Химия

Введем следующие обозначения: $m$ - истинная масса каждого газа (г); $V$ - истинный объем каждого газа (л); $М$ - молекулярная масса соответствующего газа (г/л); $d$ - плотность газа (г/л); $V_M$ - мольный объем каждого газа; $c_V$ - процентное (по объему) содержание газа.

Каждая из указанных величин имеет индекс, соответствующий определенному газу: 1 - кислород; 2 - азот,
3 - аргон, в - воздух. Из соотношения $d = \frac{M}{V_M}$ находим величину средней молекулярной массы воздуха $\bar {M_в} = d_в \cdot V_M = 1,2929 \cdot 22,414 = 28,977$.

Воздух в среднем имеет следующий состав:



По условию задачи $d_в = 1,2928$ г/л.

а. Процентный состав воздуха по объему

$m_1 + m_2 = m_в$,
$V_1 + V_2 = V_в$,
$d_1 = \frac{m_1}{V_1}, d_2 = \frac{m_2}{V_2}, d_в = \frac{m_в}{V_в}$ (1)
$d_1 = \frac{M_1}{V_M}, d_2 = \frac{M_2}{V_M}, d_в = \frac{m_в}{V_M}$ (2)
$C_{V_1} = \frac{V_1}{V_в} \cdot 100$ %, $C_{V_2} = \frac{V_2}{V_в} \cdot 100$ %.

Из последних двух формул видно, что для вычисления процентного (по объему) состава воздуха, следует знать величины $V_1$ и $V_в$. Эти величины можно найти из соотношения (1) и системы уравнений

$\begin{cases} m_1 + m_2 = m_в \\ V_1 + V_2 = V_в \\ d_1 \cdot V_1 + d_2 \cdot V_2 = d_в \cdot V_в \end{cases}$,
$d = \frac{m}{V}$ - см. (1)

В результате решения этой системы уравнений получаем

$V_1 = \frac{d_2 - d_в}{d_2 - d_1} \cdot V_в, V_2 = \frac{d_в - d_2}{d_2 - d_1} \cdot V_в$.

После подстановки в эти формулы величин (2) находим

$V_1 = \frac{M_2 - M_в}{M_2 - M_1} \cdot V_в, V_2 = \frac{M_в - M_1}{M_2 - M_1} \cdot V_в$.

Процентный состав смеси по объему

$c_{V_1} = \frac{M_2 - M_в}{M_2 - M_1} \cdot 100$ %, $c_{V_2} = \frac{M_в - M_1}{M_2 - M_1} \cdot 100$ %.

После подстановки численных величин находим

$c_{V_1} = 24,12$ % $O_2$ (по объему), $c_{V_2} = 75,8$ % $N_2$ (по объему).

Процентный состав смеси по массе ($c_m$)

$c_{m_1} = \frac{m_1}{m_b} \cdot 100$ %, $c_{m_2} = \frac{m_2}{m_b} \cdot 100$ %.

Из зависимости (1) находим $V_1, V_2, V_в$ и подставляем во вторую систему уравнений

$\begin{cases} m_1 + m_2 = m_в \\ V_1 + V_2 = V_в \end{cases}$;
$\begin{cases} m_1 + m_2 = m_в \\ \frac{m_1}{d_1} + \frac{m_2}{d_2} = \frac{m_в}{d_в} \end{cases}$.

В результате решения последней системы уравнений получаем следующие формулы:

$m_1 = \frac {d_1 (d_2 - d_в)}{d_в (d_2 - d_1)} \cdot m_в, m_2 = \frac {d_2 (d_в - d_1)}{d_в (d_2 - d_1)} \cdot m_в$.

После подстановки в эти формулы зависимости (2) получаем

$m_1 = \frac {M_1 (M_2 - M_в)}{M_в (M_2 - M_1)} \cdot m_в, m_2 = \frac {M_2 (M_в - M_1)}{M_в (M_2 - M_1)} \cdot m_в$.

Процентный состав смеси по массе:

$c_{m_1} = \frac {M_1 (M_2 - M_в)}{M_в (M_2 - M_1)} \cdot 100$ %, $c_{m_2} = \frac {M_2 (M_в - M_1)}{M_в (M_2 - M_1)} \cdot 100$ %.

После подстановки цифровых данных получаем $c_{m_1} = 26,57$ % $O_2$ (по массе), $c_{m_2} = 73,40$ % $N_2$ (по массе),

б. Процентный состав воздуха по объему (при учете содержания в воздухе аргона)

$\begin{cases} m_1 + m_2 + m_3 = m_в \\ V_1 + V_2 + V_3 = V_в \end{cases}$, (3)
$d_1 = \frac{m_1}{V_1}, d_2 = \frac{m_2}{V_2}, d_3 = \frac{m_3}{V_3}, d_в = \frac{m_в}{V_в}$, (4)
$d_1 = \frac{M_1}{V_M}, d_2 = \frac{M_2}{V_M}, d_3 = \frac{M_3}{V_M}, d_в = \frac{M_в}{V_M}$; (5)
$c_{V_1} = \frac{V_1}{V_в} \cdot 100$ %, $c_{V_2} = \frac{V_2}{V_в} \cdot 100$ %, $c_{V_3} = \frac{V_3}{V_в} \cdot 100$ %,

Следовательно,

$V_3 = \frac{c_{V_3} \cdot V_в}{100}$.

