Химия

Молекулярные массы соединений, входящих в смесь, образуют арифметическую прогрессию $a_1, a_2, a_3, \cdots a_n$ со знаменателем $q = 14$ (гомологическая разность $CH_2, M = 14$). Сумма этой прогрессии

$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 252$,

причем по условию $a_n = 2a_1$.
Из формул суммы и $n$-го члена арифметической прогрессии находим

$S_n = \frac {(a_1 + a_n)n}{2} = 252$, $a_n = a_1 + q(n-1)$,
$2a_1 = a_1 + (n-1) \cdot 14$, $a_1 = \frac{504}{3n}$, $a_1 = 14 \cdot (n-1)$,

отсюда

$14 \cdot (n-1) = \frac{504}{3n}$,
$n^2 - n - 12 = 0$, $n = \frac {1 \pm \sqrt {1 + 48}}{2} = \frac{1 \pm 7}{2}$.

$n_1 = -3$ (не имеет смысла), поэтому $n_2 = 4$ и $а_1 = 14 (4-1) = 42$. Молекулярная масса углеводорода $C_xH_y M = 12x + y = 42$.

Неопределенное уравнение имеет химически осмысленное решение только при $x = 3, y = 6$, т. е. первый из гомологов имеет формулу $C_3H_6$, и в состав смеси входят 4 углеводорода $C_3H_6$, $_С4H_8$, $C_5H_{10}$ и $C_6H_{12}$, которые могут принадлежать либо к ряду этиленовых углеводородов, либо к ряду циклопарафиновых углеводородов.

При охлаждении смеси до комнатной температуры сконденсируются углеводороды с 5-6 атомами углерода ($C_5H_{10}$ и $C_6H_{12}$). В смеси в парообразном состоянии (на 1 моль) первоначально было $x$ молей $C_3H_6$ ($М = 42$), $у$ молей $C_4H_8$ ($М = 56$), $z$ молей $C_5H_{10}$ ($М = 70$) и $t$ молей $C_6H_{12}$ ($М = 84$), т. е.

$\bar {M} = 42x + 56y + 70z + 84t = 64(x + y + z + t)$. (1)

После конденсации средняя молекулярная масса газовой смеси

$\bar {M_1} = 42x + 56y = 54 (x + y)$, (2)

а средняя молекулярная масса паров жидких углеводородов

$\bar {М_2} = 70z + 84t = 74 (z + t)$. (3)

Из уравнения (2) имеем

$56y - 54y = 54x - 42x$ или $2y = 12x$, т. е. $y = 6x$.

Из уравнения (3) получаем

$84t - 74t = 74z - 70z$ или $10t = 4z$, т. е. $t = 0,4z$.

Представляем полученные величины в уравнение (1):

$54 (x + y) + 74 (z + t) = 64 (x + y + z + t)$,$10 (z + t) = 10 (x + y)$, $z + t = x + y$,
$z + 0,4z = x + 6x$, $1,4z = 7x$, $z = 5x$,
$t = 0,42 = 0,4 \cdot 5x = 2x$.

Отсюда

$x : y : z : t = 1 : 6 : 5 : 2 = V_{C_3H_6} : V_{C_4H_8} : V_{C_5H_{10}} : V_{C_6H_{12}}$.