Формула объема пирамиды

Пирамида - многогранник, основанием которого является произвольный многоугольник, а все грани представляют собой треугольники с общей вершиной, являющейся вершиной пирамиды.

Элементы пирамиды

Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины (также апофемой называют длину перпендикуляра, опущенного из середины правильного многоугольника на одну из его сторон);

Боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине;

Боковые ребра — общие стороны боковых граней;

Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;

Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);

Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;

Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Объем пирамиды через площадь основания и высоту

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания S(ABCDEF) на высоту h (OS)

\[ \LARGE V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h \]

где:
V - объем пирамиды
S - площадь основания пирамиды
h - высота пирамиды

Объём усечённой пирамиды

Усеченная пирамида - часть пирамиды между ее основанием и этим сечением. Сечение параллельное основанию пирамиды делит пирамиду на две части.

Объем усеченной пирамиды равен одной трети произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S1 (abcdef), нижнего основания усеченной пирамиды S2 (ABCDEF) и средней пропорциональной между ними.

\[ \LARGE V = \frac{1}{3} \cdot h \cdot \left( S_1 + \sqrt{S_1\cdot S_2} + S_2 \right) \]

где:
V - объем пирамиды
S1 - площадь верхнего основания усеченной пирамиды
S2 - площадь нижнего основания усеченной пирамиды
h - высота усеченной пирамиды

Объём правильной пирамиды

Правильная пирамида - пирамида, в основани, которой лежит правильный многоугольник, а высота проходит через центр вписанной окружности в основание.

Объем правильной пирамиды равен одной трети произведения площади правильного многоугольника, являющегося основанием S (ABCDEF) на высоту h (OS)

\[ \LARGE V= \frac{n \cdot a^{2} \cdot h}{12 \cdot tg \frac{180^{\circ}}{n}} \]

где:
V - объем пирамиды
a - сторона основания пирамиды
n - количество сторон многоугольника в основании
h - высота усеченной пирамиды

Объём правильной треугольной пирамиды

Правильная треугольная пирамида - пирамида, у которой основанием является равносторонний треугольник и грани равные равнобедренные треугольники.

Объем правильной треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади правильного треугольника, являющегося основанием S (ABC) на высоту h (OS)

\[ \LARGE V = \frac{h \cdot a^2}{4 \cdot \sqrt{3}} \]

где:
V - объем пирамиды
a - сторона основания пирамиды
h - высота пирамиды

Калькулятор объема пирамиды через площадь основания и высоту

Расчет объема пирамиды онлайн
 
Входные данные
 
 
 
Результат
 

Калькулятор объема усечённой пирамиды

Расчет объема усечённой пирамиды онлайн
 
Входные данные
 
 
 
 
Результат
 

Калькулятор объёма правильной пирамиды

Расчет объема правильной пирамиды онлайн
 
Входные данные
 
 
 
 
Результат
 

Калькулятор объёма правильной треугольной пирамиды

Расчет объема правильной треугольной пирамиды онлайн
 
Входные данные
 
 
 
Результат
 

Калькулятор объёма правильной четырёхугольной пирамиды

Расчет объема правильной четырехугольной пирамиды онлайн
 
Входные данные
 
 
 
Результат
 

Объём правильной четырёхугольной пирамиды

Правильная четырехугольная пирамида - пирамида, у которой основанием является квадрат и грани равные равнобедренные треугольники.

Объем правильной четырехугольной пирамиды равен одной трети произведения площади квадрата, являющегося основанием S (ABCD) на высоту h (OS)

\[ \LARGE V = \frac{1}{3} h \cdot a^2 \]

где:
V - объем пирамиды
a - сторона основания пирамиды
h - высота пирамиды

Объём тетраэдра

Тетраэдр - пирамида, у которой все грани — равносторонние треугольники.

