Формула объема пирамиды

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту

Пирамида - многогранник, основанием которого является произвольный многоугольник, а все грани представляют собой треугольники с общей вершиной, являющейся вершиной пирамиды.

Элементы пирамиды

Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины (также апофемой называют длину перпендикуляра, опущенного из середины правильного многоугольника на одну из его сторон);

Боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине;

Боковые ребра — общие стороны боковых граней;

Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;

Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);

Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;

Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Объем пирамиды через площадь основания и высоту

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания S(ABCDEF) на высоту h (OS)

\[ \LARGE V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h \]

где:
V - объем пирамиды
S - площадь основания пирамиды
h - высота пирамиды

Калькулятор объема пирамиды через площадь основания и высоту

Расчет объема пирамиды онлайн
 
Входные данные
 
 
 
Результат
 

Объём усечённой пирамиды

Усеченная пирамида - часть пирамиды между ее основанием и этим сечением. Сечение параллельное основанию пирамиды делит пирамиду на две части.

Объем усеченной пирамиды равен одной трети произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S1 (abcdef), нижнего основания усеченной пирамиды S2 (ABCDEF) и средней пропорциональной между ними.

\[ \LARGE V = \frac{1}{3} \cdot h \cdot \left( S_1 + \sqrt{S_1\cdot S_2} + S_2 \right) \]

где:
V - объем пирамиды
S1 - площадь верхнего основания усеченной пирамиды
S2 - площадь нижнего основания усеченной пирамиды
h - высота усеченной пирамиды

Калькулятор объема усечённой пирамиды

Расчет объема усечённой пирамиды онлайн
 
Входные данные
 
 
 
 
Результат
 

Объём правильной пирамиды

Правильная пирамида - пирамида, в основани, которой лежит правильный многоугольник, а высота проходит через центр вписанной окружности в основание.

Объем правильной пирамиды равен одной трети произведения площади правильного многоугольника, являющегося основанием S (ABCDEF) на высоту h (OS)

\[ \LARGE V= \frac{n \cdot a^{2} \cdot h}{12 \cdot tg \frac{180^{\circ}}{n}} \]

где:
V - объем пирамиды
a - сторона основания пирамиды
n - количество сторон многоугольника в основании
h - высота усеченной пирамиды

Калькулятор объёма правильной пирамиды

Расчет объема правильной пирамиды онлайн
 
Входные данные
 
 
 
 
Результат
 

Объём правильной треугольной пирамиды

Правильная треугольная пирамида - пирамида, у которой основанием является равносторонний треугольник и грани равные равнобедренные треугольники.

Объем правильной треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади правильного треугольника, являющегося основанием S (ABC) на высоту h (OS)

\[ \LARGE V = \frac{h \cdot a^2}{4 \cdot \sqrt{3}} \]

где:
V - объем пирамиды
a - сторона основания пирамиды
h - высота пирамиды

Калькулятор объёма правильной треугольной пирамиды

Расчет объема правильной треугольной пирамиды онлайн
 
Входные данные
 
 
 
Результат
 

Объём правильной четырёхугольной пирамиды

Правильная четырехугольная пирамида - пирамида, у которой основанием является квадрат и грани равные равнобедренные треугольники.

Объем правильной четырехугольной пирамиды равен одной трети произведения площади квадрата, являющегося основанием S (ABCD) на высоту h (OS)

\[ \LARGE V = \frac{1}{3} h \cdot a^2 \]

где:
V - объем пирамиды
a - сторона основания пирамиды
h - высота пирамиды

Калькулятор объёма правильной четырёхугольной пирамиды

Расчет объема правильной четырехугольной пирамиды онлайн
 
Входные данные
 
 
 
Результат
 

Объём тетраэдра

Тетраэдр - пирамида, у которой все грани — равносторонние треугольники.

