Химия
8 класс
Вопрос
Вычислите приблизительный состав (в процентах по объему и весу) воздуха, если известны его плотность, равная при нормальных условиях 1,2928 г/л, и молекулярная масса составляющих его газов.
а. Насколько велика будет относительная ошибка вычислений, если предположить, что воздух состоит только из азота и кислорода?
б. Вычислить состав воздуха, предполагая, что кроме азота и кислорода в него входит также аргон, причем содержание последнего составляет 1,35% по массе или 0,95% по объему. В какой мере результаты этих расчетов будут отличаться от реальных значений? (При расчетах исходить из того, что все газы подчиняются законам идеального газа.)
Ответ
Введем следующие обозначения: m - истинная масса каждого газа (г); V - истинный объем каждого газа (л); М - молекулярная масса соответствующего газа (г/л); d - плотность газа (г/л); VM - мольный объем каждого газа; cV - процентное (по объему) содержание газа.
Каждая из указанных величин имеет индекс, соответствующий определенному газу: 1 - кислород; 2 - азот,
3 - аргон, в - воздух. Из соотношения d=MVM находим величину средней молекулярной массы воздуха ¯Mв=dв⋅VM=1,2929⋅22,414=28,977.
Воздух в среднем имеет следующий состав:
По условию задачи dв=1,2928 г/л.
а. Процентный состав воздуха по объему
m1+m2=mв,
V1+V2=Vв,
d1=m1V1,d2=m2V2,dв=mвVв (1)
d1=M1VM,d2=M2VM,dв=mвVM (2)
CV1=V1Vв⋅100 %, CV2=V2Vв⋅100 %.
Из последних двух формул видно, что для вычисления процентного (по объему) состава воздуха, следует знать величины V1 и Vв. Эти величины можно найти из соотношения (1) и системы уравнений
{m1+m2=mвV1+V2=Vвd1⋅V1+d2⋅V2=dв⋅Vв,
d=mV - см. (1)
В результате решения этой системы уравнений получаем
V1=d2−dвd2−d1⋅Vв,V2=dв−d2d2−d1⋅Vв.
После подстановки в эти формулы величин (2) находим
V1=M2−MвM2−M1⋅Vв,V2=Mв−M1M2−M1⋅Vв.
Процентный состав смеси по объему
cV1=M2−MвM2−M1⋅100 %, cV2=Mв−M1M2−M1⋅100 %.
После подстановки численных величин находим
cV1=24,12 % O2 (по объему), cV2=75,8 % N2 (по объему).
Процентный состав смеси по массе (cm)
cm1=m1mb⋅100 %, cm2=m2mb⋅100 %.
Из зависимости (1) находим V1,V2,Vв и подставляем во вторую систему уравнений
{m1+m2=mвV1+V2=Vв;
{m1+m2=mвm1d1+m2d2=mвdв.
В результате решения последней системы уравнений получаем следующие формулы:
m1=d1(d2−dв)dв(d2−d1)⋅mв,m2=d2(dв−d1)dв(d2−d1)⋅mв.
После подстановки в эти формулы зависимости (2) получаем
m1=M1(M2−Mв)Mв(M2−M1)⋅mв,m2=M2(Mв−M1)Mв(M2−M1)⋅mв.
Процентный состав смеси по массе:
cm1=M1(M2−Mв)Mв(M2−M1)⋅100 %, cm2=M2(Mв−M1)Mв(M2−M1)⋅100 %.
После подстановки цифровых данных получаем cm1=26,57 % O2 (по массе), cm2=73,40 % N2 (по массе),
б. Процентный состав воздуха по объему (при учете содержания в воздухе аргона)
{m1+m2+m3=mвV1+V2+V3=Vв, (3)
d1=m1V1,d2=m2V2,d3=m3V3,dв=mвVв, (4)
d1=M1VM,d2=M2VM,d3=M3VM,dв=MвVM; (5)
cV1=V1Vв⋅100 %, cV2=V2Vв⋅100 %, cV3=V3Vв⋅100 %,
Следовательно,
V3=cV3⋅Vв100.
Как и в предыдущем случае, подставляем значения m1,m2,m3,mв, полученные из выражения (4), в систему уравнений (3). При этом получаем
d1⋅V1+d2⋅V2+d3⋅V3=dв⋅Vв,
V1+V2+V3=Vв.
В результате решения этой системы уравнений находим
V1=d2−dвd2−d1⋅Vв+d3−d2d2−d1⋅cVв100⋅Vв,
V2=dв−d1d2−d1⋅Vв+d1−d3d2−d1⋅cVв100⋅Vв.
Эти формулы подставляем в выражение (5), в результата чего приходим к выражениям
V1=M2−MвM2−M1⋅Vв+M3−M2M2−M1⋅cV3100⋅Vв,
V2=Mв−M1M2−M1⋅Vв+M1−M3M2−M1⋅cV3100⋅Vв.
Процентный состав смеси
cV1=M2−MвM2−M1⋅100+M3−M2M2−M1⋅cV3,
cV2=Mв−M1M2−M1⋅100+M1−M3M2−M1⋅cV3.
После подстановки численных значений получаем
cV1=21,27 (по объему) и cV2=77,79 (по объему).
Процентный состав воздуха по массе (сm)
cm1=m1mв⋅100 %, cm2=m2mв⋅100 %,
cm3=m3mв⋅100 %, cm3=1,35 %,
следовательно,
m3=cm3⋅mв100.
Подставляем величины Vl,V2,V3,Vв, полученные из выражения (4), во вторую систему уравнений (3)
{m1+m2+m3=mвm1d1+m2d2+m3d3=mвdв.
В результате решения этой системы получаем [с учетом выражения (5)]
m1=[d1(dв−d2)dв(d1−d2)+d1(d2−d3)d3(d1−d2)⋅cm3100]⋅mв=[M1(Mв−M2)Mв(M1−M2)+M1(M−M3)M3(M1−M2)⋅cm3100]⋅mв,
m2=[d2(d1−dв)dв(d1−d2)+d2(d3−d1)d3(d1−d2)⋅cm3100]⋅mв=[M2(M1−Mв)Mв(M1−M2)+M2(M3−M1)M3(M1−M2)⋅cm3100]⋅mв.
Процентный состав воздуха с учетом наличия в нем аргона
cm1=M1(Mв−M2)Mв(M1−M2)⋅100+M1(M2−M3)M3(M1−M2)⋅cm3,
cm3=M2(M1−Mв)Mв(M1−M2)⋅100+M2(M3−M1)M3(M1−M2)⋅cm3.
После подстановки численных значений находим, что
cm1=23,29 % O2 (по массе) и cm2=75,29 % N2 (по массе).
Существует и другой способ решения такой задачи. После ряда рассуждений можно прийти к следующей системе уравнений:
M1⋅cV1100+M2⋅cV2100=Mв,
cV1+cV2=100.
В результате решения этой системы получаем
cV1=M2−MвM2−M1⋅100 %, cV2=Mв−M1M2−M1⋅100 %.