйте выражение в многочлен `(10 + 8k)²`

Выполните умножение `(5y - y²)(5y + y²)`