• Главная
• Справочник
• Алгебра
• Теория множеств
• Множества: понятие, определение, примеры

Людям постоянно приходится иметь дело с различными совокупностями предметов, что повлекло за собой возникновение понятия числа, а затем и понятия множества, которое является одним из основных простейших математических понятий и не поддается точному определению. Нижеследующие замечания имеют своей целью пояснить, что такое множество, но не претендуют на то, чтобы служить его определением.

Множеством называется собрание, совокупность, коллекция вещей, объединенных по какому-либо признаку или по какому-либо правилу. Понятие множества возникает путем абстракции. Рассматривая какую-либо совокупность предметов как множество, отвлекаются от всех связей и соотношений между различными предметами, составляющими множества, но сохраняют за предметами их индивидуальные черты. Таким образом, множество, состоящее из пяти монет, и множество, состоящее из пяти яблок, — это разные множества. С другой стороны, множество из пяти монет, расположенных по кругу, и множество из тех же монет, положенных одна на другую, — это одно и то же множество.

Приведем несколько примеров множеств. Можно говорить о множестве песчинок, составляющих кучу песка, о множестве всех планет нашей солнечной системы, о множестве всех людей, находящихся в данный момент в каком-либо доме, о множестве всех страниц этой книги. В математике тоже постоянно встречаются различные множества, например множество всех корней заданного уравнения, множество всех натуральных чисел, множество всех точек на прямой и т. д.

Математическая дисциплина, изучающая общие свойства множеств, т. е. свойства множеств, не зависящие от природы составляющих их предметов, называется теорией множеств. Эта дисциплина начала бурно развиваться в конце XIX и начале XX в. Основатель научной теории множеств — немецкий математик Г. Кантор.

Работы Кантора по теории множеств выросли из рассмотрения вопросов сходимости тригонометрических рядов. Это весьма обычное явление: очень часто рассмотрение конкретных математических задач ведет к построению весьма абстрактных и общих теорий. Значение таких абстрактных построений определяется тем, что они оказываются связанными не только с той конкретной задачей, из которой они выросли, но имеют приложения и в ряде других вопросов. В частности, именно так обстоит дело и с теорией множеств. Идеи и понятия теории множеств проникли буквально во все разделы математики и существенно изменили ее лицо. Поэтому нельзя получить правильного представления о современной математике, не познакомившись с элементами теории множеств. Особенно большое значение имеет теория множеств для теории функций действительного переменного.

Множество считается заданным, если относительно любого предмета можно сказать, принадлежит он множеству или не принадлежит. Иными словами, множество вполне определяется заданием всех принадлежащих ему предметов. Если множество состоит из предметов и только из этих предметов, то пишут

Предметы, составляющие какое-либо множество, принято называть его элементами. Тот факт, что предмет т является элементом множества , записывается в виде

Элементы множества могут сами быть множествами, однако, во избежание противоречий, приходится требовать, чтобы само множество не было одним из своих собственных элементов: .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством. Например, множество всех действительных корней уравнения

Если для двух множеств и каждый элемент множества является также элементом множества , то говорят, что входит в , что есть часть , что есть подмножество или что содержится в ; это записывается в виде

Например, множество есть часть множества .

Ясно, что всегда . Удобно считать, что пустое множество есть часть любого множества.

Два множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов. Например, множество корней уравнения и множество между собою равны.

Определим правила действий над множествами.

Объединение или сумма множеств

Пусть имеются множества . Объединением или суммой этих множеств называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из "слагаемых"

При этом, даже если элемент принадлежит нескольким слагаемым, то он входит в сумму лишь один раз. Ясно, что

Пересечение множеств

Пересечением или общей частью множеств . называется множество , состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат одновременно всем множествам .

Ясно, что , и если , то .

Если пересечение множеств и пусто: , то говорят, что эти множества не пересекаются.

Для обозначения операции суммы и пересечения множеств употребляют также знаки и . Таким образом,

Читателю рекомендуется доказать, что сумма и пересечение множеств связаны обычным распределительным законом

Разность множеств

Разностью двух множеств и называется множество всех тех элементов из , которые не принадлежат :

Если , то разность называют также дополнением к множеству относительно .

Нетрудно показать, что всегда

Таким образом, правила действий над множествами значительно отличаются от обычных правил арифметики.

Конечные и бесконечные множества

Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными множествами. Если же число элементов множества неограниченно, то такое множество называется бесконечным. Например, множество всех натуральных чисел бесконечно.

Рассмотрим два каких-либо множества и и поставим вопрос о том, одинаково или нет количество элементов в этих множествах.

Если множество конечно, то количество его элементов характеризуется некоторым натуральным числом — числом его элементов. В этом случае для сравнения количества элементов множеств и достаточно сосчитать число элементов в , число элементов в и сравнить полученные числа. Естественно также считать, что если одно из множеств и конечно, а другое бесконечно, то бесконечное множество содержит больше элементов, чем конечное.