Объем тетраэдра — равен дроби в числителе которой корень квадратный из двух в знаменателе двенадцать, помноженной на куб длины ребра тетраэдра

\[ \LARGE V = \frac{ \sqrt{2}}{12} \cdot a^{3} \]

где:
V - объем пирамиды
a - сторона основания пирамиды

Калькулятор объёма тетраэдра

Расчет объема тетраэдра онлайн
 
Входные данные
 
 
Результат
 

Пример 1

Задача
Найдите объем правильной пирамиды, если у нее 4 стороны, высота равна 3 см, а длина стороны 5 см.
Данные

$$ h = 2 ~\text{см} $$

$$ n = 3 ~\text{см} $$

$$ a = 4 ~\text{см} $$

Решение

По формуле для объема пирамиды:

$$ V = \frac{ (a^2 \cdot h \cdot n ) }{12 \cdot tg \left( \frac{180}{n} \right)} $$

$$ V=25 ~\text{см}^3 $$

Ответ
$$ V = 25 ~\text{см} ^3 $$

Пример 2

Задача
Найдите объем правильной пирамиды, если у нее 4 стороны, высота равна 3 см, а периметр 12 см.
Данные

$$ h = 3 ~\text{см} $$

$$ n = 4 ~\text{см} $$

$$ P = 5 ~\text{см} $$

Решение

Найдем сторону пирамиды:

$$ P = 4 \cdot a $$

$$ a = \frac{P}{4} = 3 ~\text{см} $$

По формуле для объема пирамиды:

$$ V = \frac{ (a^2 \cdot h \cdot n ) }{12 \cdot tg \left( \frac{180}{n} \right)} $$

$$ V=9 ~\text{см}^3 $$

Ответ
$$ V = 9 ~\text{см} ^3 $$

Пример 3

Задача
Найдите объем правильной пирамиды, если у нее 4 стороны, площадь боковой стороны 28 см², периметр основания 8 см, а ее сторона равна 3 см.
Данные

$$ P_o = 8 ~\text{см} $$

$$ S_{\text{бок}} = 28 ~\text{см} ^2 $$

$$ n = 4 ~\text{см} $$

$$ a = 3 ~\text{см} $$

Решение

Найдем высоту пирамиды:

$$ S_{\text{бок}} = \frac{( Po \cdot h )}{2} $$

$$ h = 2 \cdot \frac{S}{Po} = 7 ~\text{см} $$

По формуле для объема пирамиды:

$$ V = \frac{ (a^2 \cdot h \cdot n ) }{12 \cdot tg \left( \frac{180}{n} \right)} $$

$$ V=49 _{\text{см}}^3 $$

Ответ
$$ V = 49 ~\text{см} ^3 $$

Пример 4

Задача
Найдите объем правильной пирамиды, если у нее 4 стороны, высота в 2 раза больше стороны, а длинна стороны 3 см.
Данные

$$ h = 2 \cdot a $$

$$ n = 4 $$

$$ a = 3 ~\text{см} $$

Решение

Найдем высоту пирамиды:

$$ h = 2 \cdot a = 6 ~\text{см} $$

По формуле для объема пирамиды:

$$ V = \frac{ (a^2 \cdot h \cdot n ) }{12 \cdot tg \left( \frac{180}{n} \right)} $$

$$ V=18 ~\text{см}^3 $$

Ответ
$$ V = 18 ~\text{см} ^3 $$

Пример 5

Задача
Найдите объем правильной пирамиды, если у нее 4 стороны, высота на 1 см больше чем сторона, а длинна стороны 3 см.
Данные

$$ h = a + 1 $$

$$ n = 4 $$

$$ a = 3 ~\text{см} $$

Решение

Найдем высоту:

$$ h = a + 1 = 4 ~\text{см} $$

По формуле для объема пирамиды:

$$ V = \frac{ (a^2 \cdot h \cdot n ) }{12 \cdot tg \left( \frac{180}{n} \right)} $$

$$ V=16 ~\text{см}^3 $$

Ответ
$$ V = 16 ~\text{см} ^3 $$

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

50 000авторов
от 100 р.стоимость заказа
2 часамин. срок
Узнать стоимость

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме:

Интересные статьи: