Формула объема конуса

Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту

Конус - тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность.

Круглый конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, поэтому круглый конус называют также конусом вращения.

Связанные определения для конуса

Образующая конуса. Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса.

Образующая поверхность конуса. Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса.

Коническая поверхность. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.

Высота конуса (H). Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса.

Угол раствора конуса. Угол раствора конуса - угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).

Прямой конус. Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.

Косой (наклонный) конус. Косой (наклонный) конус - конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.

Круговой конус. Круговой конус - конус, основание которого является кругом.

Прямой круговой конус. Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).

Эллиптическим конус. Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).

Усечённый конус. Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом, или коническим слоем.

Объем прямого углового конуса

Конус - это геометрическое тело, которое образовано вращением прямоугольного треугольника около одного из его катетов.

Первый способ вычисления объема конуса

Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту

\[ \LARGE V = \frac{H}{3} S \]

где:
V - объем конуса
S - площадь основания конуса
H - высота конуса

Второй способ вычисления объема конуса

Объем конуса равен одной трети произведения числа пи (3.1415) на квадрат радиуса основания на высоту.

\[ \LARGE V = \frac{H}{3} \pi r^2 \]

где:
V - объем конуса
H - высота конуса
π - число пи (3.1415)
r - радиус конуса

Калькулятор объема конуса

Расчет объема конуса онлайн
 
Входные данные
 
 
 
Результат
 

Объем усеченного конуса

Усеченный конус получится, если в конусе провести сечение, параллельное основанию. Тело ограниченное этим сечением, основанием и боковой поверхностью конуса называется усеченным конусом.

Первый способ вычисления объема усеченного конуса

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:

\[ \LARGE V = \frac{1}{3} \left( H\cdot S_2 + h \cdot s_1 \right) \]

где:
V - объем конуса
h - расстояния от плоскости верхнего основания до вершины
H - расстояния от плоскости нижнего основания до вершины
S1 - площадь верхнего (ближнего к вершине) основания
S2 - площадь нижнего основания

Второй способ вычисления объема усеченного конуса

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:

\[ \LARGE V = \frac{1}{3} \pi h \left( R^2 + R \cdot r + r^2 \right) \]

где:
V - объем конуса
h - высота конуса
R - радиус нижнего основания
r - радиус верхнего основания

Калькулятор объема усечённого конуса

Расчет объема усечённого конуса онлайн
 
Входные данные
 
 
 
 
Результат
 

Пример 1

Задача

Объем конуса равен 64 см3. Через середину высоты этого конуса параллельно его основанию проведена плоскость. Полученное сечение является основанием меньшего конуса, вершина которого совпадает с вершиной заданного. Найти объем меньшего конуса.

Решение

Объем конуса можно вычислить по формуле \( V=\dfrac{1}{3}\pi R^2 H \)

Плоскость, проведенная через середину высоты конуса и параллельно его основанию, является в двумерном пространстве средней линией равнобедренного треугольника (конус проецируется в равнобедренный треугольник). Таким образом получается два подобных треугольника с коэффициентом подобия 2.

\( V_1=64 \) — объем большего конуса, \( H_1=2H_2, \) где \( H_1 \) — высота большого, а \( H_2 \) — меньшего конуса (из условия), \( R_1=2R_2, \) где \( R_1 \) — радиус основания большего, а \( R_2 \) — радиус основания меньшего конуса (из подобия треугольников).

Тогда \( V_2=\dfrac{1}{3}\pi R_2^2 H_2=\dfrac{1}{3}\pi (\dfrac{R_1}{2})^2\cdot \dfrac{H_1}{2}=\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{1}{3}\pi R_1^2 H_1=\dfrac{1}{8}V_1=\dfrac{64}{8}=8 \)

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме:

Интересные статьи: