Представим заданную функцию в виде степени с отрицательным показателем, то есть:

$$f(x) = \left( \sqrt{x} \cdot e^{x} \right)^{-1}$$ По правилу дифференцирования сложной функции, сначала возьмем производную от исходной функции, как от степенной: $$f'(x) = \left( \left( \sqrt{x} \cdot e^{x} \right)^{-1} \right)' = -\left( \sqrt{x} \cdot e^{x} \right)^{-2} \cdot \left( \sqrt{x} \cdot e^{x} \right)'$$ Далее учитывая правило дифференцирования произведения двух функций, получим: $$f'(x) = -\left( \sqrt{x} \cdot e^{x} \right)^{-2} \cdot \left( \sqrt{x} \cdot e^{x} \right)' = -\frac{1}{\left( \sqrt{x} \cdot e^{x} \right)^{2}} \cdot \left( \sqrt{x} \cdot e^{x} \right)' = - \frac{\left( \sqrt{x} \right)' \cdot e^{x} + \sqrt{x} \cdot \left( e^{x} \right)'}{x \cdot e^{2x}}$$ Найдем необходимые производные, используя таблицу производных: $$f'(x) = - \frac{\left( \sqrt{x} \right)' \cdot e^{x} + \sqrt{x} \cdot \left( e^{x} \right)'}{x \cdot e^{2x}} = -\frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{x} + \sqrt{x} \cdot e^{x}}{x \cdot e^{2x}}$$ Преобразовывая полученное выражение, окончательно получим $$f'(x) = -\frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{x} + \sqrt{x} \cdot e^{x}}{x \cdot e^{2x}} = -\frac{e^{x}+ 2x \cdot e^{x}}{2x \sqrt{x} \cdot e^{2x}} =- \frac{e^{x}(2x+1)}{2x \sqrt{x} \cdot e^{2x}} = -\frac{2x+1}{2x \sqrt{x} \cdot e^{x}}$$