Объем тетраэдра — равен дроби в числителе которой корень квадратный из двух в знаменателе двенадцать, помноженной на куб длины ребра тетраэдра

\[ \LARGE V = \frac{ \sqrt{2}}{12} \cdot a^{3} \]

где:
V - объем пирамиды
a - сторона основания пирамиды

Калькулятор объёма тетраэдра

Расчет объема тетраэдра онлайн
 
Входные данные
 
 
Результат
 
Пример 1
Задача
Найдите объем правильной пирамиды, если у нее 4 стороны, высота равна 3 см, а длина стороны 5 см.
Данные

$$ h = 2 ~\text{см} $$

$$ n = 3 ~\text{см} $$

$$ a = 4 ~\text{см} $$

Решение

По формуле для объема пирамиды:

$$ V = \frac{ (a^2 \cdot h \cdot n ) }{12 \cdot tg \left( \frac{180}{n} \right)} $$

$$ V=25 ~\text{см}^3 $$

Ответ
$$ V = 25 ~\text{см} ^3 $$
Уровень5 класс ПредметМатематика СложностьПростая
Пример 2
Задача
Найдите объем правильной пирамиды, если у нее 4 стороны, высота равна 3 см, а периметр 12 см.
Данные

$$ h = 3 ~\text{см} $$

$$ n = 4 ~\text{см} $$

$$ P = 5 ~\text{см} $$

Решение

Найдем сторону пирамиды:

$$ P = 4 \cdot a $$

$$ a = \frac{P}{4} = 3 ~\text{см} $$

По формуле для объема пирамиды:

$$ V = \frac{ (a^2 \cdot h \cdot n ) }{12 \cdot tg \left( \frac{180}{n} \right)} $$

$$ V=9 ~\text{см}^3 $$

Ответ
$$ V = 9 ~\text{см} ^3 $$
Уровень5 класс ПредметМатематика СложностьПростая
Пример 3
Задача
Найдите объем правильной пирамиды, если у нее 4 стороны, площадь боковой стороны 28 см², периметр основания 8 см, а ее сторона равна 3 см.
Данные

$$ P_o = 8 ~\text{см} $$

$$ S_{\text{бок}} = 28 ~\text{см} ^2 $$

$$ n = 4 ~\text{см} $$

$$ a = 3 ~\text{см} $$

Решение

Найдем высоту пирамиды:

$$ S_{\text{бок}} = \frac{( Po \cdot h )}{2} $$

$$ h = 2 \cdot \frac{S}{Po} = 7 ~\text{см} $$

По формуле для объема пирамиды:

$$ V = \frac{ (a^2 \cdot h \cdot n ) }{12 \cdot tg \left( \frac{180}{n} \right)} $$

$$ V=49 _{\text{см}}^3 $$

Ответ
$$ V = 49 ~\text{см} ^3 $$
Уровень5 класс ПредметМатематика СложностьПростая
Пример 4
Задача
Найдите объем правильной пирамиды, если у нее 4 стороны, высота в 2 раза больше стороны, а длинна стороны 3 см.
Данные

$$ h = 2 \cdot a $$

$$ n = 4 $$

$$ a = 3 ~\text{см} $$

Решение

Найдем высоту пирамиды:

$$ h = 2 \cdot a = 6 ~\text{см} $$

По формуле для объема пирамиды:

$$ V = \frac{ (a^2 \cdot h \cdot n ) }{12 \cdot tg \left( \frac{180}{n} \right)} $$

$$ V=18 ~\text{см}^3 $$

Ответ
$$ V = 18 ~\text{см} ^3 $$
Уровень5 класс ПредметМатематика СложностьПростая
Пример 5
Задача
Найдите объем правильной пирамиды, если у нее 4 стороны, высота на 1 см больше чем сторона, а длинна стороны 3 см.
Данные

$$ h = a + 1 $$

$$ n = 4 $$

$$ a = 3 ~\text{см} $$

Решение

Найдем высоту:

$$ h = a + 1 = 4 ~\text{см} $$

По формуле для объема пирамиды:

$$ V = \frac{ (a^2 \cdot h \cdot n ) }{12 \cdot tg \left( \frac{180}{n} \right)} $$

$$ V=16 ~\text{см}^3 $$

Ответ
$$ V = 16 ~\text{см} ^3 $$
Уровень5 класс ПредметМатематика СложностьПростая

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

50 000авторов
от 100 р.стоимость заказа
2 часамин. срок
Узнать стоимость
Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме
Интересные статьи