По правилу дифференцирования частного имеем:

$$f'(x) = \left( \frac{\ln x}{x^{2}} \right)' = \frac{(\ln x)' \cdot x^{2} - \ln x \cdot (x^{2})'}{\left( x^{2} \right)^{2}}$$ Применяя таблицу производных для степенной и логарифмической функций и преобразовывая полученное выражение, получим: $$f'(x) = \frac{(\ln x)' \cdot x^{2} - \ln x \cdot (x^{2})'}{\left( x^{2} \right)^{2}} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^{2} - \ln x \cdot 2x}{x^{4}} = \frac{x -2x \ln x}{x^{4}} =$$ $$= \frac{x (1-2 \ln x)}{x^{4}} = \frac{1-2 \ln x}{x^{3}}$$