Формула объема пирамиды

Пирамида - многогранник, основанием которого является произвольный многоугольник, а все грани представляют собой треугольники с общей вершиной, являющейся вершиной пирамиды.

Элементы пирамиды

Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины (также апофемой называют длину перпендикуляра, опущенного из середины правильного многоугольника на одну из его сторон);

Боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине;

Боковые ребра — общие стороны боковых граней;

Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;

Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);

Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;

Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Объем пирамиды через площадь основания и высоту

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания S(ABCDEF) на высоту h (OS)

V=13⋅S⋅h \LARGE V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h

где:
V - объем пирамиды
S - площадь основания пирамиды
h - высота пирамиды

Калькулятор объема пирамиды через площадь основания и высоту

Расчет объема пирамиды онлайн
 
Входные данные
 
 
 
Результат
 
 
 

Объём усечённой пирамиды

Усеченная пирамида - часть пирамиды между ее основанием и этим сечением. Сечение параллельное основанию пирамиды делит пирамиду на две части.

Объем усеченной пирамиды равен одной трети произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S1 (abcdef), нижнего основания усеченной пирамиды S2 (ABCDEF) и средней пропорциональной между ними.

V=13⋅h⋅(S1+S1⋅S2+S2) \LARGE V = \frac{1}{3} \cdot h \cdot \left( S_1 + \sqrt{S_1\cdot S_2} + S_2 \right)

где:
V - объем пирамиды
S1 - площадь верхнего основания усеченной пирамиды
S2 - площадь нижнего основания усеченной пирамиды
h - высота усеченной пирамиды

Калькулятор объема усечённой пирамиды

Расчет объема усечённой пирамиды онлайн
 
Входные данные
 
 
 
 
Результат
 
 
 

Объём правильной пирамиды

Правильная пирамида - пирамида, в основани, которой лежит правильный многоугольник, а высота проходит через центр вписанной окружности в основание.

Объем правильной пирамиды равен одной трети произведения площади правильного многоугольника, являющегося основанием S (ABCDEF) на высоту h (OS)

V=n⋅a2⋅h12⋅tg180∘n \LARGE V= \frac{n \cdot a^{2} \cdot h}{12 \cdot tg \frac{180^{\circ}}{n}}

где:
V - объем пирамиды
a - сторона основания пирамиды
n - количество сторон многоугольника в основании
h - высота усеченной пирамиды

Калькулятор объёма правильной пирамиды

Расчет объема правильной пирамиды онлайн
 
Входные данные
 
 
 
 
Результат
 
 
 

Объём правильной треугольной пирамиды

Правильная треугольная пирамида - пирамида, у которой основанием является равносторонний треугольник и грани равные равнобедренные треугольники.

Объем правильной треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади правильного треугольника, являющегося основанием S (ABC) на высоту h (OS)

V=h⋅a24⋅3 \LARGE V = \frac{h \cdot a^2}{4 \cdot \sqrt{3}}

где:
V - объем пирамиды
a - сторона основания пирамиды
h - высота пирамиды

Калькулятор объёма правильной треугольной пирамиды

Расчет объема правильной треугольной пирамиды онлайн
 
Входные данные
 
 
 
Результат
 
 
 

Объём правильной четырёхугольной пирамиды

Правильная четырехугольная пирамида - пирамида, у которой основанием является квадрат и грани равные равнобедренные треугольники.

Объем правильной четырехугольной пирамиды равен одной трети произведения площади квадрата, являющегося основанием S (ABCD) на высоту h (OS)

V=13h⋅a2 \LARGE V = \frac{1}{3} h \cdot a^2

где:
V - объем пирамиды
a - сторона основания пирамиды
h - высота пирамиды

Калькулятор объёма правильной четырёхугольной пирамиды

Расчет объема правильной четырехугольной пирамиды онлайн
 
Входные данные
 
 
 
Результат
 
 
 

Объём тетраэдра

Тетраэдр - пирамида, у которой все грани — равносторонние треугольники.

