Целые числа
К целым числам относятся натуральные числа, ноль, а также числа, противоположные натуральным.
Натуральные числа — это положительные целые числа.
Латинской буквой \( \mathbb{Z} \) обозначается множество целых чисел.
К примеру: 1, 3, 7, 19, 23 и т.д. Такие числа мы используем для подсчета (на столе лежит 5 яблок, у машины 4 колеса и др.)
Латинской буквой \( \mathbb{N} \) — обозначается множество натуральных чисел.
К натуральным числам нельзя отнести отрицательные (у стула не может быть отрицательное количество ножек) и дробные числа (Иван не мог продать 3,5 велосипеда).
Числами, противоположными натуральным, являются отрицательные целые числа: −8, −148, −981, … .
Арифметические действия с целыми числами
Что можно делать с целыми числами? Их можно перемножать, складывать и вычитать друг из друга. Разберем каждую операцию на конкретном примере.
Сложение целых чисел
Два целых числа с одинаковыми знаками складываются следующим образом: производится сложение модулей этих чисел и перед полученной суммой ставится итоговый знак:
\( (+11) + (+9) = +20 \)
Вычитание целых чисел
Два целых числа с разными знаками складываются следующим образом: из модуля большего числа вычитается модуль меньшего и перед полученным ответом ставят знак большего по модулю числа:
\( (-7) + (+8) = +1 \)
Умножение целых чисел
Чтобы умножить одно целое число на другое нужно выполнить перемножение модулей этих чисел и поставить перед полученным ответом знак «+», если исходные числа были с одинаковыми знаками, и знак «−», если исходные числа были с разными знаками:
\( (-5) \cdot (+3) = -15 \)
\( (-3) \cdot (-4) = +12 \)
Следует запомнить следующее правило перемножения целых чисел:
\( + \cdot + = + \)
\( + \cdot - = - \)
\( - \cdot + = - \)
\( - \cdot - = + \)
Существует правило перемножения нескольких целых чисел. Запомним его:
Знак произведения будет «+», если количество множителей с отрицательным знаком четное и «−», если количество множителей с отрицательным знаком нечетное.
\( (-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120 \)
Деление целых чисел
Деление двух целых чисел производится следующим образом: модуль одного числа делят на модуль другого и если знаки чисел одинаковые, то перед полученным частным ставят знак «+», а если знаки исходных чисел разные, то ставится знак «−».
\( (-25) : (+5) = -5 \)
Свойства сложения и умножения целых чисел
Разберем основные свойства сложения и умножения для любых целых чисел \( a \), \( b \) и \( c \):
- \( a + b = b + a \) – переместительное свойство сложения;
- \( (a + b) + c = a + (b + c) \) – сочетательное свойство сложения;
- \( a \cdot b = b \cdot a \) – переместительное свойство умножения;
- \( (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c) \) – сочетательное свойства умножения;
- \( a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c \) – распределительное свойство умножения.