Однако, если оба множества и бесконечны, то путь простого счета элементов ничего не дает. Поэтому сразу возникают такие вопросы: все ли бесконечные множества имеют одинаковое количество элементов, или же существуют бесконечные множества с большим и меньшим количеством элементов? Если верно второе, то каким способом можно сравнивать между собой количество элементов в бесконечных множествах? Этими вопросами мы теперь и займемся.

Взаимно однозначное соответствие множеств

Пусть снова и  — два конечных множества. Как узнать, какое из этих множеств содержит больше элементов, не считая числа элементов в каждом множестве? Для этого будем составлять пары, объединяя в пару один элемент из и один элемент из . Тогда, если какому-нибудь элементу из не найдется парного к нему элемента из , то в больше элементов, чем в . Поясним это рассуждение примером.

Пусть в зале находится некоторое число людей и некоторое число стульев. Чтобы узнать, чего больше, достаточно попросить людей занять места. Если кто-нибудь остался без места, значит, людей больше, а если, скажем, все сидят и заняты все места, то людей столько же, сколько стульев. Описанный способ сравнения количества элементов во множествах имеет то преимущество перед непосредственным счетом элементов, что он без особых изменений применяется не только к конечным, но и к бесконечным множествам.

Рассмотрим множество всех натуральных чисел

Какое множество содержит больше элементов? На первый взгляд кажется, что первое. Однако мы можем образовать из элементов этих множеств пары, как указано ниже.

Таким образом, если множества и бесконечны, то различным способам образования пар соответствуют разные результаты. Если существует такой способ образования пар, при котором у каждого элемента и каждого элемента имеется парный к нему элемент, то говорят, что между множествами и можно установить взаимно однозначное соответствие. Например, между рассмотренными выше множествами и можно установить взаимно однозначное соответствие, как
это видно из табл. 1.

Если между множествами и можно установить взаимно однозначное соответствие, то говорят, что они имеют одинаковое количество элементов или равномощны. Если же при любом способе образования пар некоторые элементы из всегда остаются без пар, то говорят, что множество содержит больше элементов, чем , или что множество имеет большую мощность, чем .

Таким образом, мы получили ответ на один из поставленных выше вопросов: как сравнивать между собой количество элементов в бесконечных множествах. Однако это нисколько не приблизило нас к ответу на другой вопрос: существуют ли вообще бесконечные множества. имеющие различные мощности? Чтобы получить ответ на этот вопрос, исследуем некоторые простейшие типы бесконечных множеств.

Счетные множества. Если можно установить взаимно однозначное соответствие между элементами множества и элементами множества всех натуральных чисел

Таблица 1 показывает, что множество всех четных чисел счетно (верхнее число рассматривается теперь как номер соответствующего нижнего числа).

Счетные множества это, так сказать, самые маленькие из бесконечных множеств: во всяком бесконечном множестве содержится счетное подмножество.

Если два непустых конечных множества не пересекаются, то их сумма содержит больше элементов, чем каждое из слагаемых. Для бесконечных множеств это правило может и не выполняться. В самом деле, пусть есть множество всех четных чисел,  — множество всех нечетных чисел и  — множество всех натуральных чисел. Как показывает таблица 4, множества и счетны. Однако множество вновь счетно.

Нарушение правила "целое больше части" для бесконечных множеств показывает, что свойства бесконечных множеств качественно отличны от свойств конечных множеств. Переход от конечного к бесконечному сопровождается в полном согласии с известным положением диалектики — качественным изменением свойств.

Докажем, что множество всех рациональных чисел счетно. Для этого расположим все рациональные числа в такую таблицу:

Здесь в первой строке помещены все натуральные числа в порядке их возрастания, во второй строке 0 и целые отрицательные числа в порядке их убывания, в третьей строке — положительные несократимые дроби со знаменателем 2 в порядке их возрастания, в четвертой строке — отрицательные несократимые дроби со знаменателем 2 в порядке их убывания и т. д. Ясно, что каждое рациональное число один и только один раз находится в этой таблице. Перенумеруем теперь
все числа этой таблицы в том порядке, как это указано стрелками. Тогда все рациональные числа разместятся в порядке одной последовательности:

Этим установлено взаимно однозначное соответствие между всеми рациональными числами и всеми натуральными числами. Поэтому множество всех рациональных чисел счетно.

Множества мощности континуума

Если можно установить взаимно однозначное соответствие между элементами множества и точками отрезка , то говорят, что множество имеет мощность континуума. В частности, согласно этому определению, само множество точек отрезка имеет мощность континуума.

Из рис. 1 видно, что множество точек любого отрезка имеет мощность континуума. Здесь взаимно однозначное соответствие устанавливается геометрически, посредством проектирования.

Нетрудно показать, что множества точек любого интервала и всей числовой прямой  — имеют мощность континуума.

Значительно более интересен такой факт: множество точек квадрата имеет мощность континуума. Таким образом, грубо говоря, в квадрате «столько же» точек, сколько и в отрезке.