Химия

Обозначим величины для более тяжёлого изотопа урана индексом 1, а для более лёгкого - индексом 2. Запишем уравнения радиоактивного распада для обоих изотопов для числа атомов $N$:

$N_{1}(t) = N_{1}(0) \cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{ \frac{t}{ \tau_{1} } }$,
$N_{2}(t) = N_{2}(0) \cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{ \frac{t}{ \tau_{2} } }$,

где $\tau_{1} = 4,5 \cdot 10^{9}$ лет, $\tau_{2} = 7,0 \cdot 10^{8}$ лет.

По условию, в начальный момент времени $N_{1}(0) = N_{2}(0)$, а в момент времени $t$ отношение $\frac{N_{1}(t)}{N_{2}(t)}$ составило $\frac{993}{7}$.

Чтобы найти время $t$, поделим первое уравнение на второе:

$\frac{993}{7} = \frac{ \left ( \frac{1}{2} \right )^{ \frac{t}{ \tau_{1} } } }{ \left ( \frac{1}{2} \right )^{ \frac{t}{ \tau_{2} } } } = 2^{ \left ( \frac{t}{ \tau_{2} } - \frac{t}{ \tau_{1} } \right ) }$.

После логарифмирования получим

$lg \frac{993}{7} = lg 2 \cdot t \cdot \left ( \frac{1}{ \tau_{2} } - \frac{1}{ \tau_{1} } \right )$,

откуда

$t = \frac{lg \frac{993}{7} }{lg 2 \cdot \left ( \frac{1}{ \tau_{2} } - \frac{1}{ \tau_{1} } \right ) } = 5,9 \cdot 10^{9}$ лет $\approx$ 6 млрд. лет.