09-е. Сопротивление соединений
§ 09-е. Сопротивление соединений
В этой теме мы уже изучили много закономерностей: в § 9-в мы выяснили, как распределяются силы токов при последовательном и параллельном соединении проводников. В § 9-г мы узнали как рапределяются напряжения в этих же соединениях. Опираясь на эти знания, а также на закон Ома для участка цепи (см. § 9-д), выведем формулы для расчёта сопротивлений соединений проводников.
| Последовательное соединение проводников | | | | Параллельное соединение проводников | ||
| Так как | ||||
| U = U1 + U2 | | | I = I1 + I2 | ||
| и по закону Ома | ||||
| U = I · R | | | I = U / R | ||
| то получим: | ||||
| I · R = I1 · R1 + I2 · R2 | | | U / R = U1 / R1 + U2 / R1 | ||
| Учитывая, что | ||||
| I = I1 = I2 | | | U = U1 = U2 | ||
| заменяя, получим: | ||||
| I · R = I · R1 + I · R2 | | | U / R = U / R1 + U / R2 | ||
| Сократим общий множитель: | ||||
| 1 · R = 1 · R1 + 1 · R1 | | | 1 / R = 1 / R1 + 1 / R2 | ||
| Обобщая, получим: | ||||
| и |
| ||
| Общее сопротивление последовательного соединения проводников равно сумме сопротивлений его отдельных участков. | | | | | | | Величина, обратная общему сопротивлению параллельного соединения проводников, равна сумме величин, обратных сопротивлениям его участков. | ||
Рассмотрим формулу в левой рамке: общее сопротивление складывается (суммируется) из отдельных сопротивлений. Поскольку сумма всегда больше любого из слагаемых, при последовательном соединении проводников общее сопротивление соединения всегда больше сопротивления любого его участка. Например, соединение составлено из резисторов с сопротивлениями 4 Ом и 5 Ом, тогда общее сопротивление будет равно 9 Ом (общее сопротивление больше большего).
Перейдём к формуле в правой рамке: при параллельном соединении проводников общее сопротивление соединения всегда меньше сопротивления любого его участка. Проверим это на примере с теми же сопротивлениями: 4 Ом и 5 Ом. Сделав вычисления по формуле, мы найдём, что общее сопротивление этих же двух резисторов, соединённых параллельно, ≈ 2,2 Ом (общее сопротивление меньше меньшего).
Продолжим изучать физические закономерности математическими методами. Теперь выведем две дополнительные формулы, описывающие общее сопротивление одинаковых проводников.
Вообразим, к примеру, что пять одинаковых резисторов соединены последовательно. Тогда их общее сопротивление будет таково:
Если последовательно соединено n штук одинаковых проводников, то их общее сопротивление в n раз больше сопротивления каждого из них.
Rоб = R · n |
Rоб = R + R + R + R + R = 5·R .
Обобщая это на случай n проводников, получим, что их общее сопротивление увеличивается в n раз.
Вообразим теперь, что те же пять одинаковых резисторов соединены параллельно. Тогда их общее сопротивление вычислится так:
Если параллельно соединено n штук одинаковых проводников, то их общее сопротивление в n раз меньше сопротивления каждого из них.
Rоб = R / n |
1 / Rоб = 1/R + 1/R + 1/R + 1/R + 1/R = 5/R .
Обобщая это на случай n проводников, получим, что их общее сопротивление уменьшается в n раз.
Примечание. При выводе последней формулы мы воспользовались правилом из алгебры: если две величины равны друг другу, то и величины, обратные им, также равны.