Как и в предыдущем случае, подставляем значения $m_1, m_2, m_3, m_в$, полученные из выражения (4), в систему уравнений (3). При этом получаем

$d_1 \cdot V_1 + d_2 \cdot V_2 + d_3 \cdot V_3 = d_в \cdot V_в$,
$V_1 + V_2 + V_3 = V_в$.

В результате решения этой системы уравнений находим

$V_1 = \frac{d_2 - d_в}{d_2 - d_1} \cdot V_в + \frac{d_3 - d_2}{d_2 - d_1} \cdot \frac{c_{V_в}}{100} \cdot V_в$,
$V_2 = \frac{d_в - d_1}{d_2 - d_1} \cdot V_в + \frac{d_1 - d_3}{d_2 - d_1} \cdot \frac{c_{V_в}}{100} \cdot V_в$.

Эти формулы подставляем в выражение (5), в результата чего приходим к выражениям

$V_1 = \frac{M_2 - M_в}{M_2 - M_1} \cdot V_в + \frac{M_3 - M_2}{M_2 - M_1} \cdot \frac{c_{V_3}}{100} \cdot V_в$,
$V_2 = \frac{M_в - M_1}{M_2 - M_1} \cdot V_в + \frac{M_1 - M_3}{M_2 - M_1} \cdot \frac{c_{V_3}}{100} \cdot V_в$.

Процентный состав смеси

$c_{V_1} = \frac{M_2 - M_в}{M_2 - M_1} \cdot 100 + \frac{M_3 - M_2}{M_2 - M_1} \cdot c_{V_3}$,
$c_{V_2} = \frac{M_в - M_1}{M_2 - M_1} \cdot 100 + \frac{M_1 - M_3}{M_2 - M_1} \cdot c_{V_3}$.

После подстановки численных значений получаем

$c_{V_1} = 21,27 % O_2$ (по объему) и $c_{V_2} = 77,79 % N_2$ (по объему).

Процентный состав воздуха по массе ($с_m$)

$c_{m_1} = \frac{m_1}{m_в} \cdot 100$ %, $c_{m_2} = \frac{m_2}{m_в} \cdot 100$ %,
$c_{m_3} = \frac{m_3}{m_в} \cdot 100$ %, $c_{m_3} = 1,35$ %,

следовательно,

$m_3 = \frac{c_{m_3} \cdot m_в}{100}$.

Подставляем величины $V_l, V_2, V_3, V_в$, полученные из выражения (4), во вторую систему уравнений (3)

$\begin{cases} m_1 + m_2 + m_3 = m_в \\ \frac{m_1}{d_1} + \frac{m_2}{d_2} + \frac{m_3}{d_3} = \frac{m_в}{d_в} \end{cases}$.

В результате решения этой системы получаем [с учетом выражения (5)]

$m_1 = \left [\frac {d_1 (d_в - d_2)}{d_в(d_1 - d_2)} + \frac {d_1 (d_2 - d_3)}{d_3(d_1 - d_2)} \cdot \frac{c_{m_3}}{100} \right ] \cdot m_в = \left [ \frac {M_1 (M_в - M_2)}{M_в(M_1 - M_2)} + \frac {M_1 (M - M_3)}{M_3(M_1 - M_2)} \cdot \frac{c_{m_3}}{100} \right ] \cdot m_в$,
$m_2 = \left [\frac {d_2 (d_1 - d_в)}{d_в(d_1 - d_2)} + \frac {d_2 (d_3 - d_1)}{d_3(d_1 - d_2)} \cdot \frac{c_{m_3}}{100} \right ] \cdot m_в = \left [ \frac {M_2 (M_1 - M_в)}{M_в(M_1 - M_2)} + \frac {M_2 (M_3 - M_1)}{M_3(M_1 - M_2)} \cdot \frac{c_{m_3}}{100} \right ] \cdot m_в$.

Процентный состав воздуха с учетом наличия в нем аргона

$c_{m_1} = \frac {M_1 (M_в - M_2)}{M_в(M_1 - M_2)} \cdot 100 + \frac {M_1 (M_2 - M_3)}{M_3(M_1 - M_2)} \cdot c_{m_3}$,
$c_{m_3} = \frac {M_2 (M_1 - M_в)}{M_в(M_1 - M_2)} \cdot 100 + \frac {M_2 (M_3 - M_1)}{M_3(M_1 - M_2)} \cdot c_{m_3}$.

После подстановки численных значений находим, что

$c_{m_1} = 23,29$ % $O_2$ (по массе) и $c_{m_2} = 75,29$ % $N_2$ (по массе).

Существует и другой способ решения такой задачи. После ряда рассуждений можно прийти к следующей системе уравнений:

$M_1 \cdot \frac{c_{V_1}}{100} + M_2 \cdot \frac{c_{V_2}}{100} = M_в$,
$c_{V_1} + c_{V_2} = 100$.

В результате решения этой системы получаем

$c_{V_1} = \frac{M_2 - M_в}{M_2 - M_1} \cdot 100$ %, $c_{V_2} = \frac{M_в - M_1}{M_2 - M_1} \cdot 100$ %.