Объем тетраэдра — равен дроби в числителе которой корень квадратный из двух в знаменателе двенадцать, помноженной на куб длины ребра тетраэдра

V=212⋅a3 \LARGE V = \frac{ \sqrt{2}}{12} \cdot a^{3}

где:
V - объем пирамиды
a - сторона основания пирамиды

Калькулятор объёма тетраэдра

Расчет объема тетраэдра онлайн
 
Входные данные
 
 
Результат
 
 
 
Формулы объема Расчёт Объем Тригонометрия Формулы Геометрия Фигуры
Пример 1
Расчёт • Объем • Тригонометрия • Формулы • Геометрия • Фигуры
Задача
Найдите объем правильной пирамиды, если у нее 4 стороны, высота равна 3 см, а длина стороны 5 см.
Данные

h=2 см h = 2 ~\text{см}

n=3 см n = 3 ~\text{см}

a=4 см a = 4 ~\text{см}

Решение

По формуле для объема пирамиды:

V=(a2⋅h⋅n)12⋅tg(180n) V = \frac{ (a^2 \cdot h \cdot n ) }{12 \cdot tg \left( \frac{180}{n} \right)}

V=25 см3 V=25 ~\text{см}^3

Ответ
V=25 см3 V = 25 ~\text{см} ^3
Уровень5 класс ПредметМатематика СложностьПростая
Пример 2
Расчёт • Объем • Тригонометрия • Формулы • Геометрия • Фигуры
Задача
Найдите объем правильной пирамиды, если у нее 4 стороны, высота равна 3 см, а периметр 12 см.
Данные

h=3 см h = 3 ~\text{см}

n=4 см n = 4 ~\text{см}

P=5 см P = 5 ~\text{см}

Решение

Найдем сторону пирамиды:

P=4⋅a P = 4 \cdot a

a=P4=3 см a = \frac{P}{4} = 3 ~\text{см}

По формуле для объема пирамиды:

V=(a2⋅h⋅n)12⋅tg(180n) V = \frac{ (a^2 \cdot h \cdot n ) }{12 \cdot tg \left( \frac{180}{n} \right)}

V=9 см3 V=9 ~\text{см}^3

Ответ
V=9 см3 V = 9 ~\text{см} ^3
Уровень5 класс ПредметМатематика СложностьПростая
Пример 3
Расчёт • Объем • Тригонометрия • Формулы • Геометрия • Фигуры
Задача
Найдите объем правильной пирамиды, если у нее 4 стороны, площадь боковой стороны 28 см², периметр основания 8 см, а ее сторона равна 3 см.
Данные

Po=8 см P_o = 8 ~\text{см}

Sбок=28 см2 S_{\text{бок}} = 28 ~\text{см} ^2

n=4 см n = 4 ~\text{см}

a=3 см a = 3 ~\text{см}

Решение

Найдем высоту пирамиды:

Sбок=(Po⋅h)2 S_{\text{бок}} = \frac{( Po \cdot h )}{2}

h=2⋅SPo=7 см h = 2 \cdot \frac{S}{Po} = 7 ~\text{см}

По формуле для объема пирамиды:

V=(a2⋅h⋅n)12⋅tg(180n) V = \frac{ (a^2 \cdot h \cdot n ) }{12 \cdot tg \left( \frac{180}{n} \right)}

V=49см3 V=49 _{\text{см}}^3

Ответ
V=49 см3 V = 49 ~\text{см} ^3
Уровень5 класс ПредметМатематика СложностьПростая
Пример 4
Расчёт • Объем • Тригонометрия • Формулы • Геометрия • Фигуры
Задача
Найдите объем правильной пирамиды, если у нее 4 стороны, высота в 2 раза больше стороны, а длинна стороны 3 см.
Данные

h=2⋅a h = 2 \cdot a

n=4 n = 4

a=3 см a = 3 ~\text{см}

Решение

Найдем высоту пирамиды:

h=2⋅a=6 см h = 2 \cdot a = 6 ~\text{см}

По формуле для объема пирамиды:

V=(a2⋅h⋅n)12⋅tg(180n) V = \frac{ (a^2 \cdot h \cdot n ) }{12 \cdot tg \left( \frac{180}{n} \right)}

V=18 см3 V=18 ~\text{см}^3

Ответ
V=18 см3 V = 18 ~\text{см} ^3
Уровень5 класс ПредметМатематика СложностьПростая
Пример 5
Расчёт • Объем • Тригонометрия • Формулы • Геометрия • Фигуры
Задача
Найдите объем правильной пирамиды, если у нее 4 стороны, высота на 1 см больше чем сторона, а длинна стороны 3 см.
Данные

h=a+1 h = a + 1

n=4 n = 4

a=3 см a = 3 ~\text{см}

Решение

Найдем высоту:

h=a+1=4 см h = a + 1 = 4 ~\text{см}

По формуле для объема пирамиды:

V=(a2⋅h⋅n)12⋅tg(180n) V = \frac{ (a^2 \cdot h \cdot n ) }{12 \cdot tg \left( \frac{180}{n} \right)}

V=16 см3 V=16 ~\text{см}^3

Ответ
V=16 см3 V = 16 ~\text{см} ^3
Уровень5 класс ПредметМатематика СложностьПростая
Читать по теме
Интересные статьи